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4.3.2 角的比较与运算
1.(2022杭州一模)在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,那么有(D)
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC>∠BOC
C.∠BOC>∠AOB D.∠AOB>∠AOC
2.将一副三角板按如图所示的方式放置,则∠AOB的大小为(D)
A.75°
B.45°
C.30°
D.15°
3.若∠1=40.4°,∠2=40°4′,则∠1与∠2(B)
A.∠1<∠2 B.∠1>∠2
C.∠1=∠2 D.无法确定
4.如图所示,若∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,则下列结论:①AD是∠BAC的平分线;②CE是∠ACD的平分线;③∠BCE=∠ACB;④CE是∠ABC的平分线.其中正确的是 ①②③ (填序号).
第4题图
5.(易错题)在同一平面内,若∠AOB=75°,∠AOC=27°,则∠BOC= 102°或48° .
6.如图所示,两块三角尺的直角顶点O重叠在一起,且OB恰好平分∠COD,则∠AOD的度数是 135° .
第6题图
7.计算:
(1)56°27′32″+22°19′28″= 78°47′ ;
(2)90°-26°58′42″= 63°1′18″ ;
(3)12°31″×5= 60°2′35″ .
8.如图所示,OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,∠COD=20°,∠AOB=140°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠DOE的度数.
解:(1)因为OD平分∠AOB,∠AOB=140°,
所以∠DOB=∠AOB=×140°=70°.
所以∠BOC=∠BOD-∠COD=70°-20°=50°.
(2)因为OE平分∠BOC,
所以∠COE=∠BOC=×50°=25°.
所以∠DOE=∠COE+∠COD=25°+20°=45°.
9.如图所示,已知∠AOD∶∠DOB=3∶2,OC是∠DOB的平分线,OE是∠AOB的平分线,且∠DOE=14°,求∠COE的度数.
解:因为OC是∠DOB的平分线,
所以设∠BOC=∠COD=α,则∠DOB=2α.
因为OE是∠AOB的平分线,且∠DOE=14°,
所以∠AOE=∠BOE=2α+14°.
所以∠AOD=2α+14°+14°=2α+28°.
因为∠AOD∶∠DOB=3∶2,
所以2(2α+28°)=3×2α.
解得α=28°.
所以∠COE=α+14°=28°+14°=42°.
所以∠COE的度数为42°.
10.如图所示,将一张长方形纸的一角斜折过去,使顶点A落在A′处,BC为折痕,如果BD为∠A′BE的平分线,则∠CBD等于(B)
A.80° B.90° C.100° D.70°
第10题图
11.如图所示,已知O为直线AB上一点,将直角三角板MON的直角顶点放在点O处,若OC是∠MOB的平分线,则下列结论正确的是(B)
第11题图
A.∠AOM=3∠NOC B.∠AOM=2∠NOC
C.2∠AOM=3∠NOC D.3∠AOM=5∠NOC
12.如图所示,将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置,已知∠1=34°,∠2=32°,则∠3= 24° .
13.(易错题)已知∠AOB=75°,∠AOC=∠AOB,OD平分∠AOC,则∠BOD的度数为 100°或50° .
14.(易错题)已知∠AOB,射线OC在∠AOB的内部,射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线.
(1)如图所示,若∠AOB=120°,OC平分∠AOB,
①补全图形;
②求∠MON的度数;
(2)探求∠MON和∠AOB的等量关系.
解:(1)①补全图形,如图所示.
②因为∠AOB=120°,OC平分∠AOB,
所以∠AOC=∠BOC=∠AOB=×120°=60°.
因为∠AOM=∠AOC=×60°=20°,∠BON=∠BOC=×60°=20°,
所以∠MON=∠AOB-∠AOM-∠BOM=
120°-20°-20°=80°.
(2)∠MON=∠AOB.理由如下:
因为射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线,
所以∠AOM=∠AOC,∠BON=∠BOC.
所以∠MON=∠AOB-(∠AOM+∠BON)=
∠AOB-(∠AOC+∠BOC)=∠AOB-∠AOB=∠AOB.
15.(几何直观、运算能力)点O为直线AB上一点,在直线AB同侧任作射线OC,OD,使得∠COD=90°.
(1)如图(1)所示,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOC的平分线时,另作射线OF,使得OF平分∠BOD,则∠EOF的度数是 ;
(2)如图(2)所示,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOD的平分线时,求出∠BOD与∠COE的数量关系;
(3)过点O作射线OE,当OC恰好为∠AOE的平分线时,另作射线OF,使得OF平分∠COD,若∠EOC=3∠EOF,求∠AOE的度数.
解:(1)135°
(2)因为∠COD=90°,
所以∠COE+∠EOD=90°.
所以∠EOD=90°-∠COE.
因为OE为∠AOD的平分线,
所以∠AOD=2∠EOD=2(90°-∠COE)=
180°-2∠COE.
因为∠BOD+∠AOD=180°,
所以∠BOD=180°-∠AOD=180°-180°+2∠COE=2∠COE.
(3)①如图①所示时,
因为∠COD=90°,OF平分∠COD,
所以∠COF=∠COD=45°.
因为∠EOC=3∠EOF,∠COF=∠EOC+∠EOF,
所以4∠EOF=45°.
所以∠EOF=11.25°.
所以∠EOC=33.75°.
因为OC为∠AOE的平分线,
所以∠AOE=2∠EOC=67.5°.
②如图②所示时,
因为∠COD=90°,OF平分∠COD,
所以∠COF=45°.
因为∠EOC=3∠EOF,
所以∠COF=2∠EOF=45°.
所以∠EOF=22.5°.
所以∠COE=45°+22.5°=67.5°.
因为OC为∠AOE的平分线,
所以∠AOE=2∠COE=135°.
综上所述,∠AOE的度数为67.5°或135°.
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4.3.2 角的比较与运算
1.(2022杭州一模)在∠AOB的内部任取一点C,作射线OC,那么有( )
A.∠AOC=∠BOC B.∠AOC>∠BOC
C.∠BOC>∠AOB D.∠AOB>∠AOC
2.将一副三角板按如图所示的方式放置,则∠AOB的大小为( )
A.75°
B.45°
C.30°
D.15°
3.若∠1=40.4°,∠2=40°4′,则∠1与∠2( )
A.∠1<∠2 B.∠1>∠2
C.∠1=∠2 D.无法确定
4.如图所示,若∠BAD=∠CAD,∠BCE=∠ACE,则下列结论:①AD是∠BAC的平分线;②CE是∠ACD的平分线;③∠BCE=∠ACB;④CE是∠ABC的平分线.其中正确的是 (填序号).
第4题图
(易错题)在同一平面内,若∠AOB=75°,∠AOC=27°,则
∠BOC= .
6.如图所示,两块三角尺的直角顶点O重叠在一起,且OB恰好平分∠COD,则∠AOD的度数是 .
第6题图
7.计算:
(1)56°27′32″+22°19′28″= ;
(2)90°-26°58′42″= ;
(3)12°31″×5= .
8.如图所示,OD平分∠AOB,OE平分∠BOC,∠COD=20°,∠AOB=140°.
(1)求∠BOC的度数;
(2)求∠DOE的度数.
9.如图所示,已知∠AOD∶∠DOB=3∶2,OC是∠DOB的平分线,OE是∠AOB的平分线,且∠DOE=14°,求∠COE的度数.
10.如图所示,将一张长方形纸的一角斜折过去,使顶点A落在A′处,BC为折痕,如果BD为∠A′BE的平分线,则∠CBD等于( )
A.80° B.90° C.100° D.70°
第10题图
11.如图所示,已知O为直线AB上一点,将直角三角板MON的直角顶点放在点O处,若OC是∠MOB的平分线,则下列结论正确的是( )
第11题图
A.∠AOM=3∠NOC B.∠AOM=2∠NOC
C.2∠AOM=3∠NOC D.3∠AOM=5∠NOC
12.如图所示,将三个边长相同的正方形的一个顶点重合放置,已知∠1=34°,∠2=32°,则∠3= .
13.(易错题)已知∠AOB=75°,∠AOC=∠AOB,OD平分∠AOC,则∠BOD的度数为 .
14.(易错题)已知∠AOB,射线OC在∠AOB的内部,射线OM是∠AOC靠近OA的三等分线,射线ON是∠BOC靠近OB的三等分线.
(1)如图所示,若∠AOB=120°,OC平分∠AOB,
①补全图形;
②求∠MON的度数;
(2)探求∠MON和∠AOB的等量关系.
15.(几何直观、运算能力)点O为直线AB上一点,在直线AB同侧任作射线OC,OD,使得∠COD=90°.
(1)如图(1)所示,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOC的平分线时,另作射线OF,使得OF平分∠BOD,则∠EOF的度数是 ;
(2)如图(2)所示,过点O作射线OE,当OE恰好为∠AOD的平分线时,求出∠BOD与∠COE的数量关系;
(3)过点O作射线OE,当OC恰好为∠AOE的平分线时,另作射线OF,使得OF平分∠COD,若∠EOC=3∠EOF,求∠AOE的度数.
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