2024五四制鲁教版数学六年级下册--专项素养综合全练(六)平行线中常见辅助线的添加（含解析）

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2024五四制鲁教版数学六年级下册
专项素养综合全练(六)
平行线中常见辅助线的添加　　　　　　　　　　　　　　　　
类型一　连接或延长法
(一)连接两点
1.如图,∠E=∠B+∠D,猜想AB与CD有怎样的位置关系,并说明理由.
(二)延长线段
2.如图,已知AB∥DE,∠1=30°,∠2=35°,则∠BCE的度数为(　　)
A.70° B.65° C.35° D.55°
3.如图,直线l1∥l2,∠α=∠β,∠1=40°,则∠2的度数为　　　　.
类型二　过“拐点”作平行线
(一)“猪蹄”“子弹头”模型
4.如图,将一块含有60°角的直角三角板放置在两条平行线上,若∠1=45°,则∠2的大小为(　　)
A.15° B.25° C.35° D.45°
5.【“猪蹄”模型】【一题多解】如图,AB∥CD,P为AB,CD之间的一点,已知∠2=28°,∠BPC=58°.求∠1的度数.
(二)多“拐点”型
6.如图,已知AB∥EF,若α=∠A+∠F,β=∠B+∠C+∠D+∠E,则α与β之间的数量关系为　　　　.
7.如图①,AB∥CD,E-O-F是直线AB,CD之间的一条折线.
(1)试证明:∠EOF=∠BEO+∠DFO;
(2)如果直线AB,CD之间有两条折线,如图②,那么∠BEO,∠EOP,∠OPF,∠PFC之间满足怎样的数量关系 试说明理由.
　　
(三)复合“拐点”型
8.如图,AB∥CD,BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,∠BFD=120°.求∠BED的度数.
答案全解全析
1.解析　AB∥CD.理由:如图,连接BD.
在三角形BDE中,∠1+∠2+∠E=180°.
∵∠E=∠3+∠4,
∴∠1+∠2+∠3+∠4=180°,
即∠ABD+∠CDB=180,
∴AB∥CD.
2.B　如图,延长BC交DE于点F.
因为AB∥DE,所以∠1=∠BFE=30°.
因为在△CEF中,∠2=35°,
所以∠ECF=180°-∠CFE-∠2=180°-30°-35°=115°.
因为∠BCE与∠ECF是邻补角,所以∠BCE=180°-∠ECF=65°.故选B.
3.140°
解析　如图,延长AE交l2于点B.
因为l1∥l2,∠1=40°,所以∠3=∠1=40°.
因为∠α=∠β,所以AB∥CD.
所以∠2+∠3=180°.
所以∠2=180°-∠3=180°-40°=140°.
4.A　过F作EF∥AB,如图.
因为EF∥AB,
所以∠EFG=∠1=45°.
因为∠EFG+∠EFH=60°,
所以∠EFH=60°-∠EFG=60°-45°=15°.
因为AB∥CD,EF∥AB,
所以EF∥CD,
所以∠2=∠EFH=15°.
5.解析　解法一:过点P作PN∥AB,如图①所示.
∵PN∥AB,AB∥CD,
∴PN∥CD,
∴∠4=∠2=28°.
∵PN∥AB,
∴∠3=∠1.
∵∠BPC=58°,
∴∠3=∠BPC-∠4=58°-28°=30°,
∴∠1=30°.
　
解法二:过P作PM∥AB,如图②所示.
∵PM∥AB,AB∥CD,
∴PM∥AB∥CD,
∵∠2=28°,
∴∠4=180°-∠2=152°.
∵∠4+∠BPC+∠3=360°,
∴∠3=360°-∠4-∠BPC=360°-152°-58°=150°,
∵PM∥AB,
∴∠1=180°-∠3=180°-150°=30°.
方法解读　本题属于“猪蹄”模型.
特点:如图,AB∥CD,O是平行线间一点,连接OB,OC,且两条线段凹进去.
结论:∠BOC=∠B+∠C(已知角关系,平行也成立).
解题方法:一般过平行线间的拐点作平行线,再利用平行线的性质求解.
6.β=3α
解析　如图,过点C作CG∥AB,过点D作DH∥EF.因为AB∥EF,所以AB∥CG∥DH∥EF,所以∠B+∠1=180°,∠2+∠3=180°,∠4+∠E=180°,所以β=∠B+∠BCD+∠CDE+∠E=∠B+∠1+∠2+∠3+∠4+∠E=180°×3=540°.又因为AB∥EF,所以α=∠A+∠F=180°,所以β=3α.
7.解析　(1)证明:如图①,过O作OM∥AB,所以∠1=∠BEO.因为AB∥CD,所以OM∥CD.所以∠2=∠DFO.所以∠1+∠2=∠BEO+∠DFO,即∠EOF=∠BEO+∠DFO.
图①
(2)∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.理由如下:
如图②,过O作OQ∥AB,过P作PN∥CD.
因为AB∥CD,所以OQ∥PN∥AB∥CD.所以∠1=∠BEO,∠2=∠3,∠4=∠PFC.所以∠1+∠2+∠PFC=∠BEO+∠3+∠4.所以∠EOP+∠PFC=∠BEO+∠OPF.
图②
8.解析　如图,连接BD,过F作FG∥AB.
因为AB∥CD,所以FG∥CD,
所以∠ABF=∠BFG,∠CDF=∠DFG,
所以∠BFD=∠ABF+∠CDF=120°,
所以∠FBD+∠FDB=60°.
因为BE平分∠ABF,DE平分∠CDF,
所以∠EBF+∠EDF=(∠ABF+∠CDF)=60°,
所以∠EBD+∠EDB=∠EBF+∠EDF+∠FBD+∠FDB=120°,
所以∠BED=60°.
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