2023年秋学期九年级数学第二次学情检测
参考答案
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1.A 2．C． 3. B 4. D 5. C 6.B
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7. 8. 9．6． 10.．
11.6 12．>> 13. 14. 66
15. 16．．
17.（1），；————————(5分)
（2）y＝（x﹣3）2+1，∴顶点为坐标为（3，1）；————————(5分)
18. （1） （2） (3)七年级和八年级的平均成绩相同，但是七年级的中位数比八年级的大，所以七年级参赛学生的成绩较好．————————(8分)
19.（1） （2）————————(8分)
20.已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（2，3）和（﹣1，﹣3），求这个二次函数的表达式．
【解答】解：把（2，3）和（﹣1，﹣3）代入y＝ax2+c得：
，
解得，
∴这个二次函数的表达式为y＝2x2﹣5．————————(10分)
21.如图，在中，D为AC边上一点，．
求证：∽；
若，，求CD的长．
解：，，
∽；
∽，
，
，，
．————————(10分)
22. 已知关于x的方程．
（1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为－4，求k的值．
解：（1）∵中，，
∴，
∴不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）将，代入，得：，
解得：．
∴k的值为2或6．————————(10分)
23. 为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
解：设米，则米，根据题意得，
，
解得：，
答：的长为米或米．————————(10分)
24. 小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
解：（1）如图，连接PA并延长交直线BO于点E，则线段BE即为小亮站在AB处的影子：
（2）延长PC交OD于F，如图，则DF为小亮站在CD处的影子，
AB＝CD＝1.6，OB＝2.4，BE＝1.2，OD＝6，
∵AB∥OP，
∴△EBA∽△EOP，
∴即
解得OP＝4.8，
∵CD∥OP，
∴△FCD∽△FPO，
∴，即，
解得FD＝3
答：小亮（CD）的影长为3m．————————(10分)
25. 如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3，0)，B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求直线AC表达式；
（3）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P(不与点M重合)，使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；
【答案】（1）；
直线AC的解析式为：；
（3）P(2，3)．————————(12分)
26.如图，在中，AB为直径，P为AB上一点，，为常数，且过点P的弦，Q为上一动点与点B不重合，，垂足为连接AD、BQ．
若．
求证：；
求的值；
用含m的代数式表示，请直接写出结果；
存在一个大小确定的，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数．————————(14分)
解：连接OD，如图：
即，，
，
，
，
是OA中点，
又，
是OA的垂直平分线，
，即是等边三角形，
；
连接AQ，如图：
是直径，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
由知：，，
；
连接AQ、BD，如图：
是直径，
，
，
又，
∽，
，
，，
，，
，
与中同理，可得：，
；
由得，
，即，
，
若是定值，则的值与DH无关，
当时，的定值为1，此时P与O重合，如图：
，，
是等腰直角三角形，
，
，
，
故存在半径为1的，对Q的任意位置，都有是定值1，此时的度数为45．2023年秋学期九年级数学第二次学情检测
一、选择题（本大题共6小题，共18.0分）
1．下列事件中的必然事件是（ ▲ ）
A. 地球绕着太阳转 B. 射击运动员射击一次，命中靶心
C. 天空出现三个太阳 D. 经过有交通信号灯的路口，遇到红灯
2．下列两个图形一定相似的是（ ▲ ）
A．任意两个矩形 B．任意两个等腰三角形 C．任意两个正方形 D．任意两个菱形
3．在同一平面内，已知的半径为2，圆心O到直线l的距离为3，点P为圆上的一个动点，则点P到直线l的最大距离是（ ▲ ）
A. 2 B. 5 C. 6 D. 8
4．在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ▲ ）
A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化
C 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定
5．徐州云龙山共九节，蜿蜒起伏，形似游龙，每节山的海拔如图所示．
其中，海拔为中位数的是（ ▲ ）
A. 第五节山 B. 第六节山 C. 第八节山 D. 第九节山
6．已知二次函数（a为常数，且），下列结论：
①函数图像一定经过第一、二、四象限；②函数图像一定不经过第三象限；③当时，y随x的增大而减小；④当时，y随x的增大而增大．其中所有正确结论的序号是( ▲ )
A ①② B. ②③ C. ② D. ③④
二、填空题（本大题共10小题，共30.0分）
7．两个相似图形的周长比为，则面积比为 ▲ ．
8．在英文句子“Happy Teachers' Day！”中，字母“”出现的频数为 ▲ ．
9．若a＝4cm，b＝9cm，则线段a，b的比例中项是 ▲ cm．
10．一个二次函数的图象与抛物线的形状相同，开口方向相反，且顶点为，则这个二次函数的解析式是 ▲ ．
11．若圆锥的底面半径是2，侧面展开图是一个圆心角为120的扇形，则该圆锥的母线长是 ▲ ．
12．已知二次函数的图像上有三点，，，则，，的大小关系为 ▲ ．
13．在平面直角坐标系中，将二次函数的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度，所得拋物线对应的函数表达式为 ▲ ．
14. 如图，在中，直径与弦交于点．连接，过点的切线与的延长线交于点．若，则 ▲ °．
15．如图，在中，，点在边上．将沿折叠，使点落在点处，连接，则的最小值为 ▲ ．
16．如图，△ABC与△DEF均为等边三角形，O为AC、ED的中点，则AE：BF的值为 ▲ ．
第14题图 第15题图 第16题图
四、解答题（本大题共10小题，共102.0分）
17.（10分）（1）解方程：；
（2）求二次函数y＝x2﹣6x+10的顶点坐标．
18.（8分）.某校为了普及环保知识，从七、八两个年级中各选出10名学生参加环保知识竞赛（满分100分），并对成绩进行整理分析，得到如下信息：
根据以上信息，回答下列问题：
（1）填空：________，________；
（2）七、八年级参赛学生成绩的方差分别记为、，请判断___________（填“”“”或“”）；
（3）从平均数和中位数的角度分析哪个年级参赛学生的成绩较好．
19.（8分）姜堰是个好地方，有着丰富的旅游资源．某天甲、乙两人来姜堰旅游，两人分别从，，三个景点中随机选择一个景点游览．
（1）甲选择景点的概率为________；
（2）请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两人中至少有一人选择景点的概率．
20.（10分）已知二次函数y＝ax2+c的图象经过点（2，3）和（﹣1，﹣3），求这个二次函数的表达式．
21.（10分）如图，在中，D为AC边上一点，．
求证：∽；
若，，求CD的长．
22.（10分）已知关于x的方程．
（1）求证：不论k为何值，该方程都有两个不相等的实数根；
（2）若方程有一个根为－4，求k的值．
23.（10分）为了便于劳动课程的开展，学校打算建一个矩形生态园（如图），生态园一面靠墙（墙足够长），另外三面用的篱笆围成．生态园的面积能否为？如果能，请求出的长；如果不能，请说明理由．
24.（10分）小亮晚上在广场散步，图中线段AB表示站立在广场上的小亮，线段PO表示直立在广场上的灯杆，点P表示照明灯的位置．
（1）请你在图中画出小亮站在AB处的影子BE；
（2）小亮的身高为1.6m，当小亮离开灯杆的距离OB为2.4m时，影长为1.2m，若小亮离开灯杆的距离OD＝6m时，则小亮（CD）的影长为多少米？
25.（12分）如图，顶点为M的抛物线y=ax2+bx+3与x轴交于A(3，0)，B(﹣1，0)两点，与y轴交于点C．
（1）求抛物线的表达式；
（2）求直线AC表达式；
（3）在直线AC的上方的抛物线上，有一点P(不与点M重合)，使△ACP的面积等于△ACM的面积，请求出点P的坐标；
26.（14分）如图，在中，AB为直径，P为AB上一点，，为常数，且过点P的弦，Q为上一动点与点B不重合，，垂足为连接AD、BQ．
（1）若．
求证：；
求的值；
（2）用含m的代数式表示，请直接写出结果；
（3）存在一个大小确定的，对于点Q的任意位置，都有的值是一个定值，求此时的度数．
