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4.3.3 余角和补角
1.(兰州中考)若∠A=40°,则∠A的补角为(D)
A.40° B.50° C.60° D.140°
2.如果在A处看B的方向是北偏东50°,那么在B处看A的方向是(B)
A.南偏东40° B.南偏西50°
C.南偏东50° D.南偏西40°
3.已知岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上,符合条件的示意图是(D)
4.已知∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,则∠2 = ∠4,其数学依据是 等角的补角相等 .
5.(2022益阳)如图所示,PA,PB表示以P为起点的两条公路,其中公路PA的走向是南偏西34°,公路PB的走向是南偏东56°,则这两条公路的夹角∠APB= 90 °.
6.有下列四种说法:①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补.其中正确的是 ①③ (填序号).
7.一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的大小.
解:设这个角的度数为x,则它的余角为(90°-x),补角为(180°-x).
根据题意,得90°-x=(180°-x)-20°.
解得x=75°.
所以这个角的大小是75°.
8.如图所示,直线SN为南北方向,OB的方向是南偏东60°,∠SOB与∠NOC互余,OA平分∠BON.
(1)射线OC的方向是 ;
(2)求∠AOC的度数.
解:(1)北偏东30°
(2)因为OB的方向是南偏东60°,
所以∠BOS=60°.
所以∠NOB=180°-60°=120°.
因为OA平分∠BON,
所以∠NOA=∠NOB=60°.
由(1),知∠NOC=30°,
所以∠AOC=∠NOA-∠NOC=60°-30°=30°.
9.如果∠α和∠β互补,且∠α<∠β,则下列表示∠α的余角的式子:
①90°-∠α;②∠β-90°;③(∠α+∠β);④(∠β-∠α).其中正确的有(C)
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
10.如图所示,射线OA的方向是北偏东20°,射线OB的方向是北偏西40°,OD是OB的反向延长线.若OC是∠AOD的平分线,则∠BOC= 120 °,射线OC的方向是 北偏东80° .
第10题图
11.如图所示,O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,且∠DOE=60°,∠BOE=∠EOC,则下列四个结论:
①∠BOD=30°;②射线OE平分∠AOC;③图中与∠BOE互余的角有
2个;④图中互补的角有 6对.其中正确的是 ①②③④ .
第11题图
12.如图(1)所示,货轮停靠在O点,发现灯塔A在它的东北(东偏北45°或北偏东45°)方向上.货轮B在码头O的西北方向上.
(1)仿照表示灯塔方位的方法,画出表示货轮B方向的射线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图(2)所示,两艘货轮从码头O出发,货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶,货轮D向北偏西15°的OD方向航行,求∠COD的度数;
(3)另有两艘货轮从码头O出发,货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶,货轮F向北偏西x°的OF方向航行,请直接用等式表示∠MOE与∠FOQ之间所具有的数量关系.
解:(1)如图①所示,射线OB的方向就是西北方向,即货轮B所在的
方向.
(2)由已知,可知∠MOQ=90°,∠COQ=15°,
所以∠MOC=∠MOQ-∠COQ=75°.
又因为∠DOM=15°,
所以∠COD=∠MOC+∠DOM=90°.
(3)如图②所示,∠MOE+∠FOQ=180°.
13.如图所示,直线AB与CD相交于点E,射线EG在∠AEC内,如图(1)所示.
(1)若∠BEC的补角是它的余角的3倍,求∠BEC的度数;
(2)在(1)的条件下,若∠CEG比∠AEG小15°,求∠AEG的大小;
(3)若射线EF平分∠AED,∠FEG=n°(n>90),如图(2)所示,用含n的式子表示∠AEG-∠CEG的大小.
解:(1)设∠BEC的度数为x°.则180-x=3(90-x),
解得x=45,即∠BEC=45°.
(2)因为∠CEG=∠AEG-15°,
所以∠AEG=180°-∠CEG-∠BEC=180°-(∠AEG-15°)-45°=150°-∠AEG.
解得∠AEG=75°.
(3)因为射线EF平分∠AED,
所以∠AEF=∠DEF.
设∠AEF=∠DEF=α°,
所以∠AEG=∠FEG-∠AEF=(n-α)°,
∠CEG=180°-∠FEG-∠DEF=(180-n-α)°.
所以∠AEG-∠CEG=[n-α-(180-n-α)]°=(2n-180)°.
14.(几何直观、推理能力)如图所示,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°,∠AOC=50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数.
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数,判断∠DOE与∠AOB是否互补,并说明理由.
(3)若∠BOC=α,∠AOC=β,则∠DOE与∠AOB是否互补 请说明理由.
解:(1)∠AOB=∠BOC+∠AOC=70°+50°=120°,其补角的度数为180°-∠AOB=180°-120°=60°.
(2)∠DOE与∠AOB互补.理由如下:
因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,
所以∠DOC=∠BOC=×70°=35°,
∠AOE=∠COE=∠AOC=×50°=25°.
所以∠DOE=∠DOC+∠EOC=35°+25°=60°.
因为∠AOB=120°,
所以∠DOE+∠AOB=180°.
所以∠DOE与∠AOB互补.
(3)∠DOE与∠AOB不一定互补.理由如下:
因为OD平分∠BOC,OE平分∠AOC,
所以∠DOC=∠BOC=α,
∠COE=∠AOC=β.
所以∠DOE=∠DOC+∠COE=α+β=(α+β).
所以∠DOE+∠AOB=(α+β)+(α+β)=(α+β).
因为α+β的大小不确定,
所以∠DOE与∠AOB不一定互补.
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4.3.3 余角和补角
1.(兰州中考)若∠A=40°,则∠A的补角为( )
A.40° B.50° C.60° D.140°
2.如果在A处看B的方向是北偏东50°,那么在B处看A的方向是( )
A.南偏东40° B.南偏西50°
C.南偏东50° D.南偏西40°
3.已知岛P位于岛Q的正西方,由岛P,Q分别测得船R位于南偏东30°和南偏西45°方向上,符合条件的示意图是( )
4.已知∠1+∠2=180°,∠3+∠4=180°,且∠1=∠3,则∠2 = ∠4,其数学依据是 .
5.(2022益阳)如图所示,PA,PB表示以P为起点的两条公路,其中公路PA的走向是南偏西34°,公路PB的走向是南偏东56°,则这两条公路的夹角∠APB= °.
6.有下列四种说法:①锐角的补角一定是钝角;②一个角的补角一定大于这个角;③如果两个角是同一个角的补角,那么它们相等;④锐角和钝角互补.其中正确的是 (填序号).
7.一个角的余角比它的补角的还少20°,求这个角的大小.
8.如图所示,直线SN为南北方向,OB的方向是南偏东60°,∠SOB与∠NOC互余,OA平分∠BON.
(1)射线OC的方向是 ;
(2)求∠AOC的度数.
9.如果∠α和∠β互补,且∠α<∠β,则下列表示∠α的余角的式子:
①90°-∠α;②∠β-90°;③(∠α+∠β);④(∠β-∠α).其中正确的有( )
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
如图所示,射线OA的方向是北偏东20°,射线OB的方向是北偏西40°,OD是OB的反向延长线.若OC是∠AOD的平分线,则
∠BOC= °,射线OC的方向是 .
第10题图
11.如图所示,O是直线AC上一点,OB是一条射线,OD平分∠AOB,OE在∠BOC内,且∠DOE=60°,∠BOE=∠EOC,则下列四个结论:
①∠BOD=30°;②射线OE平分∠AOC;③图中与∠BOE互余的角有
2个;④图中互补的角有 6对.其中正确的是 .
第11题图
12.如图(1)所示,货轮停靠在O点,发现灯塔A在它的东北(东偏北45°或北偏东45°)方向上.货轮B在码头O的西北方向上.
(1)仿照表示灯塔方位的方法,画出表示货轮B方向的射线(保留作图痕迹,不写作法);
(2)如图(2)所示,两艘货轮从码头O出发,货轮C向东偏北15°的OC的方向行驶,货轮D向北偏西15°的OD方向航行,求∠COD的度数;
(3)另有两艘货轮从码头O出发,货轮E向东偏北x°的OE的方向行驶,货轮F向北偏西x°的OF方向航行,请直接用等式表示∠MOE与∠FOQ之间所具有的数量关系.
13.如图所示,直线AB与CD相交于点E,射线EG在∠AEC内,如图(1)所示.
(1)若∠BEC的补角是它的余角的3倍,求∠BEC的度数;
(2)在(1)的条件下,若∠CEG比∠AEG小15°,求∠AEG的大小;
(3)若射线EF平分∠AED,∠FEG=n°(n>90),如图(2)所示,用含n的式子表示∠AEG-∠CEG的大小.
14.(几何直观、推理能力)如图所示,OD平分∠BOC,OE平分∠AOC.若∠BOC=70°,∠AOC=50°.
(1)求出∠AOB及其补角的度数.
(2)求出∠DOC和∠AOE的度数,判断∠DOE与∠AOB是否互补,并说明理由.
(3)若∠BOC=α,∠AOC=β,则∠DOE与∠AOB是否互补 请说明理由.
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