中小学教育资源及组卷应用平台
专项素养训练六 角的有关性质和计算
直接计算
1.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=30°,求∠AOD的度数.
2.已知∠AOB=40°,OD是∠BOC的平分线.
(1)如图(1)所示,当∠AOB与∠BOC互补时,求∠COD的度数;
(2)如图(2)所示,当∠AOB与∠BOC互余时,求∠COD的度数.
借助整体思想解决问题
3.如图所示,已知∠AOB内部有顺次的四条射线:OE,OC,OD,OF,OE平分∠AOC,OF平分∠DOB.
(1)若∠AOB=160°,∠COD=40°,求∠EOF的度数.
(2)若∠AOB=α,∠COD=β,求∠EOF的度数.
(3)从(1)(2)的结果,你能看出什么规律吗
借助方程思想解决问题
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD.
(1)若∠BOD=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度数;
(2)若OF平分∠COE,
∠BOF=30°,求∠BOD的度数.
借助分类讨论思想解决问题
5.如图所示,OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB=60°时,求∠AOC的度数;
(2)在(1)的条件下,若∠EOC=90°,求∠AOE的度数;
(3)当∠AOB=α时,∠EOC=90°,直接写出∠AOE的度数(用含α的式子表示).
角的旋转
6.(2022广元期末)综合与探究:
将直角三角板OAB和直角三角板OCD按如图(1)所示的方式放置,两个顶点重合于点O,且∠AOB=60°,∠OCD=45°,∠COD=∠ABO=90°,OE平分∠BOC,OF平分∠AOD.将三角板OCD绕点O逆时针旋转一周的过程中(旋转中∠AOD和∠BOC均是指小于180°的角),探究∠EOF的度数.
备用图
(1)当三角板OCD绕点O旋转至图(2)的位置时,OB与OD重合,则
∠AOC= °,∠EOF= °.
(2)当三角板OCD绕点O旋转至图(3)的位置时,此时B,O,D三点在同一直线上,求∠EOF的度数.
(3)三角板OCD绕点O旋转过程中,∠EOF的度数还有其他可能吗 若有,请直接写出∠EOF的度数;若没有,请说明理由.
(4)类比拓展:当∠COD的度数为α(0°<α<180°)时,其他条件不变,在旋转过程中,请直接写出∠EOF的度数(用含α的代数式表示).
角的折叠
7.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EF为折痕,点A落在点G处,EH平分∠FEB.
(1)如图(1)所示,若EG与EH重合,求∠FEH的度数;
(2)如图(2)所示,若∠FEG=34°,求∠GEH的度数;
(3)如图(3)所示,若∠FEG=α(60°<α<90°),求∠GEH的度数(用α的式子表示).
21世纪教育网(www.21cnjy.com)中小学教育资源及组卷应用平台
专项素养训练六 角的有关性质和计算
直接计算
1.如图所示,已知∠AOC=∠BOD=75°,∠BOC=30°,求∠AOD的度数.
解:因为∠AOC=75°,∠BOC=30°,
所以∠AOB=∠AOC-∠BOC=75°-30°=45°.
又因为∠BOD=75°,
所以∠AOD=∠AOB+∠BOD=45°+75°=120°.
2.已知∠AOB=40°,OD是∠BOC的平分线.
(1)如图(1)所示,当∠AOB与∠BOC互补时,求∠COD的度数;
(2)如图(2)所示,当∠AOB与∠BOC互余时,求∠COD的度数.
解:(1)因为∠AOB与∠BOC互补,
所以∠AOB+∠BOC=180°.
所以∠BOC=180°-40°=140°.
因为OD是∠BOC的平分线,
所以∠COD=∠BOC=70°.
(2)因为∠AOB与∠BOC互余,
所以∠AOB+∠BOC=90°.
所以∠BOC=90°-40°=50°.
因为OD是∠BOC的平分线,
所以∠COD=∠BOC=25°.
借助整体思想解决问题
3.如图所示,已知∠AOB内部有顺次的四条射线:OE,OC,OD,OF,OE平分∠AOC,OF平分∠DOB.
(1)若∠AOB=160°,∠COD=40°,求∠EOF的度数.
(2)若∠AOB=α,∠COD=β,求∠EOF的度数.
(3)从(1)(2)的结果,你能看出什么规律吗
解:(1)因为OE平分∠AOC,OF平分∠BOD,
所以∠EOC=∠AOC,∠FOD=∠BOD.
因为∠EOF=∠EOC+∠DOC+∠FOD
=∠AOC+∠COD+∠BOD
=(∠AOB-∠COD)+∠COD
=∠AOB+∠COD.
因为∠AOB=160°,∠DOC=40°,
所以∠EOF=80°+20°=100°.
(2)因为∠EOF=∠EOC+∠DOC+∠FOD
=∠AOC+∠COD+∠BOD
=∠AOB+∠COD.
因为∠AOB=α,∠COD=β,
所以∠EOF=α+β=(α+β).
(3)若∠AOB内部有顺次的四条射线:OE,OC,OD,OF,OE平分∠AOC,OF平分∠DOB,
则∠EOF=(∠AOB+∠COD).
借助方程思想解决问题
4.如图所示,直线AB,CD相交于点O,OE平分∠BOD.
(1)若∠BOD=68°,∠DOF=90°,求∠EOF的度数;
(2)若OF平分∠COE,
∠BOF=30°,求∠BOD的度数.
解:(1)因为∠BOD=68°,OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠BOD=34°.
因为∠DOF=90°,
所以∠EOF=∠DOF-∠DOE=90°-34°=56°.
(2)设∠BOD=x°,
因为OE平分∠BOD,
所以∠DOE=∠EOB=∠BOD=x°.
所以∠EOC=180°-∠DOE=180°-.
因为∠EOF=∠EOB+∠BOF,∠BOF=30°,
所以∠EOF=+30°.
因为OF平分∠COE,所以∠EOC=2∠EOF.
所以180-=2(+30),
解得x=80.
所以∠BOD=80°.
借助分类讨论思想解决问题
5.如图所示,OC是∠AOB的平分线.
(1)当∠AOB=60°时,求∠AOC的度数;
(2)在(1)的条件下,若∠EOC=90°,求∠AOE的度数;
(3)当∠AOB=α时,∠EOC=90°,直接写出∠AOE的度数(用含α的式子表示).
解:(1)因为OC是∠AOB的平分线,
所以∠AOC=∠AOB.
因为∠AOB=60°,
所以∠AOC=30°.
(2)如图①所示,∠AOE=∠COE+∠AOC=90°+30°=120°;
如图②所示,∠AOE=∠COE-∠AOC=90°-30°=60°.
(3)∠AOE=90°+或∠AOE=90°-.
角的旋转
6.(2022广元期末)综合与探究:
将直角三角板OAB和直角三角板OCD按如图(1)所示的方式放置,两个顶点重合于点O,且∠AOB=60°,∠OCD=45°,∠COD=∠ABO=90°,OE平分∠BOC,OF平分∠AOD.将三角板OCD绕点O逆时针旋转一周的过程中(旋转中∠AOD和∠BOC均是指小于180°的角),探究∠EOF的度数.
备用图
(1)当三角板OCD绕点O旋转至图(2)的位置时,OB与OD重合,则
∠AOC= °,∠EOF= °.
(2)当三角板OCD绕点O旋转至图(3)的位置时,此时B,O,D三点在同一直线上,求∠EOF的度数.
(3)三角板OCD绕点O旋转过程中,∠EOF的度数还有其他可能吗 若有,请直接写出∠EOF的度数;若没有,请说明理由.
(4)类比拓展:当∠COD的度数为α(0°<α<180°)时,其他条件不变,在旋转过程中,请直接写出∠EOF的度数(用含α的代数式表示).
解:(1)150 75
(2)因为OE平分∠BOC,OF平分∠AOD,
∠AOB=60°,∠COD=90°,
所以∠AOD=180°-∠AOB=120°,
∠BOC=180°-∠COD=180°-90°=90°.
所以∠FOD=∠AOD=60°,
∠BOE=∠BOC=45°.
所以∠EOF=180°-(∠FOD+∠BOE)=180°-(60°+45°)=75°.
(3)∠EOF=105°.
(4)∠EOF=30°+α或∠EOF=150°-α.
角的折叠
7.将一张长方形纸片按如图所示的方式折叠,EF为折痕,点A落在点G处,EH平分∠FEB.
(1)如图(1)所示,若EG与EH重合,求∠FEH的度数;
(2)如图(2)所示,若∠FEG=34°,求∠GEH的度数;
(3)如图(3)所示,若∠FEG=α(60°<α<90°),求∠GEH的度数(用α的式子表示).
解:(1)由折叠可知∠AEF=∠FEH,
因为EH平分∠FEB,
所以∠FEH=∠BEH.
所以∠AEF=∠FEH=∠BEH.
因为∠AEF+∠FEH+∠BEH=180°,
所以∠FEH=60°.
(2)由折叠可知∠AEF=∠FEG,
因为∠FEG=34°,
所以∠AEF=34°,∠FEB=180°-34°=146°.
因为EH平分∠FEB,
所以∠FEH=∠BEH=∠FEB=73°.
所以∠GEH=∠FEH-∠FEG=73°-34°=39°.
(3)由折叠可知∠AEF=∠FEG,
因为∠FEG=α,
所以∠AEF=α,∠FEB=180°-α.
因为EH平分∠FEB,
所以∠FEH=∠BEH=∠FEB=90°-α.
所以∠GEH=∠FEG-∠FEH=α-(90°-α)=α-90°.
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
