2023年秋期六校第二次联考
8.已知定义在R上的函数f(x)满足f(1+x)=f(1-x),且x1,x2>1,x1≠x2时，[f(x,)-
高一年级数学试题
)1(西-)<0，记a=号)，6=)，e=),则
A.b>c>a
B.b>a>c
C.c>b>a
D.c>a>b
二、选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题
(考试时间：120分钟
试卷满分：150分)
目要求.全部选对的得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分.)
注意事项：
1,答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号填写在答题卡上。
9.有一组数据1,2，…，，其中x1是最小值，，是最大值，则
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如
A.2,x3,x4,,6的平均数等于1,2，…，，的平均数
需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答策写在答题卡
B.2,出，4,5,6的中位数等于，2，…，西的中位数
上，写在本试卷上无效。
C.名2，x,4,,6的标准差不小于x1,2,…,的标准差
3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
D.2出，4x6的极差不大于无1，为，…，x的极差
10.下列命题正确的是
一、选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符
合题目要求的.)
A.√0+2+，1一的最小值是2
√/2+2
1.设集合A={-1,1,2,4},B={xlx2-2x>0},则AOCRB=
A.{-1,2}
B.{1,2}
G.{1,4}
D.[-1,4}
B+2
2.【课本P0】下列说法正确的是
C.a2+1≥2a
A.若a>b,则ac2>bc2
B.若ac2>bc2,则a>b
D.正实数x,y满足x+3y=5y,则3x+4y≥5
C.若a>b,c>d,则ac>bd
D若a>6,则片s名
11.下列命题不正确的是
3.【课本P12改编】函数f(x)=logx+2x-8的零点一定位于区间
A函数)=乙在定义域内是减函数
A.(1,2)
B.(2,3)
C.(3,4)
D.(5,6)
B.函数f(x)=lnx+ln(2-x)在区间(-oo,1]上单调递增
4.【课本P改编】若函数f代x)=(x+a)ln(x+√+I)为偶函数，则a=
的单调递减区间是[-2，】
A.-1
B.0
c
D.1
5.在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述，两颗星的星等与亮度满足m2-m,
D.已知函数)=2-a)x-a+3,≤
是R上的增函数，则a的取值范围是[？，2)
la',x>1
-会，其中屋等为网的星的亮度为，(：=1,2).已知太阳的星等是-267，天狼显的
「-x2-3x,x<0
12.已知函数f(x)=
,以下结论正确的是
Lf(x-3),x≥0
星等是-1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为
A.10a1
B.10.1
C.lg10.1
D.10-10.1
A.f(-4)+f(2023)=-2
B.f(x)在[3,4]上单调递增
6.高一某班有30位同学，他们依次编号为01,02，…，29,30，现利用下面的随机数表选取6位
同学组建“文明校园督查组”.选取方法是从随机数表第1行第5列的数字开始，由左到右
C.函数(x)的图象关于直线x=轴对称
依次选取两个数字，则选出来的第6位同学的编号为
D.若函数y=f(x)-b在(-0,9)上有8个零点，则所有零点之和为24
41792716358608932157956209210929145
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分.）
74955828359837883513478702079932122
13.【课本P1改编】某车间有甲、乙两机床同时加工直径为100cm的零件，为检验质量，各从中
A.29
B.21
C.14
D.09
7.设正实数a,b,c分别满足a·3=b·log4b=c·log3c=1,则a,b,c的大小关系为
抽取6件，测得甲、乙两组数据的平均值为云n=元2=10，两组数据的方差分别为品=子，
A.azb>c
B.axc>b
C.c>b>a
D.b>c>a
s2=1,则估计该车间这批零件的直径的方差2=
高一年级数学试题第1页（共4页）
高一年级数学试题第2页（共4页）2023 年秋期六校第二次联考
高一年级数学参考答案
一、选择题（本题共 8小题，每小题 5分，共 40分．在每小题给出的四个选项中，只有一
项是符合题目要求的．）
1．【答案】B
B ={x | x < 0或x > 2}，则 B = [0,2] A∩ B ={1,2}
【解析】已知 ，所以 。故选项 B正确。R R
【命题意图】考查集合的补集交集的运算，体现了数学运算的核心素养。
2．【答案】B
2 2 2 2
【解析】A．若 a > b，当 c = 0时， ac = bc = 0，故选项 A错误。B．若 ac > bc ，
c2则 > 0，所以 a > b a = 1,b = 2,c = 3,d = 4，故选项 B 正确。C．当 时，满足
a > b,c > d
；但 ac = 3 < bd = 8 a =1,b = 2，故选项 C错误。D．当 时，满足 a > b，但
1 1 1
=1> =
，故选项 D错误。
a b 2
【命题意图】考查不等式的性质，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养。
3．【答案】C
f (x) = log x + 2x 8
【解析】因为 3 ，
f (1) = 6 < 0, f (2) = log3 2 4 < 0, f (3) = 1< 0,所以
f (4) = log34 > 0, f (5) = log3 5+ 2 > 0, f (6) = log3 6+ 4 > 0， f (3) f (4) < 0所以 。因为
f (x) f (x) (3,4)
的图像是连续的，所以由零点存在性定理得 的零点所在的区间是 。故选项 C
正确。
【命题意图】考查零点存在性定理与函数单调性相结合的应用，考查了数形结合思想，体
现了数学运算、直观想象的核心素养。
4．【答案】B
f (x) 2
【解析】函数 的定义域为R，令 g(x) = ln(x + x +1)，因为
2 ( x
2 +1 x) ( x2 +1 + x) 1
g( x) = ln( x +1 x) = ln = ln = ln( x2 +1 + x) = g(x)
，
x2 +1 + x x2 +1 + x
1 10
高一年级数学参考答案 第 页（共 页）
{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
g(x) f (x) = (x + a) g(x) h(x) = x + a
所以 是奇函数，又因为 是偶函数，所以 是奇函数，
h( x) = h(x) x + a = x a
所以 ，则 ，解得 a = 0。故选项 B正确。
【命题意图】考查复合函数的奇偶性，体现了数学运算、逻辑推理的核心素养。
5．【答案】A
m m E ,E
【解析】设太阳的星等为 1，天狼星的星等为 2，则太阳与天狼星的亮度分别为 1 2，
5 E 5 E
m1 =
1 1
26.7,m = 1.45, m2 m1 = lg lg = 1.45+ 26.7 = 25.25由条件得 2 ，得 ，2 E2 2 E2
E 2 E
lg 1 = 25.25× =10.1 1 =1010.1 10.1
所以 ，所以 ，即太阳与天狼星的亮度的比值为10 。
E2 5 E2
故选项 A正确。
【命题意图】考查对数与对数函数，考查学生的数据处理能力和应用意识，体现了数学建
模、数学运算的核心素养。
6．【答案】A
【解析】从随机数表第 1行第 5列的数字开始，由左到右依次选取两个数字分别为 27，16，
35（舍去），86（舍去），08，93（舍去），21，57（舍去），95（舍去），62（舍去），09，21
（舍去），09（舍去），29。故最终取得的第 6个数字为 29。故选项 A正确。
【命题意图】考查随机数表选取编号的方法，体现了数据分析的核心素养。
7．【答案】D
a 1 1 13 = , log b = , log c = y = 3x , y = log x, y = log x
【解析】由已知可得 4 3 ，做出 4 3 的
a b c
1
y = a,b,c
大致图象如图所示。它们与 交点的横坐标分别为 ，由图可得b > c > a。故选项 D
x
正确。
【命题意图】考查指数函数、对数函数、幂函数的图像，考查了查数形结合思想、转化与
化归思想，体现了直观想象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
8．【答案】A
x , x >1，x ≠ x时，[ f (x ) f (x )](x x ) < 0 f (x) (1,+∞)
【解析】由 1 2 1 2 1 2 1 2 得函数 在 上单调递
2 10
高一年级数学参考答案 第 页（共 页）
{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
f (1+ x) = f (1 x) f (x)
减，由 得函数 关于直线 x =1 f (x) ( ∞,1)轴对称，所以函数 在 上
单调递增。又因为
2 1.4 3 1.7 6 2.4
| 1|≈| 1|= 0.3(最远离x =1),| 1|≈| 1|= 0.15(最靠近x =1),| 1|≈| 1|= 0.2，
2 2 2 2 2 2
3 6 2
所以 f ( ) > f ( ) > f ( )。故选项 A正确。
2 2 2
【命题意图】考查函数的单调性，函数图像的对称性，考查数形结合思想、转化与化归思
想，体现了数学抽象、数学运算、逻辑推理等核心素养。
二、选择题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．在每小题给出的四个选项中，有多项
符合题目要求．全部选对的得 5分，选对但不全的得 2分，有选错的得 0分．）
9．【答案】BD
x + x
x , x , x , x , x 2 3
+ + x6
A. 2 3 4 5 6 x1, x , , x【解析】 的平均数为 ， 2 7 的平均数为
5
x1 + x2 + + x7
，所以平均数不一定相等。故选项 A错误。
7
B. x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤ x ≤ x ≤ x x , x不妨设 5 6 7，则 1 2 , , x7 x x , x , x , x , x的中位数为 4， 2 3 4 5 6的
x B C. x1, x2 , , x7 1 2 2 2 2 2 3 x2 , x3 , x , x , x中位数也为 4。故选项 正确。 设 分别为 ，，，，，，，则 4 5 6
0 x1, x2 , , x的标准差为 ， 7的平均数为 2，
1 2 2 2 2
标准差为 s = [(1 2) + 5× (2 2) + (3 2) ] = > 0。故选项 C错误。D.不妨设
7 7
x1 ≤ x2 ≤ x3 ≤ x4 ≤ x5 ≤ x6 ≤ x7 x1, x , , x x x x , x，则 2 7的极差为 7 1， 2 3 , x4 , x5 , x6的极差
x6 x2 x6 x2 ≤ x7 x为 ，且 1。故选项 D正确。
【命题意图】考查样本的数字特征，体现了逻辑推理、数据分析等核心素养。
10．【答案】CD
2 1 1
A a2 + 2 > 0 a + 2 + ≥ 2 a
2 + 2 = 2
【解析】 ．显然 ，所以 ，当
a2 + 2 a2 + 2
a2
1
+ 2 = 2
且仅当 即 a + 2 =1时取等号，但等号显然无法成立，故选项 A错误。
a2 + 2
3 10
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{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
b a
B a,b + < 0 a．当 异号时， ，故选项 B错误。C．因为对任意的实数 都有
a b
(a 1)2 = a2 2a +1≥ 0 a2 +1≥ 2a C D x, y，所以 ，故选项 正确。 ．因为正实数 满足
3 1
x + 3y = 5xy + = 5
，即 ，
x y
3 1 1 1 3x 12y 1 3x 12y 1
3x + 4y = (3x + 4y) ( + )× = (13+ + ) ≥ (13+ 2 ) = (13+ 2×6) = 5
所以 ，
x y 5 5 y x 5 y x 5
3x 12y 1
= x =1, y =
当且仅当 即 时取等号。故选项 D正确。
y x 2
【命题意图】考查基本不等式和基本不等式求最值的条件，体现了数学运算、逻辑推理等
核心素养。
11．【答案】AB
2
f (x) = ( ∞,1)∪ (1,+∞) 2 < 2,
【解析】A．因为函数 的定义域为 ，因为
x 1
2
f ( 2) = < f (2) = 2 f (x)
但是 ，所以函数 在定义域内不是减函数。故选项 A错误。
3
B f (x) = ln x + ln(2 x) (0,2) 2．函数 的定义域为 ，且 f (x) = ln( x + 2x), (x∈ (0,2))。因
为函数 t = x2 + 2x(x∈ (0,2)) (0,1] [1,2)在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，函数
y = ln t f (x) = ln x + ln(2 x) (0,1]
单调递增，由复合函数的单调性知函数 在区间 上单调递
1 2
[1,2) f (x) = ( ) x x+2 [ 2,1]
增，在区间 上单调递减。故选项 B错误。C．函数 的定义域为 。
2
1 1
t = x2 x + 2 [ 2, ] [ ,1]因为函数 在区间 上单调递增，在区间 上单调递减，函数
2 2
1 t 1 2 1y = ( ) f (x) = ( ) x x+2 [ 2, ]
单调递减，由复合函数的单调性知函数 在区间 上单调
2 2 2
1
[ ,1]
递减，在区间 上单调递增。故选项 C正确。D．因为函数
2
(2 a)x a + 3， x ≤1
f (x) = x 是 R上的增函数，所以各段均为增函数，且在分界点处前
a ， x >1
2 a > 0
a a >1
段函数的函数值不大于后段函数的函数值，所以实数 应满足 ，解得
(2 a)×1 a + 3 ≤ a
5
≤ a < 2
。故选项 D正确。
3
4 10
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{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
【命题意图】考查复合函数的单调性，考查数形结合思想，体现了数学抽象、逻辑推理
等核心素养。
12．【答案】ABD
A. f ( 4) = 4, f (2023) = f (1) = f ( 2) = 2, f ( 4) + f (2023) = 2【解析】 因为 故 。
A f (x) [3,4] f (x)故选项 正确。B.如图，函数 在 上单调递增，故选项 B正确。C.如图，函数
y = f (x) b ( ∞,9)
的图象不是轴对称图形，故选项 C错误。D.若函数 在 上有 8个零点，
y = f (x) y = b ( ∞,9)
即函数 与 的图像在 上有 8个零点，其零点之和为 3+ 3+ 9+15 = 24，
故选项 D正确。故选 ABD。
【命题意图】考查函数图像与性质的综合应用，考查数形结合思想，体现数学运算，直
观想象，逻辑推理等核心素养。
三、填空题（本题共 4小题，每小题 5分，共 20分．）
5
13．【答案】
3
1
x = x =100 w = w =
【解析】由题意知甲、乙两组数据的平均值与权重分别为 ， ，
甲 乙
甲 乙
2
1 1
12 x = ×100 + ×100 =100所以 件零件直径的均值为 ，则这 12 件零件直径的方差为
2 2
s2
1 7 1 5
= w [s2 + (x x)2 ]+ w [s2 + (x x)2 ] = × + ×1=
。
甲 甲 甲 乙 乙 乙
2 3 2 3
【命题意图】考查分层随机抽样的方差，体现了数学运算的核心素养。
14．【答案】8.5
10+8+ a +8+ 7 + 9+ 6+8
= 8
【解析】由题意可得 ，解得 a = 8，将这组数据按从小到
8
8×75 0 = 6 75 0
大的顺序排列为 6，7，8，8，8，8，9，10，因为 0 为整数，所以这组数据的 0
8+ 9
= 8.5
分位数为 。
2
【命题意图】考查百分位数，体现了数据分析的核心素养。
15．【答案】 2
5 10
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{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
f (x) = xα
1 1 1
(3, ) 3α = α = 1 f (x) =【解析】幂函数 的图象过点 ，所以 ，得 。所以 ，
3 3 x
x 3 3 1
g(x) = =1 [ ,1] g(x)max = g(1) = 2在区间 上单调递增，所以 。
x x 3
【命题意图】考查复合函数的单调性和最值，考查数形结合，体现直观想象、数学运算
的核心素养。
1 1
16 [ , )．【答案】
5 4
f (x), g(x)
【解析】在同一平面直角坐标系内作出函数 的图象，如图所示：
f (x) = g(x) [ 6,0)
则方程 在区间 上有 4 [0,5]个实根，所以在区间 上有 4个不同实根。当直
1 1
y = kx (4,1) k = (5,1) k = [0,5]
线 经过点 时， ，经过点 时， 。若在区间 上有 4个不同实
4 5
1 1
[ , )
根，则 k的取值范围是 。
5 4
【命题意图】考查利用函数的性质求参数取值范围，考查数形结合、转化与化归思想，
体现了直观想象、逻辑推理等核心素养。
四、解答题（本题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．）
17．【解析】
1 B = [3,22]（ ）由已知得 …………………………1分
A∪ B = B A B
因为 ，所以 …………………………2分
当 A = 时， 2a +1≥ 3a 5，即 a ≤ 6…………………………3分
2a +1< 3a 5
A ≠ 2a +1≥ 3当 时， 即 6 < a ≤ 9…………………………4分
3a 5 ≤ 22
a ( ∞,9]
综上， 的取值范围是 。…………………………5分
（2 p）因为命题 是假命题，
“ x∈[a,a +1],使x +1≥ 0所以 ”为真命题，…………………………7分
6 10
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{#{QQABbYKEggggABJAARgCEQVYCgCQkBAACIoGgBAMIAABABFABAA=}#}
(x +1)
所以 max ≥ 0，…………………………9分
所以 a + 2 ≥ 0，即 a ≥ 2
a [ 2,+∞)
所以 的取值范围是 。…………………………10分
【命题意图】考查简易逻辑的应用，考查转化与化归思想，体现数学运算、逻辑推理的
核心素养。
18．【解析】
（1）由已知得 0.70 = a + 0.20+ 0.15 …………………………2分
故 a = 0.35…………………………3分
从而b =1 0.05 0.15 0.70 = 0.10…………………………6分
（2）甲离子残留百分比的平均值的估计值为
2×0.15+ 3×0.20+ 4×0.30+ 5×0.20+ 6×0.10+ 7×0.05 = 4.05………………9分
乙离子残留百分比的平均值的估计值为
3×0.05+ 4×0.10+ 5×0.15+ 6×0.35+ 7×0.20+8×0.15 = 6.00……………12分
【命题意图】考查频率分布直方图的含义，以及用频率分布直方图估计样本的数字特征，
体现了数学运算、数学建模的核心素养。
19．【解析】
3 1
1 g(x) = +1= 3( )|x| +1（ ） ，…………………………1分
e|x| e
|x|
因为 | x |≥ 0,e ≥1，…………………………2分
1 1
0 < ( )|x| ≤1,0 < 3( )|x| ≤ 3
所以 ，…………………………4分
e e
1< g(x) ≤ 4 g(x) (1,4]
则 ，故 的值域是 。…………………………6分
3
2 f (x) g(x) = 0 ex 2 = 0（ ）由 ，得 。…………………………7分
e|x|
x x x
当 x ≤ 0时， e 3 e 2 = 0，整理得 e = 1，方程无解；………………………8分
x 3
当 x > 0 e 2 = 0 x 2 x x x时， ，整理得 (e ) 2e 3 = 0，即 (e +1)(e 3) = 0，
ex
…………………………10分
因为 ex > 0，所以 ex = 3，即 x = ln 3。…………………………11分
f (x) g(x) = 0 x
故满足方程 的 的值为 ln3 .…………………………12分
【命题意图】考查指数型函数的值域和求解一元二次方程的根，考查转化与化归思想，
体现数学运算、逻辑推理的核心素养。
7 10
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20．【解析】
（1）当 x < 0时， x > 0，
1 1
∴ f ( x) = ( x) log2 ( x + 2) = x log2 (2 x)…………………………1分
4 4
∵ f (x)
又 是R上的奇函数，
∴ f ( x) = f (x)且f (0) = 0 …………………………2分
1
∴当x < 0 f (x) = f ( x) = log时， 2 (2 x) x…………………………3分
4
1
log2 (2 x) x, x < 0
4
f (x) = 0, x = 0
综上： 。…………………………4分
1
x log2 (x + 2), x > 0 4
1
2 ∵ x > 0 f (x) = x log (x + 2)（ ） 当 时， 2 单调递减…………………………5分
4
∴ x > 0,有f (x) < 1< 0 = f (0)…………………………6分
1
∵ x < 0 f (x) = log (2 x) x又 当 时， 2 单调递减，
4
∴ x < 0,有f (x) >1> 0 = f (0)…………………………7分
∴ f (x)
是 R上的减函数。…………………………8分
（3）由 f (mt 2 + 3) + f ( 4mt) < 0得 f (mt 2 + 3) < f ( 4mt)，
∵ f (x) 2
是奇函数，∴ f (mt + 3) < f (4mt)，
∴ f (x)
又 是R 2上的减函数，∴mt + 3 > 4mt，
2
即mt 4mt + 3 > 0对任意的 t∈R恒成立…………………………9分
①当m = 0时，3 > 0恒成立，满足条件；…………………………10分
m > 0 3
m 0 < m <
②当m ≠ 0时， 应满足 2 即 ……………………11分
=16m 12m < 0 4
3
m [0, )
综上： 的取值范围是 。…………………………12分
4
【命题意图】考查函数的奇偶性、单调性的应用，体现逻辑推理、数学运算的核心素养。
8 10
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21．【解析】
（1）画出散点图：
………………2分
2x
(2,1.4), (3,2.56), (4,5.31),(5,11),(6,21.3)
由图可知点 基本上是落在函数 y = 的图
3
像的附近， …………………………………………4分
（另外：如果没有画散点图，文字描述正确，同样给分）
2x
因此用函数 y = 这一模型较好。 ……………………6分
3
2x
（2）当 >100时，即 2x > 300，
3
∴lg 2x > lg300， ……………………8分
x lg 2 > 2+ lg3
即 ，
2+ lg3 2+ 0.4771
∴ x > = ≈ 8.23 ……………………10分
lg 2 0.3010
故大约从第 9月份开始，该公司的月收入会超过 100万元。………………12分
2x x
另解：当 >100时，即 2 > 300，
3
∵28 = 256 < 300,29 = 512 > 300，……………………10分
故大约从第 9月份开始，该公司的月收入会超过 100万元。………………12分
【命题意图】考查指数型函数的实际应用，体现数学建模、数学运算等核心素养。
22．【解析】
1 1 3
1 x = 2, y =1 f (2) + 2 f ( ) = 2 =（ ）令 ，得 ，…………………………1分
2 2 2
1
x =1, y = 2 f ( ) + 2 f (2) = 2 2 = 0
令 ，得 。…………………………2分
2
9 10
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1 3
f (2) + 2 f ( ) = 1
2 2 f (2) = 由 ，解得 。…………………………4分1
f ( ) + 2 f (2) = 0 2
2
x 1 1
= t(t ≠ 0) f (t) + 2 f ( ) = 2
（2）令 ，则 。…………………………5分
y t t
1
f ( ) + 2 f (t) = 2 t
所以 。…………………………6分
t
1 2 2 1
3 f (t) = 2 2t + f (t) = t +
由以上两式，解得 ，即 ……………………7分
t 3 3 3t
2 2 1
f (x) = x + (x ≠ 0)
所以 。…………………………8分
3 3 3x
2 2 2 1 2 1 1
3 2 g(x) = x + x + = (x )2 +（ ）由（ ）得 ，…………………………9分
3 3 3 3 2 2
1
< 2m
1 2 1
< 2 < m < 1 h(m) = g(2m ) = (4m 2m )当 ，即 时， ………10分
4 2 3 2
2m
1 1 1
≥
当 ，即m ≥ 1 h(m) = g( ) =时， 。…………………………11分
2 2 2
2
(4m 2m
1
), 2 < m < 1
h(m) = 3 2综上： 。…………………………12分
1 ,m ≥ 1
2
【命题意图】考查函数值的求解，利用方程法求函数解析式，考查二次函数在区间上的
最值的求解，考查分类讨论思想，体现数学运算的核心素养。
10 10
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