雅礼集团 2023-2024 学年第二学期 12月联考
高一年级 数学答案
一、选择题
序号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
答案 C B A D C B A D AC BCD AC ABD
7．【答案】A
【解析】由题意可得方程组：
10
50 20 80 20 e h① 10 10 ln3 ln2
，化简可得： h ，所以 t 5.7min， t
ln2
60 20 80 20 e h
ln2
②
大约需要放置5.7min 能达到最佳饮用口感．
故选：A.
8．【答案】D
2
【详解】由 g (x) f ( f (x)) (a 1) f ( f (x)) a 0 ，
得 f f x 1 f f x a 0 ，
解得 f f x 1或 f f x a，
作出 f x 的图象如图，
则若 f x 1，则 x 0或 x 2 ，设 t f x ，由 f f x 1得 f t 1，此时 t 0或 t 2，
当 t 0时， f x t 0，有两根，
当 t 2时， f x t 2，有一个根，
则必须有 f f x a， a 1有5个根，
设 t f x ，由 f f x a得 f t a，
若 a 0，由 f t a 0，得 t 1或 t 1， f x 1有一个根， f x 1有两个根，共3个根，不满足题意；
若 a 1，由 f t a，得 t 2， f x t 有一个根，不满足条件.
若 a<0，由 f t a，得 2 t 1， f x t 有一个根，不满足条件；
若 0 a 1，由 f t a，得 1 t1 0或0 t2 1或 1 t3 2，
当 1 t1 0， f x t1有一个根，当0 t2 1时， f x t2 有3个根，
当1 t3 2时， f x t3有一个根，此时共有5个根，满足题意. 所以实数 a的取值范围为 0,1 .
故选：A.
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10．【答案】BCD
【解析】
对于 B， f (x) loga (x 1) 1(a 0,a 1)恒过点 (2,1)，B 正确；
2 2
对于 C，圆心角为 ，弧长为 ,则半径 r=1,扇形面积为 , C 正确；
3 3 3
对于 D，2x 4，解得：x 2，所以 x 3 x 2，但 x 2不一定得到 x 3，所以“ x 3 ”是“ 2x 4 ”的充分
不必要条件，D 正确；
2 2
圆心角为 ，弧长为 的扇形面积为
3 3 3
11．【答案】AC
【解析】对于选项 A， x 0 ， y 0 ， x y 2 ，则2x 2 y 2 2x y 4，当且仅当2x 2y ，即 x y 时取
等号，即2x 2y 的最小值为4，即 A错误；
1
对于选项 B，当 x ，则函数
2
4 4
y 2x 1 2x 1 2 1 2x
4 4 1
1 3，当且仅当1 2x 即 x 时
2x 1 1 2x
1 2x 1 2x 2
取等号，即 B正确；
x2 13 2 9 2 9
对于选项 C，函数 y x 4 2 x 4 6 ，当且仅当
x2 4 x2 4 x2 4
2 9x 4 ，即 x 5 时取等号，即 C错误，
x2 4
x y
x 0 y 0 x y xy 3 x y ( )2对于选项 D，若 ， ， ，则 3，即 (x y 6)(x y 2) 0，即
2
x y 6(舍)或x y 2，则 x+y 的最小值为 2，即 D正确； 故选：AC.
12．【答案】ABD
1 1
【详解】对于 A. f x 1 2a a x 1 a 2a ax
x 1 1 x
1
由解析式可知 y ax 是奇函数，故 A正确；
x
对于 B.令 f 1 1x ax a 0，分离参数后a ， 1 x2 , 0) (0,1
x 1 1 x2
1
故 ,02 1, ，B正确； 1 x
3 3 1 5
f a a a 2 1对于 C.特殊值法 2 2 3 2 ， f 2 2a a 3a 1 1 2 1
2
3 a
即 f f (2) 1 ，若0 a 2，则 f x 在 1, 上不是单调递增，故 C错误.
2 2
1
对于 D.由 A 可知，当a 时， f x 关于 1,1 中心对称，且 g x 关于 1,1 中心对称，所以这 2022 个交点关于
2
1,1 对称，故 x1 x2 x2022 y1 y2 y2022 2022 2022 4044，D正确. 故选：ABD
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二、填空题
13.3
14. 1.25,1.5
π 2
15．【分析】先化简sin x cos(x π)，再利用同角的平方关系求解.
10 5
π 2 π 2
【详解】由题得sin x sin[(x π) ] cos(x π)
10
5 2 5
3 π 2 11π 2 2 11π 2 x , x π , sin(x π) 0， π x π cos(x π) 0
2 2 10 5 10 5 5 10 5
π 2 1
所以sin x cos(x π) 1 ( )2
2 6
.
10 5 5 5
2 6
故答案为：
5
x 2 ， x 0
16【详解】试题分析：先画出函数 f (x) ，的图象，方程 f (x) a有四个不同的解x1，x ，
log2 x , x 0
2
x3 ， x4，且 x1 x2 x3 x4 ，由 x 0 时， f (x) x 2 ，则x1与 的中点横坐标为 x=-2
即： x1 x2 4，当 时，由于 在 上是减函数，在 上是增函数，又因为
， ，则 ，有 ，
又 log2 x4 2 1 x4 4
1 1 4
x3(x1 x2 ) 4x3 x4 2 在 x4 (1，4]上递增， x3 x4 x3 x4
故取值范围是 ( 3，3]
三、解答题
17．【答案】
（1）0； ………5 分 （2）2 ………10分
sin(3 x) cos( x)f x sinx cosx tan x 118．【详解】（1）由 ,
3cos( x) sin( x) 3cosx sinx 3 tan x
所以 f tan 13，即 3， 解得 tan 2 ； ………………………5分
3 tan
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3 1 1
（2）由sin sin 得：sin cos ①， ………6分
2 5 5
1
所以 (sin cos )2 1 2sin cos ，
25
24
则2sin cos 0 ，所以 ( , ) ， ………8分
25 2
49
则 (sin cos )2 1 2sin cos ，
25
7
而 sin 0, cos 0 ，所以sin cos ②， ………10 分
5
4 3 4
由①②联立可得sin ,cos ，故 tan ， ………11分
5 5 3
4
tan 1
1 1
所以 f ( ) 3 . ………12分
3 tan 43 13
3
19.【详解】（1）解：因为不等式ax2 5x 4 0的解集为 x x 1或 x b ，
所以 1和 b是方程ax2 5x 4 0的两个实数根且a 0， ………2分
5
1 b a a 1
所以 ，解得 ………5分
4 b 41 b
a
a 1 1 4
（2）由（1）知 ，于是有 1，
b 4 x y
1 4 y 4x故 x y x y 5 5 2 4 9 ， ………7分
x y x y
x 3
当且仅当 时，等号成立， ………8分
y 6
依题意有 x y k 2 k 7 ，即
min 9 k
2 k 7， ………10分
得 k 2 k 2 0 2 k 1，
所以 k的取值范围为 2,1 . ………12 分
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20．【详解】（1）解：因为 f x 是定义域为R 的偶函数，所以
x
f( x)=f(x), x[2 k 2 2x ] x[2x k 2 2 x ] ………2分
x[2 x k 2 2x ] x[2x k 2 2 x ] x(2x 2 x ) x k 2 (2x 2 x ) 0
x(2x 2 x )( 1 k) 0,即k 1 ………5分
2
（2）解： g x 22x 2 2x 2m 2x 2 x 2x 2 x 2m 2x 2 x 2，
x x
令 t 2x 2 x ，因为函数 t1 2 、 t2 2 均为 1, 上的增函数，
故函数 t 2x 2 x 在 1, 1 1 3上为增函数，由 x 1，故 t 2 2 ，
2
2 3所以 y t 2mt 2， t ， ………8分
2
函数 y t2 2mt 2图象的对称轴为 t m，
3
①当m 时， ymin m
2 2m2 2 2，解得m 0（舍去）；
2
3 3
②当m
时，函数 y t2 2mt 2在 , 上为增函数， 2 2
9 3 3
则 ymin 3m 2 2，解得m ，合乎题意. 4 4 2
3
综上所述，m . ………12 分
4
21.【详解】（1）由题意知，当 t 0,14 时，曲线是二次函数图象的一部分，
抛物线顶点坐标为 (12,82)，且曲线过点 (14,81)，
2 2 1设二次函数为 y a t 12 82，则a 14 12 82 81，解得a ，
4
则可得 f t 1 t 12 2 82 ， t 0,14 ． ………2分
4
又当 t 14,45 时，曲线是函数 y loga t 5 83(a 0且a 1)图象的一部分，
且曲线过点 114,81 ，则 loga 9 2，即a 2 9，解得a ，
3
则 f t log1 t 5 83， t 14,45 ． ………4分
3
1
t 12
2
82, t 0,14
则 p f t 4 . ………6分
log1 t 5 83, t 14, 45
3
（2）由题意知，注意力指数 p大于 80 时听课效果最佳，
当 t 0,14 时，令 f t 1 2t 12 82 80，
4
解得：12 2 2 t 14. ………8分
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当 t 14,45 时，令 f t log1 t 5 83 80，
3
解得：14 t 32. ………10分
综上可得， t 12 2 2,32 . ………11 分
故老师在 12 2 2,32 这一时间段内讲解核心内容，学生听课效果最佳． ………12 分
x 3
22．【详解】（1）由 0 ，得 x< 3或 x 3．
x 3
∴ f x 的定义域为 , 3 3, ； ………3分
x 3 6（2）令 t x 1 ，
x 3 x 3
6
因函数 y 在 (3， )上单调递减，则 t x 在 (3， )上为增函数，
x 3
1
又 a ，∴ f x 在 (3， )上为减函数；函数 g x f x b在 (3， )有且只有一个零点，
2
即 f x b在 (3， )上有且只有一个解，
∵函数 f x 在 (3， )上的值域为 (0, )，
∴b的范围是 (0, )． ………7分
（3）假设存在这样的实数a，使得当 f x 的定义域为 m,n 时，值域为 1 loga n,1 loga m ，
由m n且1 loga n 1 loga m，可得0 a 1．
6
又由（2）知 t x 1 在 3, 上为增函数， y loga x在 3, 上为减函数. x 3
m 3
f m loga 1 loga m loga am
则 f x 在 3, m 3上为减函数，得 .
n 3f n loga 1 log n log an n 3 a a
x 3
即 ax在 3, x 3 2上有两个互异实根，因 ax ax 3a 1 x 3 0
x 3 x 3
即h x ax2 3a 1 x 3，有两个大于 3的相异零点.
2Δ= 3a 1 12a 0
9a2 18a 1 0
3a 1 3 2 2
则
3 9a 1 0 a .
2a 3
a 0h(3) 18a 0
3 2 2
结合0 a 1，故存在这样的实数a 0, 符合题意． ………12分
3
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高一年级 数学试卷
注意事项：
1. 答题前，请考生先将自己的姓名、准考证号等信息填写清楚，并认真核对条形码上的姓名、准考证号、
考室和座位号；
2. 必须在答题卡上答题。在草稿纸、试题卷上答题无效；
3. 答题时，请考生注意答题要求。
4. 请勿折叠答题卡，保持字体工整、笔记清晰、卡面清洁；
5. 答题卡上不得使用涂改液、涂改胶和贴纸；
本试卷共 6道大题，16 道小题，满分 150 分，时量 120 分钟。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．与 800°角终边相同的角可以表示为( )．
A．k 360°+100°，k∈Z B．k 360°+90°，k∈Z C．k 360°+80°，k∈Z D．k 360°+70°，k∈Z
2．十七世纪，数学家费马提出猜想：“对任意正整数n 2 ，关于 x，y，z的方程 xn yn zn 没有正整数
解”． 1995 年数学家安德鲁·怀尔斯给出了证明，使它终成费马大定理，则费马大定理的否定为( )
A．对任意正整数n 2 ，关于 x，y，z的方程 xn yn zn 都没有正整数解
B．存在正整数n 2 ，关于 x，y，z的方程 xn yn zn 至少存在一组正整数解
C．存在正整数n 2 ，关于 x，y，z的方程 xn yn zn 至少存在一组正整数解
D．存在正整数n 2 ，关于 x，y，z的方程 xn yn zn 至多存在一组正整数解
3．设全集U R ，M {x x 1或x 3} N x 4x， 8 ，则图中阴影部分表示的集合是( )
3 3 3
A． ( 1, ) B． ( ,3) C． ( , ) D． ( 1,3)
2 2 2
7 1 1
4．已知a log 33 ,b ( ) ,c log 3，则a,b,c的大小关系为( ) 2 4 0.4
A． c a b B．b a c C． c b a D．a b c
2
x (x 1)
5．已知函数 f (x) log x(x 1) ，则 f 2 x 的图象是（ ）
1 2
A． B． C． D．
第 1 页，共 4 页
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1 2
6 x．若函数 f x ( ) ，函数 f x 与函数 g x 图象关于 y x对称，则 g 4 x 的单调减区间是( )
2
A． 2,0 B． 2,0 C． 0, 2 D． 0, 2
7．中国茶文化源远流传，博大精深，茶水的口感与茶叶的类型和水的温度有关，某种绿茶用80 C的水泡制，
再等到茶水温度降至60 C 时饮用，可以产生最佳口感．为了控制水温，某研究小组联想到牛顿提出的物体在
常温下的温度变化冷却规律：设物体的初始温度是T0 ，经过 tmin 后的温度是T ，则
t
T T T0 T e h e 2.71828 ，其中T 表示环境温度，h表示半衰期．该研究小组经过测量得到，刚
泡好的绿茶水温度是80 C，放在20 C 的室温中，10min 以后茶水的温度是50 C ，在上述条件下，大约需要
放置多长时间能达到最佳饮用口感？ (结果精确到0.1，参考数据 ln2 0.7，ln3 1.1) ( )
A．5.7min B．5.8min C．5.9min D．6.0min
log x 2 , 2 x 0
8．已知函数 f x 2 2 ，若函数 g(x) [ f ( f (x))]2 (a 1) f ( f (x)) a (a R) 恰有 8
x 2x 1, x 0
个不同零点，则实数 a的取值范围是( )
1
A． (0,2) B． (0, ) C．[0,1) D． (0,1)
4
二、多择题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要
求的．全部选对得 5 分，部分选对得 2 分，有选错的得 0 分．
2
9．已知角 的终边与单位圆交于点 ,n ，则( )
3
A．cos
2
5 5 2 5 B．n C．sin D． tan
3 3 3 5
10．给出下列四个结论，其中正确的是( )
A． lg2 lg50 2 B． f (x) 2loga (x 1) 3(a 0,a 1)过定点 (2,3)
2 2
C．圆心角为 ，弧长为 的扇形面积为 D． “ x 4 ”是“ 2x 4 ”的充分不必要条件
3 3 3
11．下列说法不正确的是( )
A．若 x, y 0， x y 4 ，则2x 2y 的最大值为8
1 4
B．若 x ，则函数 y 2x 的最大值为 3
2 2x 1
x2 13 13
C．函数 y 的最小值为
x2 4 2
D．若 x 0 ， y 0， x y xy 3，则 x y 的最小值为 2
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12．我们知道，函数 y f x 的图象关于坐标原点成中心对称图形的充要条件是函数 y f x 为奇函数.有同
学发现可以将其推广为：函数 y f x 的图象关于点P a,b 成中心对称图形的充要条件是函数
y f x a b为奇函数.现已知函数 f x 1 ax a，则下列说法正确的是( )
x 1
A．函数 y f x 1 2a为奇函数
B．若方程 f x 0 有实根，则a , 0 1,
C．当a 0 时， f x 在 1, 上单调递增
1
D．设定义域为R 的函数 g x 关于 1,1 中心对称，若a ，且 f x 与 g x 的图象共有 2022 个交
2
点，记为 Ai xi , yi i 1, 2, , 2022 ，则 x1 y1 x2 y2 x2022 y2022 的值为 4044
三、填空题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。
2
13．若幂函数 f x m 9m 19 xm 4 在 0, 上单调递减，则实数m ____________..
14 x．设 f x 3 3x 8 ，用二分法求方程3x 3x 8 0在 1, 2 内近似解的过程中得 f 1 0，
f 1.5 0， f 1.25 0， f 1.75 0，则方程的根落在开区间 ____________ 内.
2π 1 π 3π πsin x x , sin 15．已知 ， ，则5 5 2 2
x ____________ .
10
x 2 ，x 0
16．已知函数 f (x) ，若方程 f (x) a有四个不同的解 x1， x2 ， x3 ， x4 ，且
log2 x ，x 0
1
x1 x2 x3 x x4 ，则 3(x1 x2 ) 2 的取值范围是____________. x3 x4
四、解答题：本题共 6 小题，共 70 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．(本小题满分 10 分)
2
0.5 2
(1)计算 1 10 3
0 3
5 2 2 2 2 π ；
16 27
4
(2) log 2
1
计算3 3 2 log4 3 log27 8 log6 8 2 log6 3 . 3
sin(3 x) cos( x)
18．(本小题满分 12 分)已知函数 f x .
3cos( x) sin( x)
(1)若 f 3，求 tan 的值；
(2)若 0, 3 1，且sin sin ，求 f 的值.
2 5
第 3 页，共 4 页
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19．(本小题满分 12 分)已知关于 x的不等式ax2 5x 4 0的解集为 x x 1或 x b （b 1）.
(1)求 a，b的值；
a b
(2)当 x 0 ， y 0，且满足 1时，有 x y k 2 k 7 恒成立，求 k的取值范围.
x y
20．(
x
本小题满分 12 分)设函数 f x x 2 x k 2 2 x 是定义域为R 的偶函数.
(1)求实数 k 的值；
2mf x
(2)若 g x 22x 2 2x ，且 g x 在 1, 上的最小值为 2 ，求实数m的值.
x
21．(本小题满分 12 分)某校学生社团心理学研究小组在对学生上课注意力集中情况的调查研究中，发现注意力
指数 p与听课时间 t之间的关系满足如图所示的曲线．当 t 0,14 时，曲线是二次函数图象的一部分，当
t 14, 45 时，曲线是函数 y loga t 5 83 ( a 0 且a 1)图象的一部分．根据专家研究，当注意力指数
p大于 80 时听课效果最佳．
(1)试求 p f t 的函数关系式；
(2)老师在什么时段内讲解核心内容能使学生听课效果最佳？请说明理由．
x 3
22．(本小题满分 12 分)已知函数 f x loga （a 0 且 a 1）． x 3
(1)求 f x 的定义域；
1
(2)若当a 时，函数 g x f x b在 3, 有且只有一个零点，求实数b 的范围；
2
(3)是否存在实数a，使得当 f x 的定义域为 m,n 时，值域为 1 loga n,1 loga m ，若存在，求出实数
a的范围；若不存在，请说明理由．
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