2023-2024学年第一学期12月六校联合调研试题
高一数学
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟．
注意事项：
1．答题前，先将自己的姓名、考号等填写在试题卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置．
2．选择题的作答：选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
3．填空题和解答题的作答：用签字笔直接写在答题卡上对应的答题区域内．写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效．
4．考试结束后，请将本试题卷和答题卡一并上交．
第 Ⅰ 卷（选择题）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 函数的定义域为（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点是第二象限的点，则的终边位于（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
3. 已知扇形的圆心角为,其弧长为2π,则此扇形的面积为（ ）
A. B. C. D.
4. 函数的大致图象是（ ）
A B C D
设,则的大小关系是（ ）
A. B. C. D.
6. 神舟十二号载人飞船搭载3名宇航员进入太空，在中国空间站完成了为期三个月的太空驻留任务，期间进行了很多空间实验，目前已经顺利返回地球.在太空中水资源有限，要通过回收水的方法制造可用水，回收水是将宇航员的尿液、汗液和太空中的水收集起来经过特殊的净水器处理成饮用水，循环使用.净化水的过程中，每过滤一次可减少水中杂质20%，要使水中杂质减少到原来的以下，则至少需要过滤的次数为（ ）（参考数据：）
A. 19 B. 20 C. 21 D. 22
7. 已知幂函数的图象关于y轴对称，且在上单调递增，则满足的a的取值范围为（ ）
A. B. C. D.
8. 已知定义在R上的偶函数满足，当时，.函数，则与的图象所有交点的横坐标之和为（ ）
A. 2 B. 4 C. 6 D. 8
二 多选题（本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9. 下列结论正确的是（ ）
A. B. C. D.
10. 已知，则正确的有（ ）
A. B.
C. D.
11. 若函数，则下列说法正确的是（ ）
A．若，则为偶函数 B．若的定义域为R，则
C．若，则的单调增区间为 D．若在上单调递减，则
12. 已知函数的定义域为D，若存在区间[m，n] D，使得同时满足下列条件：
①在上是单调函数；②在上的值域是.
则称区间为函数的“倍值区间”．
下列函数中存在“倍值区间”的有（ ）
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题共90分）
三 填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
函数的图象必过定点__________.
14. 函数的单调递减区间是___________.
15. 已知正数，满足，则的最大值为__________.
16. 如果函数在其定义域D内，存在实数使得成立，则称函数为“可拆分函数”.设函数为“可拆分函数”，则实数m的取值范围是 ．
四 解答题（本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
（本题满分10分）设集合，.
（1）当时，求集合；
（2）若是的必要条件，求实数的取值范围.
18. （本题满分12分）已知．
（1）化简,并求的值；
（2）若,且, 求的值．
19.（本题满分12分）已知函数
（1）若，求实数的值；
（2）若，求函数的值域.
20.（本题满分12分）某家庭进行理财投资，根据长期收益率市场预测，投资债券等稳健型产品的年收益与投资额成正比，投资股票等风险型产品的年收益与投资额的算术平方根成正比.已知各投资1万元时，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元.
（1）分别写出两种产品的年收益与投资金额的函数关系式；
（2）该家庭现有10万元资金，全部用于理财投资，设投资债券等稳健型产品的金额为万元.如何分配资金才能使投资获得最大年总收益？其最大年总收益是多少万元？
21.（本题满分12分）已知函数.
（1）是否存在实数使函数为奇函数；
（2）判断并用定义法证明的单调性；
（3）在（1）的前提下，若对，不等式恒成立，求的取值范围.
22. （本题满分12分）函数的定义域为R，若存在常数，使得对一切实数x均成立，则称为“圆锥托底型”函数.
（1）判断函数，是否为“圆锥托底型”函数？并说明理由；
（2）若是“圆锥托底型”函数，求出M的最大值；
（3）问实数满足什么条件，是“圆锥托底型”函数.2023-2024学年第一学期12月六校联合调研试题参考答案
B 2. B 3. B 4. D 5. A 6. C 7. D 8. B
BC 10. BC 11. ABD 12. ABD
13. 14. （开闭区间均可） 15. 16.
17.解：
（1）当时，集合， …………2分
集合 …………4分
所以 ……………………5分
（2）若是的必要条件，则 ， ……………………7分
因为，
所以， ……………………9分
得到 ，故实数的取值范围 ……………………10分
解：
（1）………………………………………………3分
………………………………………………………………………6分
（2）
………………………………………………8分
又
………………………………………………10分
……………………………………………………12分
19. 解：
（1）
………………………………2分
，
即 ，
，解得：或…………………4分
即或 ………………………………6分（2）令
则原函数可化为， ……………………………8分
易知在单调递增，在单调递减，
当时，；当时， .………………………………11分
所以函数当的值域为 . ………………………………12分
20．解：
（1）设投资债券等稳健性产品的年收益为，投资股票等风险型产品的年收益为，
由题意得，，，
因为各投资1万元，两类产品的年收益分别为0.25万元和0.5万元，
所以， ………………………………2分
所以 …………………………4分
【备注】缺少定义域扣1分
（2）因为投资债券等稳健型产品的金额为万元（），则投资股票等风险型产品的金额为万元.
设年投资总收益为，则， ……………………………6分
令，则
则， ……………………………8分
当即时，有最大值 …………………………11分
即当投资债券金额为9万元，投资股票金额为1万元时，能获得最大年总收益为万元.
………………………………12分
【备注】缺少定义域扣1分
21.解：
（1）若是上奇函数
则...................................................................................................1分
当a=时，满足 ，是奇函数...............2分
（2）是R上的增函数，...................................................................................................3分
证明如下：
......................................................................................4分
e>1
是R上的增函数.........................................................................................................6分
(3) 对，不等式恒成立,
又是奇函数，又是R上的增函数
.............................................................................................................7分
.........................................................................................................................8分
恒成立即恒成立,
..................................................10分
............................................................................................................................12分
解：
（1）由题意，当时，恒成立，
故是“圆锥托底型”函数； .................................................2分
对，考虑时，恒成立，即恒成立，
因为，故不存在常数使得对一切实数x均成立，
故不是“圆锥托底型”函数 .................................................4分
〖备注〗举反例也算对
（2）由题意，若是“圆锥托底型”函数，
则对一切实数x均成立.
①当时显然成立， .................................................5分
②当，又，当且仅当时取等号 ................................6分
故M的最大值为. ................................................7分
（3）若是“圆锥托底型”函数则：
①当时，恒成立，即即可，
故当时，即可满足条件； .................................................9分
②当时，若，则为常数，不满足恒成立......................10分
若时，令，解得，此时不成立，故当时，不是“圆锥托底型”函数. .................................................11分
综上，当，时，是“圆锥托底型”函数. .............................12分
