福建省安溪第一中学2014-2015学年高二下学期期中考试数学（文）试题

2015年春高二下学期期中考数学（文科）试卷
考试时间120分钟 满分150分
一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求）
1、若复数（a∈R，i为虚数单位）是纯虚数，则实数a的值为（ 　　）
（A）－2 （B）4 （C）6 （D）－6
2、下面几种推理过程是演绎推理的是(　 　)
A．因为∠A和∠B是两条平行直线被第三条直线所截得的同旁内角，所以∠A＋∠B＝180°
B．我国地质学家李四光发现中国松辽地区和中亚细亚的地质结构类似，而中亚细亚有丰富的石油，由此，他推断松辽平原也蕴藏着丰富的石油
C．由6＝3＋3,8＝3＋5,10＝3＋7,12＝5＋7,14＝7＋7，…，得出结论：一个偶数(大于4)可以写成两个素数的和
D．在数列{an}中，a1＝1，an＝(n≥2)，通过计算a2，a3，a4，a5的值归纳出{an}的通项公式
3、函数的定义域为（ ）
A.（1，+∞） B(,∞) C( ,1) D. ( ,1)∪（1，+∞）
4、若集合A={1, },B={3,4},则“m=2”是“A∩B={4}”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
5、下列函数中,在上为增函数的是（ ）
A. B. C. D.
6、下面几种推理是合情推理的是(　 　)
①由圆的性质类比出球的有关性质
②由直角三角形、等腰三角形、等边三角形的内角和是180°，归纳出所有三角形的内角和都是180°
③教室内有一把椅子坏了，则猜想该教室内的所有椅子都坏了
④三角形内角和是180°，四边形内角和是360°，五边形内角和是540°，由此得出凸n边形的内角和是(n－2)·180°(n∈N*，且n≥3)
A．①②　　　　B．①②④ C．①③④ D．②④
7、函数在[0，3]上的最大值和最小值分别是（ ）
A. 5，15 B. 5， C. 5， D. 5，
8、若函数的大致图象如图所示，其中为常数，则函数的大致图象是（ ）．
9、已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的右焦点为F,若过点F且倾斜角为的直线与双曲线的右支有且只有一个交点,则此双曲线的离心率的取值范围是（ ）
A．[2，＋∞) B．(1,2) C．(1,2] D．(2，＋∞)
10、已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是(　 　)
A. B. (1,2) C. D．
11、定义在R上的偶函数，满足，且在区间上为递增，则（　 ）
　? A．　　　? 　　　? B．?
C．　　　? 　　　? D．
12、设抛物线y2＝2x的焦点为F，过点M(，0)的直线与抛物线相交于A，B两点，与抛物线的准线相交于点C，|BF|＝2，则△BCF与△ACF的面积之比等于(　　)
A. B.  C. D.
二、填空题（本题有4个小题，每小题4分，共16分，并将答案填在答题卡上）
13、设f(x)＝，则f[f()]＝ .
14、已知函数的定义域为，求的定义域__________.
15、函已知命题p: 命题q: , 若命题p是命题q的充分不必要条件，则实数的取值范围是____________.
16、已知定义在R上的偶函数满足：f(x＋4)＝f(x)＋f(2)，且当x∈[0,2]时，y＝f(x)单调递减，给出以下四个命题：
①f(2)＝0；
②若方程f(x)＝m在[－6，－2]上的两根为x1，x2，则x1＋x2＝－8.
③x＝－4为函数y＝f(x)图象的一条对称轴；
④函数y＝f(x)在[8,10]上单调递增；
则所有正确命题的序号为________．
三、解答题（本题有6个小题，共76分）
17、（本小题12分）函数y＝lg(3－4x＋x2)的定义域为M，当x∈M时，求的最值．
18、（本小题12分）已知命题p: 不等式4x2+4(m-2)x+1>0的解集为R,命题q: 方程x2+mx+1=0有两个不相等的负实根.若p∨q为真命题、p∧q为假命题,求实数m的取值范围.
19、（本小题12分）已知二次函数f(x)图象过点(0,6)，它的图象的对称轴为x＝3，且f(x)的两个零点的平方和为12，求f(x)的解析式．
20、（本小题12分）已知定义在区间(0，＋∞)上的函数f(x)满足f(x1)＝f +f(x2)，且当x＞1时，f(x)＜0.
(1)求f(1)的值； (2)判断f(x)的单调性；
(3)若f(3)＝－1，解不等式f(|x|)＜－2.
21、（本小题14分）已知f(x)＝x＋＋b(x≠0)，其中a，b∈R.
(1)若曲线y＝f(x)在点P(2，f(2))处的切线方程为y＝3x＋1，求f(x)的解析式；
(2)讨论f(x)的单调性；
(3)若对任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，求b的取值范围．
22、（本小题14分）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的离心率为，其一个顶点为抛物线x2＝－4y的焦点．
(1)求椭圆C的标准方程；
(2)若过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切于点M，求直线l的方程和点M的坐标；
(3)是否存在过点P(2,1)的直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，且满足·＝？若存在，求出直线l1的方程；若不存在，请说明理由．
2015年春高二下学期期中考数学（文科）答案
1-6 D A C A B B 7-12 B B A D D B
13. 14. 15. 16. ①②③
17、解：由3－4x＋x2>0，得x>3或x<1，
∴M＝{x|x>3或x<1}，
∵x>3或x<1，∴2x>8或0<2x<2，
∴当2x＝，即x＝log2时，　f(x)最大，最大值为，　f(x)没有最小值．
18、解：命题p为真时,实数m满足Δ2=16(m-2)2-16<0,解得1命题q为真时,实数m满足Δ1=m2-4>0且-m<0,解得m>2;
p∨q为真命题、p∧q为假命题,
等价于p真且q假或者p假且q真.
若p真且q假,则实数m满足1若p假且q真,则实数m满足m≤1或m≥3且m>2,解得m≥3.
综上可知,所求m的取值范围是(1,2]∪[3,+∞).
19、解：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，
∵f(x)图象过点(0,6)，∴c＝6.
又f(x)的对称轴为x＝3，
∴－＝3，即b＝－6a，
∴f(x)＝ax2－6ax＋6(a≠0)。
设方程ax2－6ax＋6＝0(a≠0)的两个实根为x1、x2，
则x1＋x2＝6，，又x＋x＝12，
∴x＋x＝(x1＋x2)2－2x1x2＝，
∴36－＝12， 得a＝，b＝－3，
。
20、解： (1)令x1＝x2，得f(1)＝0.
(2)设任意的x1，x2＞0，且x1＜x2，则f(x2)－f(x1)＝f.
又x＞1时，f(x)＜0，
∴由＞1，得f＝f(x2)－f(x1)＜0，即f(x2)＜f(x1)，
∴函数f(x)在(0，＋∞)上是减函数．
(3)由f(3)＝－1，f(1)＝0，得f＝f(1)－f(3)＝1，
∴f(9)＝f＝f(3)－f＝－2.
∴f(|x|)＜－2＝f(9)可化为
解得x＞9或x<－9.
21、解： (1) f ′(x)＝1－，
∵f ′(2)＝3，∴a＝－8.
由切点P(2，f(2))在y＝3x＋1上，可得b＝9.
∴f(x)的解析式为f(x)＝x－＋9.
(2)f ′(x)＝1－，当a≤0时，显然f ′(x)＞0(x≠0)，
这时f(x)在(－∞，0)和(0，＋∞)上是增函数；
当a＞0时，由f ′(x)＝0，得x＝±.
当x变化时，f ′(x)变化情况如下表：
x
(－∞，－)
－
(－，0)
(0，)

(，＋∞)
F ′(x)
＋
0
－
－
0
＋
∴f(x)在(－∞，－)和(，＋∞)上是增函数，在(－，0)和(0，)上是减函数．
(3)由(2)知，f(x)在上的最大值为f与f(1)中的较大者．
对任意的a∈，不等式f(x)≤10在上恒成立，
当且仅当即
对任意的成立，从而得b≤.
∴满足条件的b的取值范围是.
22、解：(1)设椭圆C的方程为＋＝1 (a>b>0)，
由题意得b＝，＝，解得a＝2，c＝1.
故椭圆C的标准方程为＋＝1.
(2)因为过点P(2,1)的直线l与椭圆C在第一象限相切，所以直线l的斜率存在，
故可设直线l的方程为y＝k(x－2)＋1 (k≠0)．
由
得(3＋4k2)x2－8k(2k－1)x＋16k2－16k－8＝0. ①
因为直线l与椭圆C相切，
所以Δ＝[－8k(2k－1)]2－4(3＋4k2)(16k2－16k－8)＝0.
整理，得32(6k＋3)＝0，解得k＝－.
所以直线l的方程为y＝－(x－2)＋1＝－x＋2.
将k＝－代入①式，可以解得M点的横坐标为1，故切点M的坐标为.
(3)若存在直线l1满足条件，则直线l1的斜率存在，设其方程为
y＝k1(x－2)＋1，代入椭圆C的方程得
(3＋4k)x2－8k1(2k1－1)x＋16k－16k1－8＝0.
设A(x1，y1)，B(x2，y2)，因为直线l1与椭圆C相交于不同的两点A，B，
所以Δ＝[－8k1(2k1－1)]2－4(3＋4k)(16k－16k1－8)＝32(6k1＋3)>0.
所以k1>－. x1＋x2＝，x1x2＝.
因为·＝， 即(x1－2)(x2－2)＋(y1－1)(y2－1)＝，
所以(x1－2) (x2－2)(1＋k)＝， 即[x1x2－2(x1＋x2)＋4](1＋k)＝.
所以(1＋k)＝＝，
解得k1＝±.
因为A，B为不同的两点，所以k1＝.
于是存在直线l1满足条件，其方程为y＝x.