高一上学期期中数学参考答案
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】，，
所以，故选：B.
2. 函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】令，解得，所以当时，，
所以函数过定点.故选：B
3函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】由题知：.
故选：A.
4. 设是定义在，上的奇函数，则
A． B．0 C．1 D．
【解析】因为是定义在，上的奇函数，
所以，即，且，故，所以，
所以，则（1）．
故选：．
5. 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)= ax (a>1),则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-2)>f(-3) B. f(π)
C f(π)>f(-3)>f(-2) D.f(π)【答案】C
【解析】因为f(x)为偶函数,所以f(-2)=f(2),f(-3)=f(3).又当x∈[0,+∞)时,f(x)单调递增,且π>3>2,所以f(π)>f(3)>f(2),即f(π)>f(-3)>f(-2).，故选C.
6. 若，，，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为在上单调递减，所以，则；
又因为在上单调递增，所以，所以；则，故选：A.
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】因为，
所以，
当且仅当时，即取等号，
所以的最小值为.故选：A.
8. 若函数有两个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】对于A，令，即
则由函数有两个零点，
可知有两个根，
即函数的图象有2个交点，
作出函数的图象如图，
可知要使函数的图象有2个交点，需满足，
即，A错误；
对于B，由A的分析可知函数的图象有2个交点，
交点的横坐标即为，由于，结合图象可知，B错误；
对于C，D，由题意可知，
故，而，a的取值不确定，
但是的值必一正一负，
故，即，故，
C错误，D正确；
故选：D
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法中正确的有（ ）
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 函数的单调递减区间是.
【答案】ACD
【分析】举反例可判断A选项；由全称例题的否定是特称命题可判断B选项；由集合间的交集运算和集合间的关系可判断C选项；由集合非空和集合与元素间的关系可判断D选项.
【详解】解：对于A，当时，能推出， 而由 不能推出 ，如，而，
所以 “”是“”成立的充分不必要条件，故A正确；
对于B，命题：，均有，则命题的否定：，使得，故B不正确；
对于C，是两个数集，则由能推出，反之，由 能推出 ，
所以 “”是“”的充要条件，故C正确；
对于D，令，则， 在上递增，在上递减，而是增函数， 原函数的递减区间为，故答案为.故D正确，
故选：ACD.
10. 若函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有( )
A．0＜a＜1 B．a＞1
C．b＞0 D．b＜0
解析：BC 若0＜a＜1，则函数y＝ax－(b＋1)的图象必过第二象限，而函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，所以a＞1.当a＞1时，要使函数y＝ax－(b＋1)的图象过第一、三、四象限，则b＋1＞1，即b＞0.故选B、C．
11.若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)在定义域上单调递减，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ） ( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x
C．f(x)＝ D．f(x)＝
【解析】AD：根据f(x)＋f(－x)＝0得f(x)为奇函数，且在定义域内单调递减．f(x)＝－x是奇函数单调递减，故A正确．f(x)＝x是幂函数且为偶函数，故B错误．f(x)＝，在区间(－∞，0)和(0，＋∞)上单调递减，但不是单调递减函数，故C错误．由f(x)＝的大致图象可知D选项正确
12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上是增函数 D．的值域是
【答案】ACD
【解析】对于A中，函数，其定义域为，
则，即f(-x)=- f(x)，
所以函数为定义域上的奇函数，所以A正确；
对于B中，由，
可得，，所以不是偶函数，
所以B错误；
对于C中，由函数，
因为，可得为单调递增函数，则为增函数，
所以函数为单调递增函数，所以C正确；
对于D中，因为，可得，所以，则，
可得，即，所以D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数，则的值为___________.
【答案】
【解析】，，
，.故答案为：
14．已知幂函数在为减函数，则___________.
【答案】
【解析】为幂函数，所以，解得：或.
当时，为R上的增函数；当时，为R上的减函数.所以，所以.
15.若指数函数是R上的减函数，则的取值范围是__________．
【答案】
【解析】因为f(x)为减函数，所以，解得，填。
16.设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 .
【答案】
【解析】因为在区间上是严格减函数，而在上单调递增，
令，则在上单调递减，
又开口向上，对称轴为，所以，则.故答案为：.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17. （10分） 设全集，集合，集合．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
【答案】（1）；（2）
【解析】（1）因为，所以，所以，即，
所以实数a的取值范围是………. 5分
（2）命题“，则”是真命题，所以.当时，，解得；
当时，，解得，所以.
综上所述，实数a的取值范围是……. 10分
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）判断在，上的单调性．
【解析】（1）函数的定义域为；……..3分
（2）函数的定义域为关于原点对称，，
f(-x)不等于- f(x)函数既不是奇函数也不是偶函数．…………..7分
（3）任取，，，且，
则．
由于，，且，，，
所以，故在，上是单调递增函数……..12分
19. （12分）已知函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域和值域；
【答案】（1）1；（2）的定义域为；值域为；
【解析】（1）由题意知，函数的图象过点，可得，解得………………………………………………………………………….4分
（2）由（1）知，函数，∵，，即的定义域为………….8分
因为，
又∵，∴，所以的值域为．…………12分
20. （12分）已知幂函数过点(4，0.5)
（1）求f(x) 的解析式
（2）若f(a+1)【解析】（1）点 (4，0.5) 代入幂函数解析式，a=-,f(x)＝.......5分
（2）f(x)＝＝(x>0)，易知f(x)在(0，+∞)上为减函数，又f(a+1)∴解得∴321.（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
【解析】(1)根据题中材料和题图选择合适的函数模型
从题图看应选择先快后慢增长的函数模型，故选……..2分
（2）第三步把题图中的两点代入选好的模型中，得到函数解析式
将，代入解析式得到，即，
解得，，即.第四步：完善模型是否合适
当时，，
满足每天得分最高不超过6分的条件.
所以函数的解析式为………….7分
（3）由，，
得，得，
所以每天得分不少于4.5分，至少需要运动55分钟………….12分
22.（12分） 已知函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断在区间上的单调性，并证明;
(3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.
【解析】（1）∵是奇函数，
∴在其定义域内恒成立，
即，故，
∴恒成立，∴或1，
当时，，不满足真数大于0，舍去，
当时，令，此时或，
所以…………………………………………….4分
（2）当时，在上是减函数；当时，在上是增函数，理由如下：
由（1）得令，
则内函数在上为减函数，
而当时，外函数在上是增函数，
当时，外函数在上是减函数，
由复合函数内外函数“同增异减”的性质得：
∴当时，在上是减函数；当时，在上是增函数….8分
（3）对于上的每一个的值，不等式恒成立，
则在上恒成立，令，
由（2）知，时，在上是增函数，
又单调递减，故在上是单调递增函数，
故，
所以，即的取值范围是…………………….12分芝华中学2023-2024学年高一上学期期中考试数学试卷
本试卷共4页，22题．全卷满分150分．考试用时120分钟
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．设集合，，则（ ）
A． B． C． D．
2. 函数，（且）的图象必经过一个定点，则这个定点的坐标是（ ）
A． B． C． D．
3函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4. 设是定义在，上的奇函数，则
A． B．0 C．1 D．
5. 已知偶函数f(x)的定义域为R,当x∈[0,+∞)时,f(x)= ax (a>1),则f(-2),f(π),f(-3)的大小关系是( )
A.f(π)>f(-2)>f(-3) B. f(π)C f(π)>f(-3)>f(-2) D.f(π)6. 若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7. 已知，，且，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8. 若函数有两个零点，则下列说法中正确的是（ ）
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.下列说法中正确的有（ ）
A. “”是“”成立的充分不必要条件
B. 命题：，均有，则的否定：，使得
C. 设是两个数集，则“”是“”的充要条件
D. 函数的单调递减区间是.
9. 若函数y＝ax－(b＋1)(a＞0且a≠1)的图象过第一、三、四象限，则必有( )
A．0＜a＜1 B．a＞1
C．b＞0 D．b＜0
11.若函数f(x)同时满足①对于定义域上的任意x，恒有f(x)＋f(－x)＝0，②f(x)在定义域上单调递减，则称函数f(x)为“理想函数”．则下列四个函数中能被称为“理想函数”的有（ ） ( )
A．f(x)＝－x B．f(x)＝x
C．f(x)＝ D．f(x)＝
12高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如，，已知函数，则关于函数的叙述中正确的是（ ）
A．是奇函数 B．是偶函数
C．在上是增函数 D．的值域是
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13. 设函数，则的值为___________.
14．已知幂函数在为减函数，则___________.
15.若指数函数是R上的减函数，则的取值范围是__________．
16.设函数在区间上是严格减函数，则实数a的取值范围是 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤
17.（10分） 设全集，集合，集合．
（1）若，求实数a的取值范围；
（2）若命题“，则”是真命题，求实数a的取值范围．
18．（12分）已知函数．
（1）求函数的定义域；
（2）判断的奇偶性，并说明理由；
（3）判断在，上的单调性．
19. （12分）已知函数的图象经过点.
（1）求的值；
（2）求函数的定义域和值域；
20. （12分）已知幂函数过点(4，0.5)
（1）求f(x) 的解析式
（2）若f(a+1)21.（12分）学校鼓励学生课余时间积极参加体育锻炼，现需要制定一个课余锻炼考核评分制度，建立一个每天得分y与当天锻炼时间x（单位：分钟）的函数关系，要求如下：（1）函数的图象接近图示；（2）每天运动时间为0分钟时，当天得分为0分；（3）每天运动时间为30分钟时，当天得分为3分；（4）每天最多得分不超过6分.现有以下三个函数模型供选择：①；②；③.
(1)请根据函数图像性质你从中选择一个合适的函数模型不需要说明理由；
(2)根据你对（1）的判断以及所给信息完善你的模型并给出函数的解析式；
(3)已知学校要求每天的分数不少于4.5分，求每天至少运动多少分钟（结果保留整数）.
22.（12分） 已知函数是奇函数.
(1)求的值;
(2)判断在区间上的单调性，并证明;
(3)当时，若对于上的每一个的值，不等式恒成立，求实数的取值范围.