2023—2024(上)六校协作体高一联考
数学试题
考试时间：120 分钟 满分：150 分
一、单项选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，
只有一项是符合题目要求的．
1. 若集合 A x log2 x 2 ，B y y 1 x ，则 A B （ ）
A． 0,4 B． 0,4 C． 0,1 D． ,1
2. 学校举行舞蹈比赛，现从报名的 50 位学生中利用下面的随机数表抽取 10 位同学参加，
将这 50 位学生按 01、02、 、50 进行编号，假设从随机数表第 1 行第 2 个数字开始由
左向右依次选取两个数字，重复的跳过，读到行末则从下一行行首继续，则选出来的第 5
个号码所对应的学生编号为（ ）．
0627 4313 2432 5327 0941 2512 6317 6323 2616 8045 6011
1410 9577 7424 6762 4281 1457 2042 5332 3732 2707 3607
5124 5179 3014 2310 2118 2191 3726 3890 0140 0523 2617
A．43 B．25 C．32 D．12
1 2
3. “ x 4，2 ， x a 0为真命题”是“ a 2” 的（ ）
2
A．充要条件 B．充分不必要条件
C．必要不充分条件 D．既不充分也不必要条件
4. 设 a，b，c都是正数，且3a 4b 6c ，那么下列关系正确的是（ ）
1 1 1 1 1 2
A．a 2b c B．ac 2bc ab C． D．
a 2b c a b c
f x x2
2 x
5．函数 log4 的大致图象是（ ）
2 x
A． B． C． D．
x 1
6. 已知函数 f x a 2（a 0，a 1）恒过定点M m，n ，则函数 g x m xn 的
图象不经过（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
7．已知函数 f x log x
2
1 ax 2a 在 1 ， 上单调递减，则实数a 的取值范围是（ ）
2
A． ，1 B． 2，1 C． 2， D． ， 2
8．已知定义在 a 1，2a 上的偶函数 f x ，且当 x 0 ，2a 时， f x 单调递减，则关于
x 的不等式 f x 1 f 2x 3a 的解集是（ ）
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{#{QQABBYgEgggIAAAAARgCEQU4CAOQkBAAAAoGQAAAIAABwRFABAA=}#}
2 1 5 1 2 2 5
A． (0， ) B． ， C． ， D． ( ， ] 3 6 6 3 3 3 6
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，计 20分．在每小题给出的选项中，有多
个选项是符合题目要求的，全部选对得 5分，有选错的得零分，部分选对得 2分。
9. 已知正实数 a，b 满足3a 2b 1，则下列结论正确的是（ ）
2 3 3
A． 的最小值为 24 B．a b 1 的最大值为
a b 8
4b2 8 1
C． 的最小值为 12 D．a2 b2 的最小值为
a 13
10. 在甲、乙两个盒子中分别装有标号为 1，2，3 的三个小球，现从甲、乙两个盒子中各
取出 1 个球，每个球被取出的可能性相等.下列说法正确的是（ ）
4
A．取出的两个球上标号为不同数字的概率为
9
5
B．取出的两个球上标号之积能被 3 整除的概率为
9
1
C．取出的两个球上标号为相同数字的概率为
3
1
D．甲盒中取出的球上标号比乙盒中取出的球上标号大的概率为
3
11. 下列结论正确的是（ ）
2 2
A．要使关于 x 的方程 x a 1 x a 2 0 的一根比1大且另一根比1小，则a的取
值范围是 2 a 1
B． x2 kx k 1 0在 (1，2) 上恒成立，则实数 k 的取值范围是 [3 ，+ )
ax b
C．关于 x 的不等式ax b 0的解集是 (1 ，+ ) ，则关于 x 的不等式 0的解集
x 2
是 , 1 2,
D．若不等式ax2 bx c 0的解集为{x | x 2或 x 4}，则对于函数
f x ax2 bx c 有 f 2 f 1 f 5
12. 已知定义在R 上的函数 y f x 满足：① y f x 是偶函数；②当 x 0时，f x 1；
当 x 0， y 0时， f x y f x f y ，则（ ）
A． f 0 1 B． f x 在 0， 上单调递增
f 4
C．不等式 f x 的解集为 6 ，2 D． f x y f x f y
f 2
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5分，计 20分。
2
13.已知幂函数 f (x) (2n 1)x m 2m+3 (其中m N )在 (0 ， )上是单调递增的，并且在其
定义域上是偶函数，则m n .
14.若函数 y log2 ax2 2x a 的值域为 R ，实数 a的取值范围是 .
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15.某校教师男女人数之比为 5:4，该校所有教师进行 1 分钟限时投篮比赛．现记录了每
个教师 1 分钟命中次数，已知男教师命中次数的平均数为 17，方差为 16，女教师命中次
数的平均数为 8，方差为 16，那么全体教师 1 分钟限时投篮次数的方差为 ．
log2x ，0 x 2
16.已知函数 f x 1 ， 如果存在实数 a，b，c ，满足 a b c，且
x 2，x 2
2
f (a) f (b) f (c)，则 z cf (c) ab 的取值范围为 ．
四、解答题：本题共 6 小题，计 70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
17.(本题满分 10 分)
化简求值
1
0 3
3
(1) 1 8 2
6
2 2 6 2 3 3 ；
64 9
2 1 log 3
(2) log3 5 log5 9 (lg5) lg5 lg20 lg16 2
2 .
2
18.(本题满分 12 分)
某市为了了解人们对“中国梦”的伟大构想的认知程度，针对本市不同年龄和不同职业的
人举办了一次“一带一路”知识竞赛，满分 100 分（95 分及以上为认知程度高），结果认知
程度高的有 m 人，按年龄分成 5 组，其中第一组： 20，25 ，第二组： 25，30 ，第三组：
30，35 ，第四组： 35，40 ，第五组： 40，45 ，得到如图所示的频率分布直方图，已知
第一组有 10 人．
(1)根据频率分布直方图，估计这 m 人的平均年龄（同一组数据用该组区间的中点值代替）
和第 80 百分位数；
(2)现从以上各组中用分层随机抽样的方法抽取 20 人，担任本市的“中国梦”宣传使者．若
有甲（年龄 38），乙（年龄 40）两人已确定入选宣传使者，现计划从第四组和第五组被
抽到的使者中，再随机抽取 2 名作为组长，求甲 乙两人至少有一人被选上的概率．
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19.(本题满分 12 分)
1 x
已知集合 A x a 2 x a 2 ，集合B x 2 32 ；
2
（1）若 x A是 x B的充分不必要条件，求a的取值范围；
2
（2）已知 f x 1 log3 x 1 x 9 ，设 g(x) f x f x
2 ，求函数 y g x 的值
域．
20.(本题满分 12 分)
已知 f (x) log 4x4 1 kx(k R) 图像关于 y 轴对称．
（1）求 k 的值；
（2）若方程 f (x) log4 a 2x a 有且只有一个实根，求实数a的取值范围．
21.(本题满分 12 分)
f
2 x b
已知函数 f x a 3a 3 ax 为指数函数，函数 g x 为奇函数.
f x 1
(1)求 f x ，g x 的解析式；
(2)设函数h x x 0 满足 g x h x 2
x x
2 2 ，若不等式h 2x kh x 18恒成立，
求实数 k 的最大值.
22.(本题满分 12 分)
1 1
已知函数 f x x Rx ， f 0 ． 3 c 2
(1)求 f x 的值域；
(2)已知“函数 f x 的图像关于点 a,b 对称”的充要条件是“ f a x f a x 2b对于
定义域内任何 x恒成立”．试用此结论判断函数 f x 的图像是否存在对称中心，若存在，
求出该对称中心的坐标；若不存在，说明理由；
3
(3)若对任意 x 1,n ，都存在 x2 1, 及实数m ，使得 f 1 mx1 f x1x2 11 ，求实数
2
n的最大值．
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{#{QQABBYgEgggIAAAAARgCEQU4CAOQkBAAAAoGQAAAIAABwRFABAA=}#}高一数学联考试题参考答案
一、单选题
1 2 3 4 5 6 7 8
A D C C A D B D
二、多选题
9 10 11 12
AD BCD ABD AB
三、填空题
13 14 15 16
2
四、解答题
17.解：（1）
.……5分
（2）原式
. ……10分
18. （1）解：设这m人的平均年龄为，
则岁，
设第80百分位数为a，因为，所以第80百分位数在之间，
由，解得 ……6分
（2）解：由题意得，各组人数比例为，所以第四组应抽取人，记为A，B，C，甲，第五组应抽取人，记为D，乙.
对应的样本空间为：甲，乙，，，甲，乙，，甲，乙，，甲,乙，甲,，乙,，共15个样本点.
设事件 “甲、乙两人至少一人被选上”，
则甲，乙，甲，乙，甲，乙，甲,乙，甲,，乙,，共有9个样本点.
所以 ……12分
19. （1）因为是的充分不必要条件，
所以 ，所以，
解得 ……5分
（2）由题意得，则，即的定义域为，
故，
令，则，
函数在上单调递增，故，
故函数的值域为. ……12分
20. (1)因为为偶函数，所以
即，∴
∴，∴ ……4分
(2)依题意知:
∴由得
令，则①变为，只需关于的方程只有一个正根即可满足题意
1)，不合题意
2)①式有一正一负根，则 经验证满足，
3)若①式有两相等正根，则，此时
若，则，此时方程无正根
故舍去
若，则，且
因此符合要求
综上得:或. ……12分
21. （1）因为为指数函数，
所以，解得（舍去）或，
所以，
所以，
因为为奇函数，所以，即，
得到，解得，可得，
且，为奇函数
所以； ……5分
（2）因为，
所以，
所以，
所以，
不等式恒成立，即恒成立，
令，则，
由，可得在时恒成立，
因为，由基本不等式可得，当且仅当时，等号成立，
所以，即实数的最大值为8.
……12分
22. （1）将代入，得，则，
又因为，
所以的值域为； ……2分
（2）假设函数的图像存在对称中心，
则对于定义域内任何恒成立，
整理得恒成立，
所以，
解得，，
故函数的对称中心为； …………6分
（3）因为对任意，都存在及实数，使得，
所以，即，
所以，所以，
因为，所以，
因为，所以，
所以，即，
所以，
所以，即的最大值为2. ……12分
