2015（秋）北师大版九年级数学上册课时集训：12　矩形的性质与判定（共3份附答案）

1.2　矩形的性质与判定
第1课时　矩形的性质
1．有一个角是__直角__的平行四边形叫做矩形．
2．矩形的四个角都是__直角__；矩形的对角线__相等__．
3．直角三角形斜边上的中线__等于斜边的一半__．
知识点一：矩形的性质
1．下列性质中，矩形具有但平行四边形不一定具有的是(　C　)
A．对边相等　　　　　　B．对角相等
C．对角线相等 D．对边平行
2．矩形具有而菱形不具有的性质是(　B　)
A．两组对边分别平行 B．对角线相等
C．对角线互相平分 D．两组对角分别相等
3．(2014·黄石)如图，一个矩形纸片，剪去一部分后得到一个三角形，则图中∠1＋∠2的度数是(　C　)
A．30°　　　B．60°　　　C．90°　　　D．120°
,第3题图)　　　,第4题图)
4．(2014·宜宾)如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，且∠DOC＝120°，DC＝，则图中长度为1的线段共有(　D　)
A．3条 B．4条 C．5条 D．6条
5．(2014·黔东南)如图，在矩形AB ( http: / / www.21cnjy.com )CD中，AB＝8，BC＝16，将矩形ABCD沿EF折叠，使点C与点A重合，则折痕EF的长为(　D　)
A．6 B．12 C．2 D．4
,第5题图)　　　,第6题图)
6．如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，A ( http: / / www.21cnjy.com )C＝BC＝6，点E是斜边AB上任意一点，作EF⊥AC于点F，EG⊥BC于点G，则矩形CFEG的周长是__12__．
7．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，CE∥BD，DE∥AC.求证：四边形DOCE是菱形．
　解：证明：∵四边形ABCD是矩形，∴DB ( http: / / www.21cnjy.com )＝AC，DO＝OB，AO＝OC，∴DO＝OC，∵EC∥BD，DE∥AC，∴四边形DOCE是平行四边形，∴ DOCE是菱形　
知识点二：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
8．(易错题)如图，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，BC，CA的中点，若EF＝4 cm，则CD＝__4__cm.
9．如图，“人字形屋梁”中，AB＝AC ( http: / / www.21cnjy.com )，点E，F，D分别是AB，AC，BC的中点，若AB＝6 m，∠B＝30°，则支撑人字形屋梁的木料DE，AD，DF共有__9__米．
10．直角三角形斜边上的高与中线分别是5 cm和6 cm，则它的面积是__30_cm2__．
11．如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，点M是AD的中点，若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为__20__．
12．如图，已知矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若∠DAE∶∠BAE＝3∶1，则∠EAC的度数是(　C　)
A．18°　　　B．36°　　　C．45°　　　D．72°
,第12题图)　　　,第13题图)
13．(2014·青岛)如图，将矩形ABCD沿EF折叠，使顶点C恰好落在AB边的中点C′上．若AB＝6，BC＝9，则BF的长为(　A　)
A．4 B．3 C．4.5 D．5
14．(2014·凉山)顺次连接矩形各边中点所形成的四边形是__菱形__．
15．如图所示，在△ABC中，BD ( http: / / www.21cnjy.com )，CE是高，点G，F分别是BC，DE的中点，则下列结论中：①GE＝GD；②GF⊥DE；③GF平分∠DGE；④∠DGE＝60°.其中正确的是__①②③__．(填写序号)
16．(2014·湘潭)如图，将矩形ABCD沿BD对折，点A落在点E处，BE与CD相交于点F，若AD＝3，BD＝6.
(1)求证：△EDF≌△CBF；
(2)求∠EBC的度数．
　解：(1)证明：由折叠的性质可得 ( http: / / www.21cnjy.com )，DE＝BC，∠E＝∠C＝90°，在△DEF和△BCF中∴△DEF≌△BCF(AAS)　(2)在Rt△ABD中，∵AD＝3，BD＝6，∴∠ABD＝30°，由折叠的性质可得；∠DBE＝∠ABD＝30°，∴∠EBC＝90°－30°－30°＝30°　
17．如图所示，矩形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD，垂足为点E，∠1＝∠2，OB＝6 cm.
(1)求∠BOC的度数；
(2)求△DOC的周长．
　解：(1)∵AE⊥BD, ∴∠AEO＝∠A ( http: / / www.21cnjy.com )EB＝90°，又∵AE＝AE，∠1＝∠2，∴△AEO≌△AEB.∴AB＝AO.又∵OA＝OB, ∴△AOB为等边三角形，∴∠AOB＝60°，∴∠BOC＝120°　 (2)由矩形的性质可得△OCD≌△OAB，∴OC＝OA＝OB＝6 cm. ∴△DOC的周长为18 cm　
18．(2014·邵阳)准备一张矩形纸片，按如图操作：
将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．
(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；
(2)若四边形BFDE是菱形，AB＝2，求菱形BFDE的面积．
　解：(1)证明：∵四边形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD是矩形，∴∠A＝∠C＝90°，AB＝CD，AB∥CD，∴∠ABD＝∠CDB，∴∠EBD＝∠FDB，∴EB∥DF，∵ED∥BF，∴四边形BFDE为平行四边形　(2)∵四边形BFDE为菱形，∴BE＝ED，∠EBD＝∠FBD＝∠ABE，∵四边形ABCD是矩形，∴AD＝BC，∠ABC＝90°，∴∠ABE＝30°，∵∠A＝90°，AB＝2，∴AE＝，BF＝BE＝2AE＝，∴菱形BFDE的面积为：×2＝　
第2课时　矩形的判定
对角线__相等__的平行四边形是矩形；有__三__个角是直角的四边形是矩形．
知识点一：对角线相等的平行四边形是矩形
1．四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，下列各条件中，能判断四边形ABCD是矩形的是(　B　)
A．AO＝CO，BO＝DO
B．AO＝BO＝CO＝DO
C．AC＝BD，AO＝CO
D．AO＝CO，BO＝DO，AC⊥BD
2．下列关于矩形的说法中正确的是(　D　)
A．对角线相等的四边形是矩形
B．对角线互相平分的四边形是矩形
C．矩形的对角线互相垂直平分
D．矩形的对角线相等且互相平分
3．如图，在 ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，OA＝2，若要使 ABCD为矩形，则OB的长应该为(　C　)
A．4　　　　B．3　　　　C．2　　　　D．1
,第3题图)　　　,第4题图)
4．如图，要使平行四边形ABCD是矩形，则应添加的条件是__∠ABC＝90°或AC＝BD(不唯一)__．(添加一个条件即可)
5．(易错题)如图，在△ ( http: / / www.21cnjy.com )ABC中，AB＝AC，将△ABC绕点C旋转180°得到△FEC，连接AE，BF.当∠ACB为__60__度时，四边形ABFE为矩形．
6．(原创题)已知，如图，在 ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )中，对角线AC，BD相交于点O，且△OAB是等边三角形，若 ABCD的面积是16，求对角线AC的长．
　解：∵△OAB是等边三角形，∴OA＝ ( http: / / www.21cnjy.com )OB，∠OAB＝60°，又∵四边形ABCD是平行四边形，∴OA＝OC，OB＝OD，∴AC＝BD，∴ ABCD是矩形，∴∠ABC＝90°，∵∠OAB＝60°，∴∠ACB＝30°，∴AC＝2AB，BC＝AB，∴AB·AB＝16，∴AB＝4，∴AC＝8　
知识点二：有三个角是直角的四边形是矩形
7．在数学活动课上，同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某学习小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(　C　)
A．测量对角线是否互相平分
B．测量两组对边是否分别相等
C．测量其中三个角是否都为直角
D．测量对角线是否相等
8．如图，直角∠AOB内的一点P到这个角的两边的距离之和为6，则图中四边形的周长为__12__.
9．如图，点M是矩形ABCD的边A ( http: / / www.21cnjy.com )D的中点，点P为BC上一点，PE⊥MC于点E，PF⊥MB于点F，当AB，BC满足条件__BC＝2AB__时，四边形PEMF为矩形．
10．已知 ABCD的对角线交于点O，分 ( http: / / www.21cnjy.com )别添加下列条件：①∠ABC＝90°；②AC⊥BD；③AC＝BD；④OA＝OD.使 ABCD是矩形的条件的序号是__①③④__.
11．如图，点E，F分别△ABC的边BC，CA的中点，延长EF到点D，使得DF＝EF，连接DA，DC，AE.
(1)求证：四边形ABED是平行四边形；
(2)若AB＝AC，求证：四边形AECD是矩形．
　解：(1)证明：∵AF＝CF，DF ( http: / / www.21cnjy.com )＝EF，∴四边形AECD是平行四边形，∴AD∥BC，AD＝CE，又∵BE＝CE，∴AD＝BE，∴四边形ABED是平行四边形
(2)∵AB＝AC，BE＝CE，∴AE⊥BC，∴∠AEC＝90°，∴ AECD是矩形　
12．如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，BE⊥AC于点E，DF⊥AC于点F，点O既是AC的中点，又是EF的中点．
(1)求证：△BOE≌△DOF；
(2)若OA＝BD，则四边形ABCD是什么特殊四边形？请说明理由．
　解：(1)证明：∵BE⊥AC，DF⊥ ( http: / / www.21cnjy.com )AC，∴∠BEO＝∠DFO＝90°，∵点O是EF的中点，∴OE＝OF，又∵∠DOF＝∠BOE，∴△BOE≌△DOF(ASA)
(2)四边形ABCD是矩形．理 ( http: / / www.21cnjy.com )由如下：∵△BOE≌△DOF，∴OB＝OD，又∵OA＝OC，∴四边形ABCD是平行四边形，∵OA＝BD，OA＝AC，∴BD＝AC，∴ ABCD是矩形　
13．如图，AB＝AC，AD＝AE，DE＝BC且∠BAD＝∠CAE，求证：四边形BCDE是矩形．
　解：证明：∵AC＝AB，AD＝AE， ( http: / / www.21cnjy.com )∠BAD＝∠CAE，∴∠CAD＝∠BAD－∠CAB＝∠CAE－∠CAB＝∠BAE.∴△ADC≌△AEB.∴DC＝BE，∠ABE＝∠ACD.又∵DE＝BC，∴四边形BCDE为平行四边形．∵AB＝AC，∴∠ABC＝ACB，∴∠ABC＋∠ABE＝∠ACB＋∠ACD，即∠EBC＝∠DCB＝90°.∴四边形BCED为矩形　
14．(教材例4变式题)如图，△ABC中， ( http: / / www.21cnjy.com )点O是边AC上一个动点，过点O作直线MN∥BC.设MN交∠ACB的平分线于点E，交∠ACB的外角平分线于点F.连接AE，AF.
(1)求证：OE＝OF；
(2)若CE＝12，CF＝5，求OC的长；
(3)当点O在边AC上运动到什么位置时，四边形AECF是矩形？并说明理由．
　解：(1)证明：∵CF平分 ( http: / / www.21cnjy.com )∠ACD，且MN∥BD，∴∠ACF＝∠FCD＝∠CFO.∴OF＝OC.同理可证：OC＝OE.∴OE＝OF　(2)由(1)知：OF＝OC，OC＝OE，∴∠OCF＝∠OFC，∠OCE＝∠OEC.∴∠OCF＋∠OCE＝∠OFC＋∠OEC.而∠OCF＋∠OCE＋∠OFC＋∠OEC＝180°，∴∠ECF＝∠OCF＋∠OCE＝90°，∴EF＝＝＝13.∴OC＝EF＝　(3)当点O在边AC上运动到AC中点时，四边形AECF是矩形．.理由如下：由(1)知OE＝OF, 当点O移动到AC中点时有OA＝OC，∴四边形AECF是平行四边形， ∵∠ECF＝90°， ∴平行四边形AECF是矩形　
第3课时　矩形的性质与判定的综合运用
1．矩形的性质：(1)矩形具有__平行四边形__的一切性质；(2)矩形的四个角都是__直角__；(3)矩形的对角线__相等__．
2．矩形的判定：(1)有一个角是__直 ( http: / / www.21cnjy.com )角__的平行四边形是矩形；(2)有三个角是__直角__的__四边形__是矩形；(3)对角线__相等__的__平行四边形__是矩形．
知识点：矩形的性质与判定的综合运用
1．如图，四边形ABCD和四边形AEF ( http: / / www.21cnjy.com )C是两个矩形，点B在EF边上，若矩形ABCD和矩形AEFC的面积分别是S1，S2，则S1，S2的大小关系是(　B　)
A．S1>S2　　　　　　　B．S1＝S2
C．S1,第1题图)　　　,第2题图)
2．如图，在△ABC中，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，AH⊥BC于点H，连接EH，若DF＝10 cm，则EH等于(　B　)
A．8 cm　　B．10 cm　　C．16 cm　　D．24 cm
3．如图，矩形OBCD的顶点C的坐标为(1，3)，则对角线BD的长等于(　D　)
A. B．2
C．2 D.
4．在四边形ABCD中，AC和BD的交点为点O，下列条件中不能判定四边形ABCD是矩形的是(　C　)
A．AB＝CD，AD＝BC，AC＝BD
B．AO＝CO，BO＝DO，∠A＝90°
C．∠A＝∠C，∠B＋∠C＝180°，∠AOB＝∠BOC
D．AB∥CD，AB＝CD，∠A＝90°
5．如图，矩形ABCD的对角线相交于点O，AE平分∠BAD交BC于点E，若∠CAE＝15°，则∠BOE＝__75__度．
,第5题图)　　　,第6题图)
6．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，B ( http: / / www.21cnjy.com )C＝4，点A，B分别在y轴，x轴的正半轴上，点C在第一象限，如果∠OAB＝30°，那么点C的坐标为__(1＋2，2)__．
7．平行四边形的四个内角平分线相交，如果能构成四边形，则这个四边形是__矩形__．
8．在四边形ABCD中，对角线AC，BD交于 ( http: / / www.21cnjy.com )点O，从①AB＝CD；②AB∥CD；③OA＝OC；④OB＝OD；⑤AC＝BD；⑥∠ABC＝90°.这六个条件中，可选取三个推出四边形ABCD是矩形，如①②⑤ 四边形ABCD是矩形，请再写出符合要求的两个：__①②⑥ 四边形ABCD是矩形；③④⑤ 四边形ABCD是矩形；(另外③④⑥，②③⑤ 四边形ABCD是矩形)__．
9．如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC，BD相交于点O，BE∥AC交DC的延长线于点E.
(1)求证：BD＝BE；
(2)若∠DBC＝30°，BO＝4，求四边形ABED的面积．
　解：(1)证明：∵四边形ABCD是 ( http: / / www.21cnjy.com )矩形，∴BD＝AC，AB∥CE，又∵BE∥AC，∴四边形ABEC是平行四边形，∴BE＝AC，∴BD＝BE　(2)S四边形ABED＝(AB＋DE)·BC＝(4＋8)×4＝24　
10．如图，在矩形ABCD中，AB＝2，BC＝4，对角线AC的垂直平分线分别交AD，AC于点E，O，连接CE，则CE的长为(　C　)
A．3　　　　　　B．3.5
C．2.5 D．2.8
11．矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，AE⊥BD于点E，若OE∶ED＝1∶3，AE＝，则BD＝__4或__．
12．如图，在矩形ABCD中，两条对角线AC，BD相交于点O，点E是AC上的一点，且BO＝2AE，∠AOD＝120°，求证：BE⊥AC.
　解：证明△AOB为等边三角形，点E是OA的中点即可　
13．如图，矩形ABCD中，AC，BD相交于点O，点E为矩形ABCD外一点，若AE⊥CE，求证：BE⊥DE.
　解：连接OE，∵四边形ABCD是矩形 ( http: / / www.21cnjy.com )，∴OA＝OC，OB＝OD，AC＝BD，∵AE⊥CE，∴OE＝AC，∴OE＝BD，∴OE＝OB＝OD，可证∠BED＝90°，∴BE⊥DE　
14．如图，四边形ABCD是菱形，点E，F，G，H分别是AD，AB，BC，CD的中点．
(1)求证：四边形EFGH是矩形；
(2)若菱形ABCD的面积是50，求四边形EFGH的面积．
　解：(1)∵点E，F分别是AD，AB的 ( http: / / www.21cnjy.com )中点，∴EF綊DB，同理GH綊DB，∴EF綊GH，∴四边形EFGH是平行四边形，又∵四边形ABCD是菱形，∴AC⊥BD，∴EF⊥AC，∴FG⊥EF，∴∠GFE＝90°，∴四边形EFGH是矩形　(2)由(1)知EF＝DB，FG＝AC，∴S矩形EFGH＝EF·FG＝AC·BD＝·(·AC·BD)＝×50＝25　
15．如图，点D是△ABC的边AB上一点，CN∥AB，DN交AC于点M，MA＝MC.
(1)求证：CD＝AN；
(2)若∠AMD＝2∠MCD，求证：四边形ADCN是矩形．
　解：(1)证△AMD≌△CMN得 ( http: / / www.21cnjy.com )AD＝CN，又∵AD∥CN，∴四边形ADCN是平行四边形，∴CD＝AN　(2)∵∠AMD＝2∠MCD，∠AMD＝∠MCD＋∠MDC，∴∠MCD＝∠MDC，∴MD＝MC，由(1)知四边形ADCN是平行四边形，∴MD＝MN＝MA＝MC，∴AC＝DN，∴ ADCN是矩形　
16．如图，将一张矩形纸片ABCD沿直线MN折叠，使点C落在点A处，点D落在点E处，直线MN交BC于点M，交AD于点N.
(1)求证：CM＝CN；
(2)若△CMN的面积与△CDN的面积比为3∶1，求的值．
　解：(1)∵四边形ABCD是矩形， ( http: / / www.21cnjy.com )∴AD∥BC，∴∠ANM＝∠CMN，由折叠知∠CNM＝∠ANM，∴∠CNM＝∠CMN，∴CN＝CM　(2)∵AD∥BC，S△CMN∶S△CDN＝3∶1，∴CM∶DN＝3∶1，设DN＝x，则CM＝3x，过点N作NK⊥BC于点K，∵DC⊥BC，∴NK∥DC，又∵AD∥BC，∴CK＝DN＝x，MK＝2x，由(1)知CN＝CM＝3x，∴NK2＝CN2－CK2＝(3x)2－x2＝8x2，∴MN＝＝＝2x，∴＝＝2