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第二章 图形的轴对称
2.6 等腰三角形
第1课时
1.掌握等腰三角形的性质并能简单应用(重点)
2.能根据之前所学的基本作图用尺规作出等腰三角形
有两条边相等的三角形是等腰三角形.
等腰三角形中,相等的两边都叫做腰,
另一边叫做底边,
两腰的夹角叫做顶角,
腰和底边的夹角叫做底角.
A
B
C
腰
腰
底边
底角
底角
顶角
复习回顾:
(一)等腰三角形的性质1
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线;
∠B=∠C,等腰三角形的两底角相等.
性质1:等腰三角形的两底角相等,简称“等边对等角”.
例1.如图,在△ABC中,AB = AC,点D在AC上,且BD=BC=AD.求△ABC各角的度数.
解:AB=AC,BD =BC =AD,
所以∠ABC=∠C =∠BDC,
∠A=∠ABD(等边对等角).
设∠A=x,
则∠BDC=∠A +∠ABD=2x,
从而∠ABC=∠C=∠BDC=2x.
于是在△ABC中,有:∠A+∠ABC+∠C=x+2x+2x=180°,
解得x=36°,
所以在△ABC中,∠A=36°,∠ABC=∠C=72°.
1.如图,在△ABC中,AC=AD=DB,∠C=70°,则∠CAB的度数为( )
A.75° B.70°
C.40° D.35°
A
2.如图,以△ABC的顶点B为圆心,BA长为半径画弧,交BC边于点D,连接AD.若∠B=40°,∠C=36°,则∠DAC的大小为_______°.
34
分析:根据三角形的内角和得出
∠BAC=180°-∠B-∠C=104°,
根据等腰三角形两底角相等得出
∠BAD=∠ADB=(180°-∠B)÷2=70°,
进而根据角的和差得出∠DAC=∠BAC-∠BAD=34°.
(二)等腰三角形的性质2
∠BAD=∠CAD,AD为顶角平分线
∠ADB=∠ADC=90°,AD为底边上的高线
BD=CD,AD为底边上的中线
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
性质2:等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,简称“三线合一”.
例2.如图,△ABC中,AB=AC,AD是BC边上的中线,CE⊥AB于点E.试说明:∠CAD=∠BCE.
解:因为AB=AC,BD=CD(已知),
所以∠B=∠ACB(等边对等角),AD⊥BC(“三线合一”),
又因为CE⊥AB(已知),
所以∠CAD+∠ACB=90°,∠BCE+∠B=90° (直角三角形的两个锐角互余).
所以∠CAD=∠BCE(等角的余角相等).
技巧:利用等腰三角形“三线合一”的性质,将底边中线,底边的高和顶角平分线相互转化.
典型例题
当堂检测
学习目标
课堂总结
概念剖析
3.如图,在△ABC中,点D在BC边上,BD=AD=AC,E为CD的中点.若∠B=35°,求∠CAE的度数.
解:因为BD=AD,∠B=35°,
所以∠B=∠BAD=35°(等边对等角),
所以∠ADC=2∠B=70°,
因为AD=AC,点E是CD中点,
所以AE⊥CD,∠C=∠ADC = 70°,
所以∠CAE=90°–70°=20°.
4.在△ABC中,AB=AC,M是边BC的中点,BD平分∠ABC,交AM于E,交AC于D,若∠AED=64°,求∠BAC的度数的大小.
解:因为AB=AC,M是边BC的中点,
所以∠AMB=90°,∠BAM=∠CAM,
因为∠BEM=∠AED=64°,所以∠EBM=26°,
因为BD平分∠ABC,
所以∠ABC=2∠EBM=52°,
所以∠BAM=90°-∠ABM=38°,
所以∠BAC=2∠BAM=76°.
注意:等腰三角形中,仅限顶角的角平分线可以利用“三线合一”的性质进行转换.
例3.如图,已知线段a,h;
求作:△ABC,使AC=BC,且AB=a,高CD=h.
a
h
D
解:第一步:作线段AB=a;
A
B
第二步:作线段AB的垂直平分线EF,交AB于点D;
第三步:在EF上截取DC=h;
第四步:连接AC,BC,△ABC即为所求作的等腰三角形.
E
F
C
解:作直线l在其上取点D,作l′⊥l于D,
在l′上截取AD=a,
然后以点A为圆心,b为半径画弧交l于B、C两点,
连接AB,AC所作出的△ABC满足条件.
5.如图,已知线段a,b,求作等腰三角形,使底边高为a,腰长为b.(a<b,尺规作图,保留作图痕迹).
a
b
l
l′
D
A
C
B
·
·
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高相互重合(“三线合一”)
等腰三角形的两个底角相等(“等边对等角”)
等腰三角形的性质
等腰三角形是轴对称图形,对称轴是底边的垂直平分线