2015（秋）华师大版九年级数学上册课时集训：解直角三角形

24.4　解直角三角形
第1课时　解直角三角形及其简单应用
1．在直角三角形中，由__已知__元素求出__未知__元素的过程，叫做解直角三角形．
2．在直角三角形中，除直角外还有__五__个元素，知道__两__个元素(至少有一个是边)，就可以求出另外__三__个元素．
3．解直角三角形，一般是下面两种情况：(1)已知两条边；(2)已知一条边和一个__锐角__．
知识点1：已知两边解直角三角形
1．在△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，AB＝7，欲求∠A的值，最适宜的做法是( C )
A．计算tanA的值求出
B．计算sinA的值求出
C．计算cosA的值求出
D．先根据sinB求出∠B，再利用90°－∠B求出
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝20，c＝20，则∠A＝__45°__，∠B＝__45°__，b＝__20__．
3．如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，已知BC＝3，AC＝9，解此直角三角形．
解：AB＝6　∠A＝30°　∠B＝60°
知识点2：已知一边一锐角解直角三角形
4．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a，b，c分别为∠A，∠B，∠C的对边，下列各式错误的是( B )
A．a＝csinA　　　　　B．b＝ccosB
C．b＝atanB D．a＝btanA
5．(2014·杭州)在Rt△ABC中，已知∠C＝90°，∠A＝40°，BC＝3，则AC＝( D )
A．3sin40° B．3sin50°
C．3tan40° D．3tan50°
6．(2014·来宾)如图，Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，BC＝6，则AB的长为__4__．
7．在Rt△ABC中，CA＝CB，AB＝9，点D在BC边上，连接AD，若tan∠CAD＝，则BD的长为__6__．
8．在Rt△ABC中，∠C＝90°，c＝8，∠A＝60°，解这个直角三角形．
解：∵∠A＝60°，∴∠B＝90°－∠A ( http: / / www.21cnjy.com )＝30°.∵sinA＝，∴a＝c·sinA＝8×sin60°＝8×＝12，∴b＝＝＝4
知识点3：解直角三角形的简单应用
9．如图，为了测量河两岸A，B两点的距离，在与AB垂直的方向上取点C，测得AC＝m，∠ACB＝α，那么AB等于( C )
A．msinα B．mcosα
C．mtanα D.
10．如图，△ABC中，∠C＝90°，点D在AC上，已知∠BDC＝45°，BD＝10，AB＝20.求∠A的度数．
解：在Rt△BDC中，∵sin∠BDC＝，∴BC＝BD×sin∠BDC＝10×sin45°＝10.在Rt△ABC中，∵sin∠A＝＝＝，∴∠A＝30°
11．(2014·湖州)如图，已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝4，tanA＝，则BC的长是( A )
A．2　　　　B．8　　　　C．2　　　　D．4
,第11题图)　　,第12题图)
12．(2014·扬州)如图，已知∠AOB ( http: / / www.21cnjy.com )＝60°，点P在边OA上，OP＝12，点M，N在边OB上，PM＝PN，若MN＝2，则OM＝( C )
A．3 B．4 C．5 D．6
13．如图，在菱形ABCD中，DE⊥AB于点E，cosA＝，BE＝4，则tan∠DBE的值是__2__．
,第13题图)　　,第14题图)
14．如图，已知在Rt△ABC中，斜边BC上的高AD＝4，cosB＝，则AC＝__5__．
15．根据下列条件解Rt△ABC.(∠C＝90°)
(1)∠A＝30°，b＝；
解：∠B＝90°－∠A＝90°－30°＝60°，∵tanA＝，∴a＝b·tanA＝×＝1，∴c＝2a＝2
(2)c＝4，b＝2.
解：由勾股定理得：a＝＝＝2.∵b＝2，a＝2，∠C＝90°，∴∠A＝∠B＝45°
16．(2014·济宁)如图，在△ABC中，∠A＝30°，∠B＝45°，AC＝2，求AB的长．
解：过点C作CD⊥AB于点 ( http: / / www.21cnjy.com )D，则∠ADC＝∠BDC＝90°.∵∠B＝45°，∴∠BCD＝∠B＝45°，∴CD＝BD.∵∠A＝30°，AC＝2，∴CD＝，∴BD＝CD＝，由勾股定理得：AD＝＝3，∴AB＝AD＋BD＝3＋
17．一个长方体木箱沿斜面下滑，当木箱 ( http: / / www.21cnjy.com )滑至如图位置时，AB＝3 m．已知木箱高BE＝ m，斜面坡角为30°，求木箱端点E距地面AC的高度EF.
解：连接AE，在Rt△ABE中，A ( http: / / www.21cnjy.com )B＝3 m，BE＝ m，则AE＝＝2 m，又∵tan∠EAB＝＝，∴∠EAB＝30°，在Rt△AEF中，∠EAF＝∠EAB＋∠BAC＝60°，∴EF＝AE×sin∠EAF＝2×sin60°＝2×＝3 m
18．探究：如图①，在△ABC中，∠A＝α(0°<α<90°)，AB＝c，AC＝b，试用含b，c，α的式子表示△ABC的面积；
应用：如图②，在 ABCD中，对角线AC，BD相交成的锐角为α，若AC＝a，BD＝b，试用含b，c，α的式子表示 ABCD的面积．
解：探究：过点B作BD⊥AC，垂足 ( http: / / www.21cnjy.com )为D.∵AB＝c，∠A＝α，∴BD＝c·sinα，∴S△ABC＝AC·BD＝bcsinα.应用：过点C作CE⊥DO于点E.∴sinα＝.∵在 ABCD中，AC＝a，BD＝b，∴CO＝a，DO＝b，∴S△COD＝CO·DO·sinα＝absinα，∴S△BCD＝CE×BD＝×asinα×b＝absinα
第2课时　仰角、俯角与解直角三角形的应用
在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做__仰角__；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做__俯角__．
知识点：仰角、俯角与解直角三角形
1．(2014·株洲)孔明同学在距某电视塔塔 ( http: / / www.21cnjy.com )底水平距离500米处，看塔顶的仰角为20°(不考虑身高因素)，则此塔高约为__182__米．(结果保留整数，参考数据：sin20°≈0.3420，sin70°≈0.9397，tan20°≈0.3640，tan70°≈2.7475)
,第1题图)　,第2题图)
2．如图，某飞机于空中A处 ( http: / / www.21cnjy.com )探测到地面目标B，此时从飞机看目标B的俯角α＝30°，飞行高度AC＝1200米，则飞机到目标B的距离AB为__2400__米．
3．(2014·襄阳)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，在建筑平台CD的顶部C处，测得大树AB的顶部A的仰角为45°，测得大树AB的底部B的俯角为30°，已知平台CD的高度为5 m，则大树的高度为__(5＋5)__m．(结果保留根号)
,第3题图)　　　,第4题图)
4．如图，从热气球C处测得地面A，B两 ( http: / / www.21cnjy.com )点的俯角分别是30°，45°，如果此时热气球C处的高度CD为100米，点A，D，B在同一直线上，则AB两点的距离是( D )
A．200米　　　　　　B．200 米
C．220 米 D．100(＋1)米
5．如图，山顶有一座电视塔，在地面上一 ( http: / / www.21cnjy.com )点A处测得塔顶B处的仰角α＝60°，在塔底C处测得A点俯角β＝45°，已知塔高60米，则山高CD等于( A )
A．30(1＋)米 B．30(－1)米
C．30米 D．(30＋1)米
6．(2014·昆明)如图，在数学 ( http: / / www.21cnjy.com )实践课中，小明为了测量学校旗杆CD的高度，在地面A处放置高度为1.5米的测角仪AB，测得旗杆顶端D的仰角为32°，AC为22米，求旗杆CD的高度．(结果精确到0.1米．参考数据：sin32°≈0.53，cos32°≈0.85，tan32°≈0.62)
解：过点B作BE⊥CD，垂足为E，在Rt ( http: / / www.21cnjy.com )△DEB中，∠DEB＝90°，BE＝AC＝22(米)，tan32°＝，∴DE＝BE·tan32°≈22×0.62＝13.64(米)．∵EC＝AB＝1.5，∴CD＝CE＋ED＝1.5＋13.64＝15.14≈15.1(米)．答：旗杆CD的高度为15.1米
7．(2014·广州)如图，某数学兴 ( http: / / www.21cnjy.com )趣小组想测量一棵树CD的高度，他们先在点A处测得树顶C的仰角为30°，然后沿AD方向前行10 m，到达B点，在B处测得树顶C的仰角高度为60°(A，B，D三点在同一直线上)．请你根据他们测量数据计算这棵树CD的高度．(结果精确到0.1 m，参考数据：≈1.414，≈1.732)
解：∵∠CBD＝∠A＋∠ACB，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )CB＝∠CBD－∠A＝60°－30°＝30°，∴∠A＝∠ACB，∴BC＝AB＝10(米)．在直角△BCD中，CD＝BC·sin∠CBD＝10×＝5≈5×1.732＝8.7(米)．答：这棵树CD的高度为8.7米
8．如图，小敏同学想测量一棵大 ( http: / / www.21cnjy.com )树的高度．她站在B处仰望树顶，测得仰角为30°，再往大树的方向前进4 m，测得仰角为60°，已知小敏同学身高(AB)为1.6 m，则这棵树的高度为( D )(结果精确到0.1 m，≈1.73)
A．3.5 m　　　　　　　　B．3.6 m
C．4.3 m D．5.1 m
9．(2014·自贡)如图，某学校新建 ( http: / / www.21cnjy.com )了一座吴玉章塑像，小林站在距离塑像2.7米的A处自B点看塑像头顶D的仰角为45°，看塑像底部C的仰角为30°，求塑像CD的高度．(结果精确到0.1米，参考数据：≈1.7)
解：在Rt△DEB中，DE＝BE·tan4 ( http: / / www.21cnjy.com )5°＝2.7米，在Rt△CEB中，CE＝BE·tan30°＝0.9米，则CD＝DE－CE＝2.7－0.9≈1.2米．故塑像CD的高度大约为1.2米
10．(2014·海南)如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，一艘核潜艇在海面DF下600米A点处测得俯角为30°正前方的海底C点处有黑匣子，继续在同一深度直线航行1 464米到B点处测得正前方C点处的俯角为45°.求海底C点处距离海面DF的深度．(结果精确到个位，参考数据：≈1.414，≈1.732，≈2.236)
解：作CE⊥AB于点E，依题意，AB＝ ( http: / / www.21cnjy.com )1 464，∠EAC＝30°，∠CBE＝45°，设CE＝x，则BE＝x，Rt△ACE中，tan30°＝＝＝，整理得出：3x＝1 464＋x，解得x＝732(＋1)≈2 000米，∴x＋600＝2 600米．答：海底C点处距离DF的深度约为2 600米
11．(2014·哈尔滨)如图，AB， ( http: / / www.21cnjy.com )CD为两个建筑物，建筑物AB的高度为60米，从建筑物AB的顶部A点测建筑物CD的顶部C点的俯角∠EAC为30°.测得建筑物CD的底部D点的俯角∠EAD为45°.
(1)求两建筑物底部之间水平距离BD的长度；
(2)求建筑物CD的高度．(结果保留根号)
解：(1)根据题意得，BD∥AE，∴∠A ( http: / / www.21cnjy.com )DB＝∠EAD＝45°，∵∠ABD＝90°，∴∠BAD＝∠ADB＝45°，∴BD＝AB＝60，∴两建筑底部之间水平距离BD的长度为60米　(2)延长AE，DC交于点F，根据题意得四边形ABDF为正方形，∴AF＝BD＝DF＝60，在Rt△AFC中，∠FAC＝30°，∴CF＝AF·tan∠FAC＝60×＝20，又∵FD＝60，∴CD＝60－20，∴建筑物CD的高度为(60－20)米
12．(2014·黔东南州)黔东南州某校九年 ( http: / / www.21cnjy.com )级某班开展数学活动，小明和小军合作用一副三角板测量学校的旗杆，小明站在B点测得旗杆顶端E点的仰角为45°，小军站在点D测得旗杆顶端E点的仰角为30°，已知小明和小军相距(BD)6米，小明的身高(AB)1.5米，小军的身高(CD)1.75米，求旗杆的高EF的长．(结果精确到0.1，参考数据：≈1.41，≈1.73)
解：过点A作AM⊥EF于点M，过点C ( http: / / www.21cnjy.com )作CN⊥EF于点N，∴MN＝0.25米，∵∠EAM＝45°，∴AM＝ME，设AM＝ME＝x米，则CE＝(x＋6)米，EN＝(x－0.25)米，∵∠ECN＝30°，∴tan∠ECN＝＝＝，解得x≈8.8，则EF＝EN＋MF≈8.8＋1.5＝10.3(米)．答：旗杆的高EF为10.3米
第3课时　坡度与解直角三角形的应用
坡面的铅垂高度(h)和水平长度(l)的 ( http: / / www.21cnjy.com )比叫做坡面的__坡度__(或坡比)，记作i，即i＝____．坡度一般写成1∶m的形式．坡面与水平面的夹角叫做__坡角__，记作α，有i＝＝__tanα__，坡度越大，坡角α就__越大__，坡面就__越陡__．
知识点1：坡度和坡角
1．(2014·怀化)如图，小明爬一土坡 ( http: / / www.21cnjy.com )，他从A处爬到B处所走的直线距离AB＝4米，此时，他离地面高度为h＝2米，则这个土坡的坡角∠A＝__30°__．
2．某水库大坝的横断面是梯形，坝内斜坡的坡度i＝1∶，坝外斜坡的坡度i＝1∶1，则两个坡角的和为__75°__.
3．某人沿着有一定坡度的坡面前进了10米，此时他与水平地面的垂直距离为2 米，则这个坡面的坡度为__1∶2__．
知识点2：解有关坡度、坡角的实际问题
4．(2014·丽水)如图，河坝横 ( http: / / www.21cnjy.com )断面迎水坡AB的坡比是1∶(坡比是坡面的铅直高度BC与水平宽度AC之比)，坝高BC＝3 cm，则坡面AB的长度是( B )
A．9 m　 　B．6 m　 　C．6 m　 　D．3 m
,第4题图)　　,第5题图)
5．如图，先锋村准备在坡角为α的山坡上栽树，要求相邻两树之间的水平距离为5米，那么这两树在坡面上的距离AB为( B )
A．5cosα B.
C．5sinα D.
6．如图，斜坡AC的坡度(坡比)为1 ( http: / / www.21cnjy.com )∶，AC＝10米．坡顶有一旗杆BC，旗杆顶端B点与A点有一条彩带AB相连，AB＝14米．则旗杆BC的高度是__6__米．
7．(2014·巴中)如图，一水库大坝 ( http: / / www.21cnjy.com )的横断面为梯形ABCD，坝顶BC宽6米，坝高20米，斜坡AB的坡度i＝1∶2.5，斜坡CD的坡角为30°，求坝底AD的长度．(精确到0.1米，参考数据：≈1.414，≈1.732.提示：坡度等于坡面的铅垂高度与水平长度之比)
解：作BE⊥AD，CF⊥AD ( http: / / www.21cnjy.com )，垂足分别为点E，F，则四边形BCFE是矩形，由题意得，BC＝EF＝6米，BE＝CF＝20米，斜坡AB的坡度i为1∶2.5，在Rt△ABE中，BE＝20米，＝，∴AE＝50米．在Rt△CFD中，∠D＝30°，∴DF＝CF·cotD＝20 米，∴AD＝AE＋EF＋FD＝50＋6＋20≈90.6(米)．故坝底AD的长度约为90.6米
8．某商场为方便顾客使用购 ( http: / / www.21cnjy.com )物车，准备将滚动电梯的坡面坡度由1∶1.8改为1∶2.4(如图)．如果改动后电梯的坡面长为13米，求改动后电梯水平宽度增加部分BC的长．
解：在Rt△ADC中，∵AD∶DC＝1∶2 ( http: / / www.21cnjy.com ).4，AC＝13，由AD2＋DC2＝AC2，得AD2＋(2.4·AD)2＝132，∴AD＝5，∴DC＝12米．在Rt△ABD中，∵AD∶BD＝1∶1.8，∴BD＝1.8·AD＝9米，∴BC＝DC－BD＝12－9＝3(米)．答：改动后电梯水平宽度增加部分BC的长为3米
9．(2014·德州)如图是拦水坝的横断面，斜坡AB的水平宽度为12米，斜面坡度为1∶2，则是斜坡AB的长为( B )
A．4 米　　　　　　B．6 米
C．12 米 D．24米
,第9题图)　,第10题图)
10．(2014·上海)如图，已知传送带与水 ( http: / / www.21cnjy.com )平面所成斜坡的坡度i＝1∶2.4，如果它把物体送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程为__26__米．
11．如图，某公园入口处原有三级台阶，每级台 ( http: / / www.21cnjy.com )阶高为18 cm，深为30 cm，为方便残疾人士，拟将台阶改为斜坡，设台阶的起点为A，斜坡的起始点为C，现设计斜坡BC的坡度i＝1∶5，则AC的长度是__210__cm.
12．某校教学楼后面紧邻着一 ( http: / / www.21cnjy.com )个山坡，坡上面是一块平地，如图所示，BC∥AD，BE⊥AD，斜坡AB长为 米，坡度i＝9∶5.为了减缓坡面防止山体滑坡，保障安全，学校决定对该斜坡进行改造，地质人员勘测，当坡角不超过45°时，可确保山体不滑坡．
(1)求改造前坡顶到地面的距离BE的长；
(2)如果改造时保持坡脚A不动，坡顶B沿BC削进到F处，问BF至少是多少米？
解：(1)∵i＝＝，设BE＝9k，AE＝5k(k为正数)，则在Rt△AEB中，∠BEA＝90°，AB＝米，AB2＝BE2＋AE2，即()2＝(9k)2＋(5k)2，解得k＝，∴BE＝9×＝22.5(米)(2)由(1)得AE＝12.5，设BF＝x，作FH⊥AD于点H，则＝tan∠FAH，由题意得≤tan45°，即x≥10.所以坡顶B沿BC至少削进10米，才能确保安全
13．(2014·遵义)如图，一楼房AB后 ( http: / / www.21cnjy.com )有一假山，其坡度为i＝1∶，山坡坡面上E点处有一休息亭，测得假山坡脚C与楼房水平距离BC＝25米，与亭子距离CE＝20米，小丽从楼房顶测得E点的俯角为45°，求楼房AB的高．(注：坡度i是指坡面的铅垂高度与水平宽度的比)
解：过点E作EF⊥BC的延长线于点F， ( http: / / www.21cnjy.com )EH⊥AB于点H，在Rt△CEF中，∵i＝＝＝tan∠ECF，∴∠ECF＝30°，∴EF＝CE＝10米，CF＝10米，∴BH＝EF＝10米，HE＝BF＝BC＋CF＝(25＋10)米，在Rt△AHE中，∵∠HAE＝45°，∴AH＝HE＝(25＋10)米，∴AB＝AH＋HB＝(35＋10)米．答：楼房AB的高为(35＋10)米
14．如图，某防洪指挥部发现长江边 ( http: / / www.21cnjy.com )一处长600米，高10米，背水坡的坡角为45°的防洪大堤(横断面为梯形ABCD)急需加固．经调查论证，防洪指挥部专家组制定的加固方案是：背水坡面用土石进行加固，并使上底加宽3米，加固后背水坡EF的坡比i＝1∶.
(1)求加固后坝底增加的宽度AF；(结果保留根号)
(2)求完成这项工程需要土石多少立方米？(结果保留根号)
解：(1)过点E，D作EM⊥BF ( http: / / www.21cnjy.com )于点M，DN⊥BF于点N，则MN＝DE＝2米，EM＝DN＝10米．在Rt△AND中，AN＝＝10米．∵i＝＝，∴FM＝10米，∴AF＝FM＋MN－AN＝(10－8)米　(2)∵S梯形ADEF＝＝50－30，∴(50－30)×600≈(30000－18000)立方米．答：完成这项工程需要土石约(30000－18000)立方米
综合练习　解直角三角形的实际应用
1．如图为测量某物体AB的高度，在D点 ( http: / / www.21cnjy.com )测得A点的仰角为30°，朝物体AB方向前进20米到达点C，再次测得A点的仰角为60°，则物体的高度为( A )
A．10 米　　B．10米　　C．20 米　　D. 米
,第1题图)　　,第2题图)
2．(2014·临沂)如图，在某监 ( http: / / www.21cnjy.com )测点B处望见一艘正在作业的渔船在南偏西15°方向的A处，若渔船沿北偏西方75°方向以40海里/小时的速度航行，航行半小时后到达C处，在C处观测到B在C的北偏东60°方向上，则B，C之间的距离为( C )
A．20海里 B．10 海里
C．20 海里 D．30海里
3．(2014·衡阳)如图，一河坝的 ( http: / / www.21cnjy.com )横断面为等腰梯形ABCD，坝顶宽10米，坝宽12米，斜坡AB的坡度i＝1∶1.5，则坝底AD的长度为( D )
A．26米 B．28米 C．30米 D．46米
,第3题图)　　,第4题图)
4．(2014·舟山)如图，在地面上的点A处测得树顶B的仰角为α度，AC＝7米，则树高BC为__7tanα__米．(用含α的代数式表示)
5．如图，两建筑物的水平距离BC为18 ( http: / / www.21cnjy.com ) m，从A点测得D点的俯角α为30°，测得C点的俯角β为60°，则建筑物CD的高度为__12__m．(结果不作近似计算)
,第5题图)　　　,第6题图)
6．(2014·十堰)如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，轮船在A处观测灯塔C位于北偏西70°方向上，轮船从A处以每小时20海里的速度沿南偏西50°方向匀速航行，1小时后到达码头B处，此时，观测灯塔C位于北偏西25°方向上，则灯塔C与码头B的距离是__24__海里．(结果精确到个位，参考数据：≈1.4，≈1.7，≈2.4)
7．(2014·南京)如图，梯子斜 ( http: / / www.21cnjy.com )靠在与地面垂直(垂足为O)的墙上，当梯子位于AB位置时，它与地面所成的角∠ABO＝60°；当梯子底端向右滑动1 m(即BD＝1 m)到达CD的位置时，它与地面所成的角∠CDO＝51°18′，求梯子的长．(参考数据：sin51°18′≈0.780，cos51°18′≈0.625，tan51°18′≈1.248)
解：设梯子的长x m．在 ( http: / / www.21cnjy.com )Rt△AOB中，cos∠ABO＝，∴OB＝AB·cos∠ABO＝x·cos60°＝x.在Rt△CDO中，cos∠CDO＝，∴OD＝CD·cos∠CDO＝x·cos51°18′≈0.625x.∵BD＝OD－OB，∴0.625x－x＝1，解得x＝8.故梯子的长是8米
8．(2014·烟台)小明坐于堤边 ( http: / / www.21cnjy.com )垂钓，如图，河堤AC的坡角为30°，AC的长米，钓竿AO的倾斜角是60°，其长为3米，若AO与钓鱼线OB的夹角为60°，求浮漂B与河堤下端C之间的距离．
解：延长OA交BC于点D.∵AO ( http: / / www.21cnjy.com )的倾斜角是60°，∴∠ODB＝60°.∵∠ACD＝30°，∴∠CAD＝180°－∠ODB－∠ODB－∠ACD＝90°，在Rt△ACD中，AD＝AC·tan∠ACD＝·＝(米)，∴CD＝2AD＝3(米)，又∵∠O＝60°，∴△BOD是等边三角形，∴BD＝OD＝OA＋AD＝3＋1.5＝4.5(米)，∴BC＝BD－CD＝4.5－3＝1.5(米)．答：浮漂B与河堤下端C之间的距离为1.5米
9．(2014·河南)在中俄“海上 ( http: / / www.21cnjy.com )联合－2014”反潜演习中，我军舰A测得潜艇C的俯角为30°.位于军舰A正上方1 000米的反潜直升机B测得潜艇C的俯角为68°.试根据以上数据求出潜艇C离开海平面的下潜深度．(结果保留整数，参考数据：sin68°≈0.9，cos68°≈0.4，tan68°≈2.5，≈1.7)
解：过点C作CD⊥BA的延 ( http: / / www.21cnjy.com )长线于点D.则AD即为潜艇C的下潜深度，根据题意得∠ACD＝30°，∠BCD＝68°.设AD＝x，则BD＝BA＋AD＝1 000＋x.在Rt△ACD中，CD＝＝＝x.在Rt△BCD中，BD＝CD·tan68°.∴1 000＋x＝x·tan68°，∴x＝≈≈308.∴潜艇C离开海平面的下潜深度约为308米
10．(2014·南充)马航M ( http: / / www.21cnjy.com )H370失联后，我国政府积极参与搜救．某日，我两艘专业救助船A，B同时收到有关可疑漂浮物的讯息，可疑漂浮物P在救助船A的北偏东53.5°方向上，在救助船B的西北方向上，船B在船A正东方向140海里处．(参考数据：sin36.5°≈0.6，cos36.5°≈0.8，tan36.5°≈0.75)
(1)求可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离；
(2)若救助船A、救助船B分别以40海里/时，30海里/时的速度同时出发，匀速直线前往搜救，试通过计算判断哪艘船先到达P处．
解：(1)过点P作PH⊥AB于点E，由题意得 ( http: / / www.21cnjy.com )，∠PAE＝36.5°，∠PBA＝45°，在Rt△PAE中，＝tan∠PAE＝，即＝0.75，解得x＝60海里，∴可疑漂浮物P到A，B两船所在直线的距离为60海里　(2)在Rt△PBE中，PE＝60海里，∠PBE＝45°，则BP＝PE＝60≈84.8海里，B船需要的时间为：≈2.83小时，在Rt△PAE中，＝sin∠PAE，∴AP＝PE÷sin∠PAE＝60÷0.6＝100海里，∴A船需要的时间为：100÷40＝2.5，∵2.83>2.5，∴A船先到达
11．(2014·安徽)如图，在同一 ( http: / / www.21cnjy.com )平面内，两条平行高速公路l1和l2间有一条“Z”型道路连通，其中AB段与高速公路l1成30°角，长为20 km；BC段与AB，CD段都垂直，长为10 km，CD段长为30 km，求两高速公路间的距离．(结果保留根号)
解：过B点作BE⊥l1， ( http: / / www.21cnjy.com )交l1于点E，CD于点F，l2于点G.在Rt△ABE中，BE＝AB·sin30°＝20×＝10 km，在Rt△BCF中，BF＝BC÷cos30°＝10÷＝km，CF＝BF·sin30°＝×＝km，DF＝CD－CF＝(30－)km，在Rt△DFG中，FG＝DF·sin30°＝(30－)×＝(15－)km，∴EG＝BE＋BF＋FG＝(25＋5)km.故两高速公路间的距离为(25＋5)km
12.
(2014·泸州)海中两 ( http: / / www.21cnjy.com )个灯塔A，B，其中B位于A的正东方向上，渔船跟踪鱼群由西向东航行，在点C处测得灯塔A在西北方向上，灯塔B在北偏东30°方向上，渔船不改变航向继续向东航行30海里到达点D，这是测得灯塔A在北偏西60°方向上，求灯塔A，B间的距离．(计算结果用根号表示，不取近似值)
解：
如图，由题意可得出：∠FCA＝∠AC ( http: / / www.21cnjy.com )N＝45°，∠NCB＝30°，∠ADE＝60°，过点A作AF⊥FD，垂足为F，则∠FAD＝60°，∠FAC＝∠FCA＝45°，∠ADF＝30°，∴AF＝FC＝AN＝NC，设AF＝FC＝x，∴tan30°＝＝＝，解得x＝15(＋1)，∵tan30°＝，∴＝，解得BN＝15＋5，∴AB＝AN＋BN＝15(＋1)＋15＋5＝30＋20.答：灯塔A，B间的距离为(30＋20)海里