成都市成外 2023-2024 学年度上期 12 月月考
高一数学试卷（答案）
一、单选题： D A B C A A C A
二、多选题： 9．ABC 10．AD 11．BD 12．BCD
12.【详解】函数的图象如下图所示：
2 2
当 x 0时， f x x 2x 3 (x 1) 4 4，此时 f x 3 x 0或 x 2；
当0 x e2 时 f x 2 ln x，此时函数单调递减，
当 x e2 时 f x ln x 2，此时函数单调递增，
1
6 1此时 f x 3 x e5或 x ， f x 4 x e 或 x
e2
，
e
2 x 2x 3, x 0
直线 y m与函数 f x 有四个不同的点，必有3 m 4，
2 lnx , x 0
1 1
2 a 1 b 0 c e2 e5 d e6此时 ，其中a b 2 ( 1) 2，
e2 e
且 a2 2a 3 b2 2b 3 2 lnc ln d 2 m，
因此有ab m 3，2 lnc ln d 2 lncd 4 cd e4，显然ab [0,1)，
abcd 0,e4因此 ，所以选项 A 不正确，选项 B、C 正确；
1 1
因为a b 2， c e5 d e62 ， e e
1 1
结合图象知：e
5 2 a b c d e6 2
2 ，因此选项 D 正确， e e
三、填空题：
5 5
13． 1,1 14． 5, 15．2 6 16． , ,
8 16
x2 4x, 2 x 3
16.【详解】当 x 2,4 时， f (x) x2 2 ，
,3 x 4
x
x22 2 2
由于 y x2 4x x 2 4为对称轴为 x 2开口向下的二次函数， y x 在 3,4 上单调递增，
x x
9
可得 f (x)在 2,3 上单调递减，在 3,4 上单调递增， f (2) 4, f 3 3, f 4 ，
2
11 9
f (x)在 2,3 上的值域为 3,4 ，在 3,4 上的值域为 , ，
3 2
答案第 1 页，共 4 页
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9
f (x)在 2,4 上的值域为 3, ，
2
1 1 1
f (x 2) 2 f (x) ， f (x) f (x 2) f (x 4) f x 6 ，
2 4 8
故当 x 4, 2 , x 6 2,4 ，
3 9
f (x)在 4, 2 上的值域为 , ，
8 16
当 a 0时， g(x)为增函数， g(x) ax 1在 2,1 上的值域为 2a 1,a 1 ，
3
1 2a 8 5 5
，解得a ，故a的范围是a ；
9 16 16 1 a
16
当 a 0时， g(x)为单调递减函数， g(x) ax 1在 2,1 上的值域为 a 1, 2a 1 ，
3
1 a 8 5 5
，解得a≤ ；故a的范围是a≤ ，
9 8 8 1 2a
16
5 5
综上可知故a的范围是 , , ，
8 16
四、解答题：
17.（1）解：由 x2 2x 3 0得 x 1或 x 3 .
所以 A ， 1 3， .当a 1时，B ，4 .
所以 A B ， 1 3，4 .
（2）由题意知B ( ，4a ].又 A ， 1 3， ，
3
因为 A B R，所以4a 3.所以a .
4
3
所以实数a的取值范围是 ， .
4
2
18． (1)解：原式= 3 4 （2 3）3 3 1= 7 4 3 1=10+ 3 .
1 1 2 2
(2)解： a 4, （ a ） 4 , a a 1 2 16 .
a a
a a 1 14 .
1 1 1 1
又 -(a 2 a2 )2 a a 1 2 14 2 12 a2 a 2 2 3 .
a a 1 14 7 3
1 1 .
2 3 3
a 2 a 2
答案第 2 页，共 4 页
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x 2 0
19． 解：（1）要使函数 f x 有意义,则 ， 解得 2 x 2，
2 x 0
故所求函数 f x 的定义域为 2,2 ；
（2）证明：由（1）知 f x 的定义域为 2,2 ， 设 x 2,2 ，则 x 2,2 ,
且 f x lg x 2 lg x 2 f x ，故 f x 为奇函数；
x 2 x 2 x 2 18
（3）因为 f x 1，所以 f x lg 1，即 lg >lg10， 可得 10，解得 x ,又 2 x 2，
2 x 2 x 2 x 11
18 18
所以 x 2， 所以不等式 f x 1的解集是 , 2 ．
11 11
20． 解：（1）因为函数 y m3x 中， y 随 x 的增长而增长，且增长的速度也越来越快，
二函数 y m log3 x b中， y 随 x 的增长而增长，且增长的速度也越来越慢，
根据染料扩散的速度是先快后慢，所以选第二个模型更合适，即 y m log3 x b，
m log3 1 b 1 b 1
由题意可得： ，解得： ，
m log3 2 b 3 m 2log2 3
所以该模型的解析式为： y 2log2 3log3 x 1 2log2 x 1，
（2）由（1）知： y 2log2 x 1， 由题意知： y≥5，
也即2log2 x 1 5，则有2log2 x 4，
即 log2 x 2，故 x 4，所以至少需要 4 秒．
x
21． 解：（1）令 x 1， y 1，则由 f f x f y 得： f 1 f 1 f 1 0
y
x2 x
（2）令 x2 x1 0，则 1 f
2
0
x1 x1
x
f 2 f x2 f x1 0，即 f x2 f x1 f x 在 0, 上是增函数
x1
36
（3） f 6 f f 36 f 6 且 f 6 1
6
f 36 2 f 6 2
1
由 f x 5 f 2得： f x x 5 x
f 36
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由（2）知： f x 为定义在 0, 上的增函数
1
0x
x 5 0 ，解得：0 x 4 不等式的解集为 0,4
x x 5 36
22．解：（1）函数 f (x) ln(x a)(a R)的图像过点 1,0 ，所以 ln(1 a) 0，解得a 0，
所以函数 f x 的解析式为 f (x) ln x .
（2）由（1）可知 y ln x ln(2x k) ln 2x2 kx ， x (1,2)，
ln 2x2 令 kx 0，得2x2 kx 1 0，
设h(x) 2x2 kx 1，则函数 y f (x) ln(2x k)在区间 1,2 上有零点，
h(1) 1 k 0 7
等价于函数 y h x 在 1,2 上有零点，所以 ，解得1 k ，
h(2) 7 2k 0 2
因为 k Z，所以 k 的取值为 2 或 3.
1 1
（3）因为m 0且m ，所以m 1且0 1，
m m
因为 g(x) x2 2e f (x) x2 2x (x 1)2 1，
1
所以 g x 的最大值可能是 g m 或 g ，
m
1 2 1 2 1 2
因为 g(m) g m 2m m
2 2m
m m2 m m2
m
1 1 1
2
(m 1)
m m 2 m 0
m m m m
g(x) 2所以 g(x) 2max g(m) m 2m， 只需 max ln(m 1)，即m 2m ln(m 1)，
设h(m) m2 2m ln(m 1)(m 1)，h(m)在 (1, )上单调递增，
又h(2) 0，故m2 2m ln(m 1) 0，即h(m) h(2)，所以1 m 2，
所以 m的取值范围是 1,2
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{#{QQABLYIEoggIAAIAABhCEQFoCgCQkAGAAIoGBAAEIAABQANABAA=}#}成都市成外 2023-2024 学年度上期 12 月月考
高一数学试卷
注意事项：
1. 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。
2. 本堂考试 120分钟，满分 150 分；
3. 答题前，考生务必先将自己的姓名、学号填写在答题卡上，并使用 2B铅笔填涂。
4. 考试结束后，将答题卡交回。
第Ⅰ卷 选择题部分,共 60分
一、单选题：本题共 8 个小题，每小题 5分，共 40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目
要求的。
1．已知集合M 0,1,2 ， N 1,2,3 ，则M N （ ）.
A． 1,2 B． 0 C． 0,1 D． 0,1,2,3
2．“ x=1”是“ x 1 x 2 0 ”的（ ）条件
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
x
3．函数 f x x 2 的零点所在区间是（ ）
A． 2, 1 B． 1,0 C． 0,1 D． 1,2
4．设奇函数 f x 的定义域为 5,5 ，若当 x 0,5 时， f x 的图象如图，
则不等式 f x 0的解集是（ ）
A． 2,5 B． 5,2 2,5 C． 2,0 2,5 D． 5,0 2,5
3x 1, x 1
5．设函数 f x （a 0且a 1），若 f f 1 8，则a x （ ）
a 1, x 1
A．3 B． 3 C．2 2 D． 2 2
a 40.1,b 20.66．已知 ,c log4 0.6，则a,b,c的大小关系为（ ）
A．c
C．a b c D．b a c
7．在我们的日常生活中，经常会发现一个有趣的现象：以数字 1 开头的数字在各个领域中出现的频率似乎
要高于其他数字．这就是著名的本福特定律，也被称为“第一位数定律”或者“首位数现象”，意指在一堆从实
1
际生活中得到的十进制数据中，一个数的首位数字是d （d 1， 2 ， ，9）的概率为 lg 1 ．以此判
d
答案第 1 页，共 4 页
{#{QQABLYIEoggIAAIAABhCEQFoCgCQkAGAAIoGBAAEIAABQANABAA=}#}
断，一个数的首位数字是 1 的概率与首位数字是 5 的概率之比约为（ ）
（参考数据： lg2 0.301， lg3 0.477）
A．2.9 B．3.2 C．3.8 D．3.9
8．已知函数 f x 定义域为 a 1,2a ，且 y f x 1 的图象关于 x 1对称，当 x 0,2a 时，f x 单调递减，
则关于 x 的不等式 f x 1 f 2x 3a 的解集是（ ）
2 5 1 5
A． , B． , 3 6 6 6
1 2 2
C． , D． 0,
3 3 3
二、多选题：本题共 4个小题，每小题 5分，共 20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全
部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分。
9．已知实数a,b,c,d ，则下列说法正确的有（ ）
1 1
A．若0 a b，则 B．若a b 0，c d 0，则ac bd
a b
C．若a b,c d ，则a d b c D．若 a b，则a2 b2
10．下列说法正确的有（ ）
A．命题“ x R ， x2 x 1 0 ”的否定为“ x R ， x2 x 1 0 ”
B．若 a b， c d ，则ac bd
2 m2
C．若幂函数 y m m 1 x 2m 3在区间 0, 上是减函数，则m 2或 1
x2D．方程 a 3 x a 0有一个正实根，一个负实根，则 a<0．
11．已知定义在R 上的函数 f x 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① x R ，f x f x ；② x1，
f x f x
x2 0,
2 1
，当 x1 x2 时， 0；③ f 1 0．则下列选项成立的是（ ）
x2 x1
A． f 3 f 4 B．若 f m 1 f 2 ，则m 1,3
f x
C．若 0，则 x 1,0 0, D． x R ， m R，使得 f x m
x
x
2 2x 3, x 0
12．直线 y m与函数 f x 的图象相交于四个不同的点，若从小到大交点横坐标依次记
2 lnx , x 0
为 a，b ， c，d ，则下列结论正确的是（ ）
4
A．m 3,4 B．abcd 0,e
1 1 1 1
C．c , D．a b c d e
5 2,e6 2
e2
e
2
e e
答案第 2 页，共 4 页
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第Ⅱ卷 非选择题部分，共 90分
三、填空题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分。
13．若函数 f x loga 2 x 1（a 0且a 1），则函数 f (x)恒过定点 ．
2
14．函数 y log1 x 4x 5 的递减区间为 .
2
3a
15．如果关于 x的不等式 x2 6ax 3a2 0的解集为 x , x x x 1 2 ，其中常数a 0，则 1 2 的最小值x1x2
是 .
x2 4x, 2 x 3
16．定义在R 上的函数 f x 满足 f x 2 2 f x ，且当 x 2,4 时，f (x) x2 2 ，g x ax 1，
,3 x 4
x
对 x 4, 2 ， x2 2,11 ，使得 g x a2 f x1 ，则实数 的取值范围为 .
四、解答题：本题共 6个小题，共 70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
2
17．（本小题 10分）已知集合 A x x 2x 3 0 ，B x x 4a 0 .
(1)当a 1时，求 A B； (2)若 A B R，求实数 a的取值范围.
18．（本小题 12分）计算求值。
2 1 a a
1
(1) eln3 log 25 (0.125) 3 ( 3 1)2 ； (2)已知 a 4,求 1 1
5 a a 2 a 2
19．（本小题 12分）已知函数 f x lg x 2 lg 2 x .
(1)求 f x 的定义域；
(2)判断 f x 的奇偶性并予以证明；
(3)求不等式 f x 1的解集.
答案第 3 页，共 4 页
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20．（本小题 12分）科学实验中，实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶，想测试染料的扩散效果，染
料在水桶中扩散的速度是先快后慢，1 秒后染料扩散的体积是1cm3 ，2 秒后染料扩散的体积是3cm3，染料
扩散的体积 y与时间 x（单位：秒）的关系有两种函数模型可供选择：① y m3x ，② y m log3 x b，其中
m，b均为常数．
(1)试判断哪个函数模型更合适，并求出该模型的解析式；
(2)若染料扩散的体积达到5cm3 ，至少需要多少秒．
x
21．（本小题 12分）函数 f x 的定义域为 0, 且对一切 x 0， y 0，都有 f f x f y ，当 x 1
y
时，有 f x 0．
（1）求 f 1 的值；
（2）判断 f x 的单调性并证明；
1
（3）若 f 6 1，解不等式 f x 5 f 2．
x
22．（本小题 12分）已知函数 f (x) ln(x a)(a R)的图象过点 1,0 ， g(x) x2 2e f (x) .
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）若函数 y f (x) ln(2x k)在区间 1,2 上有零点，求整数 k的值；
1
（3）设m 0，若对于任意 x ,m ，都有 g(x) ln(m 1)，求 m的取值范围.
m
答案第 4 页，共 4 页
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