青岛版数学八年级上册2.6 等腰三角形 第3课时 课件(共15张PPT)

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第二章 图形的轴对称
2.6 等腰三角形
第3课时
1.掌握等边三角形的性质与判定（重点）
2.能运用等边三角形的性质与判定解决相关问题
在等腰三角形中，有一种特殊的情况，就是底与腰相等，这时三角形三边相等，我们把三条边都相等的三角形叫做等边三角形，也叫正三角形.
思考：把等腰三角形的性质用于等边三角形，能得到什么结论？
由等腰三角形的性质两个底角相等，我们可以推测等边三角形三个角都相等.
（一）等边三角形的性质
已知：△ABC中，AB＝AC＝BC，试说明：∠A＝∠B＝∠C＝60°.
A
B
C
解：因为AB＝AC，(已知)
因为∠A+∠B+∠C＝180°，(三角形内角和为180°)
所以∠A＝∠B＝∠C＝ ＝60°.
所以∠C＝∠B，(等边对等角)
同理 ∠A＝∠B，
所以∠A＝∠B＝∠C，
结论：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
等腰三角形有“三线合一”的性质，等边三角形有“三线合一”的性质吗？
等边三角形是特殊的等腰三角形，三条边的长度相等，故而等腰三角形“三线合一”的性质在等边三角形中适用，且“三线合一”的性质对每条边都适用，
所以等边三角形“三线合一”的性质可以进一步表述为：
每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合.
同理，等边三角形有3条对称轴.
解：因为△ABC是等边三角形，BD是中线，
所以∠CDE=∠CED，
所以∠CDE=∠CED= ∠BCD=30°，
例1.如图，△ABC是等边三角形，BD是中线，延长BC至E，CE=CD，试说明：DB=DE．
所以∠ABC=∠ACB=60°,∠DBC=30°.
又因为CE=CD，
又因为∠BCD=∠CDE+∠CED，
所以∠DBC=∠DEC．
所以DB=DE（等角对等边）.
1.如图，△ABC是等边三角形，AD为中线，AD=AE，E在AC上，求∠EDC的度数．
解：因为△ABC是等边三角形，
所以∠C=60°.
因为AD是中线，
所以∠ADC=90°, ∠DAC=30 °，
因为AD=AE，
所以∠ADE=(180 °- ∠DAC) ÷2 =(180°-30°) ÷2=75°.
所以∠EDC=90 °- ∠ADE=90°-75°=15°.
A
B
C
已知：△ABC中，∠A＝∠B＝∠C ＝ 60°，求证：AB＝AC=BC.
所以AC＝BC,(等边对等角)
解：因为∠A＝∠B，(已知)
同理 AB＝AC，
所以AB＝BC＝AC，
所以△ABC是等边三角形.
结论：三个角都相等的三角形是等边三角形.
一个三角形的三个内角满足什么条件才是等边三角形？
①三条边相等的三角形是等边三角形，那三个角都相等的三角形是等边三角形吗？
（二）等边三角形的判定
②有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形吗？
已知：等腰三角形ABC中，存在一个角为60°，试说明：△ABC是等边三角形.
A
B
C
解：当60°角为底角时，
因为等腰三角形两个底角相等，
所以三角形的顶角为180°-60°×2=60°，
所以该三角形是等边三角形（三个角都相等的三角形是等边三角形），
同理:当60°角是顶角时，三个内角相等均为60°，
所以有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
性质1：等边三角形的三个内角都相等，并且每一个角都等于60°.
判定1：三个角都相等的三角形是等边三角形.
归纳：
性质2：等边三角形每一边上的中线、高和这一边所对的角的平分线互相重合.
判定2：有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形.
性质3：等边三角形有3条对称轴.
例2.如图,在等边三角形ABC中，DE∥BC，试说明：△ADE是等边三角形.
分析：结合平行线的性质，说明三个角相等即可说明三角形为等边三角形.
A
C
B
D
E
解：
因为△ABC是等边三角形，
所以∠A=∠B=∠C.
因为DE//BC,
所以∠ADE=∠B, ∠AED=∠C.
所以∠A=∠ADE=∠AED.
所以△ADE是等边三角形.
2.已知：如图，△ABO是等边三角形，CD∥AB，分别交AO、BO的延长线于点C、D．试说明：△OCD是等边三角形．
解：因为△ABO是等边三角形，
所以∠A=∠B=∠AOB=60°，
因为AB∥CD，
所以∠C=∠A=60°，∠D=∠B=60°，
因为∠COD=∠AOB=60°，
所以∠C=∠D=∠COD，
所以△OCD是等边三角形．
例3.如图，△ABC是等边三角形，AD是高，并且AB恰好是DE的垂直平分线，试说明：△ADE是等边三角形.
解：因为AB是DE的垂直平分线，
所以AE=AD，
所以△ADE是等腰三角形，
因为AB⊥DE，
所以∠ADE=90°-∠BAD，
因为AD⊥BD，
所以∠B=90°-∠BAD，
所以∠ADE=∠B=60°，
所以△ADE是等边三角形．
（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
3.已知：如图，AB=BC，∠CDE=120°，DF∥BA，且DF平分∠CDE，试说明：△ABC是等边三角形.
因为DF∥BA，
所以∠ABC=∠CDF=60°，
因为AB=BC，
所以△ABC是等边三角形．（有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形）
解：因为DF平分∠CDE，∠CDE=120°，
所以∠CDF=∠EDF=60°，
等边三角形的性质
等边三角形的判定