正方形的性质与判定试卷
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2014 福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【 】
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A．45° B．55° C．60° D．75°
2．（2014 宜宾）如图，将n个边长 ( http: / / www.21cnjy.com )都为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是【 】
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A．n B． C． D．
3．（2014 淄博）如图，ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D是正方形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是【 】
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A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙
4．（2014 安徽）如图，正方形ABCD的对角线BD长为，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为【 】
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A、1 B、2 C、3 D、4
5．（2014 郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是【 】
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
6．（2014 雅安）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为【 】
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A． B． C． D．
7．（2014 吉林）如图，四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为【 】
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A．1 B．2 C．3 D．
8．（2014 本溪）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（），则k的值为【 】
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A. B. C. D.
9．（2014 株洲）已知四边形ABC ( http: / / www.21cnjy.com )D是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是【 】
A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④
10．（2014 来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是【 】
A． B． C． D．
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2014 齐齐哈尔、大兴安 ( http: / / www.21cnjy.com )岭地区、黑河）已知正方形ABCD的边长为2cm，以CD为边作等边三角形CDE，则△ABE的面积为 ▲ cm2．
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12．（2014 鄂州）如图，正方形 ( http: / / www.21cnjy.com )ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 ▲ ．
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13．（2014 盐城）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ▲ ．（用含n的代数式表示，n为正整数）
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14．（2014 苏州）已知正方形ABCD的对角线AC＝，则正方形ABCD的周长为 ▲ ．
15．（2014 哈尔滨 ( http: / / www.21cnjy.com )）如图，在正方形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为 ▲ ．
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16．（2014 盘锦）如图，在平 ( http: / / www.21cnjy.com )面直角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是 ▲ ．
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17．（2014 西宁）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB= ▲ ．
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18.（2013 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 ▲ （把你认为正确的都填上）．
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19．（2013 烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 ▲ ．
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20．（2013 武汉） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，E，F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ▲ ．
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
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22．（2014 济宁）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）．
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23．（2014 日照）如图，在正 ( http: / / www.21cnjy.com )方形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
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24．（2014 菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =450，连结MN.
（1）若正方形的边长为a，求BM·DN的值；
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
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25．（2014 十堰）如图，点B（3，3）在双曲线（x＞0）上，点D在双曲线（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．
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26．（2014 襄阳）如图，在 ( http: / / www.21cnjy.com )正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的与线段CG所围成的阴影部分的面积．
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一、选择题（共10小题，每题2分）
1．（2014 福州）如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE. AC，BE相交于点F，则∠BFC为【 】
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A．45° B．55° C．60° D．75°
【答案】C．
【考点】1.正方形和等边三角形的性质；2.三角形内角和定理.
【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB= AD，∠ABC=∠BAD=90°，∠BAC=∠BCA=45°．
∵△ADE是等边三角形，∴AE=AD，∠BCA=45°．∴∠BCE=135°，AB=AD.
∴∠ABE=15°．∴∠CBF=75°．∴∠BFC=60°．
故选C．
2．（2014 宜宾）如图，将n个边长都 ( http: / / www.21cnjy.com )为2的正方形按如图所示摆放，点A1，A2，…An分别是正方形的中心，则这n个正方形重叠部分的面积之和是【 】
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A．n B． C． D．
【答案】B．
【考点】1.探索规律题（图形的变化类）；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.转换思想的应用.
【分析】如答图，连接A1B，A1C，
∵A1，A2分别是正方形的中心，
∴，
∴△A1BD≌△A1CE（AAS）.∴.
∴.
∴一个阴影部分（2个正方形重叠）面积等于1，2个阴影部分（3个正方形重叠）面积等于2，
3个阴影部分（4个正方形重叠）面积等于3，…，n﹣1个阴影部分（n个正方形重叠）面积等于n﹣1.
故选B．
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3．（2014 淄博）如图，ABCD是正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形场地，点E在DC的延长线上，AE与BC相交于点F．有甲、乙、丙三名同学同时从点A出发，甲沿着A﹣B﹣F﹣C的路径行走至C，乙沿着A﹣F﹣E﹣C﹣D的路径行走至D，丙沿着A﹣F﹣C﹣D的路径行走至D．若三名同学行走的速度都相同，则他们到达各自的目的地的先后顺序（由先至后）是【 】
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A. 甲乙丙 B. 甲丙乙 C. 乙丙甲 D. 丙甲乙
【答案】B．
【考点】1．正方形的性质；2．三角形边角关系．
【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=BC=CD=AD，∠B=90°．
甲行走的距离是AB+BF+CF=AB+BC=2AB；
乙行走的距离是AF+EF+EC+CD；
丙行走的距离是AF+FC+CD．
∵∠B=∠ECF=90°，∴AF＞AB，EF＞CF，
∴AF+FC+CD＞2AB，AF+FC+CD＜AF+EF+EC+CD．
∴甲比丙先到，丙比乙先到，即顺序是甲丙乙．
故选B．
4．（2014 安徽）如图，正方形ABCD的对角线BD长为，若直线l满足：（1）点D到直线l的距离为，（2）A、C两点到直线l的距离相等，则符合题意的直线l的条数为【 】
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A、1 B、2 C、3 D、4
【答案】B．
【考点】1.正方形的性质；2.分类思想的应用．
【分析】连接AC与BD相交于O，根据正方形的性质求出OD=，然后根据点到直线的距离和平行线间的距离相等解答：
如图，连接AC与BD相交于O，
∵正方形ABCD的对角线BD长为，∴OD=.
∴直线l∥AC并且到D的距离为.
同理，在点D的另一侧还有一条直线满足条件，
故共有2条直线l．
故选B．
5．（2014 郴州）平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的是【 】
A. 对角线互相平分 B. 对角线互相垂直 C. 对角线相等 D. 对角线互相垂直且相等
【答案】A．
【考点】平行四边形、矩形、菱形、正方形的性质．
【分析】依据平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有对角线相互平分的性质来判断：
A、对角线相等是平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质；
B、对角线互相垂直是菱形、正方形具有的性质；
C、对角线相等是矩形和正方形具有的性质；
D、对角线互相垂直且相等是正方形具有的性质．
故选A．
6．（2014 雅安）如图，ABCD为正方形，O为AC、BD的交点，△DCE为Rt△，∠CED=90°，∠DCE=30°，若OE=，则正方形的面积为【 】
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A． B． C． D．
【答案】B．
【考点】1.正方形的判定和性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.含30度直角三角形的性质；5.待定系数法的应用．
【分析】如答图，过点O作OM⊥CE于M，作ON⊥DE交ED的延长线于N，
∵∠CED=90°，∴四边形OMEN是矩形. ∴∠MON=90°.
∵∠COM+∠DOM=∠DON+∠DOM，∴∠COM=∠DON.
∵四边形ABCD是正方形，∴OC=OD.
在△COM和△DON中，∵，
∴△COM≌△DON（AAS）.∴OM=ON.
∴四边形OMEN是正方形.
设正方形ABCD的边长为2a，则OC=OD=×2a=a.
∵∠CED=90°，∠DCE=30°，∴DE=CD=a.
由勾股定理得，得，
∴四边形OCED的面积=a，解得a2=1.
∴正方形ABCD的面积=．
故选B．
7．（2014 吉林）如图，四边形ABCD ( http: / / www.21cnjy.com )，AEFG都是正方形，点E，G分别在AB，AD上，连接FC，过点E作EH∥FC交BC于点H．若AB=4，AE=1，则BH的长为【 】
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A．1 B．2 C．3 D．
【答案】C.
【考点】1.正方形的性质；2. 平行四边形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质.
【分析】∵AB=4，AE=1，∴BE=AB﹣AE=4﹣1=3.
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AD∥EF∥BC.
又∵EH∥FC，∴四边形EFCH平行四边形. ∴EF=CH.
∵四边形ABCD，AEFG都是正方形，∴AB=BC，AE=EF.
∴AB﹣AE=BC﹣CH.
∵AB=4，AE=1，∴BE=BH=3．
故选C．
8．（2014 本溪）如图，边长为2的正方形ABCD的顶点A在y轴上，顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，已知点B的坐标是（），则k的值为【 】
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A. B. C. D.
【答案】C．
【考点】1.正方形的性质；2反比例函数图象上点的坐标特征；3.全等三角形的判定和性质；4.勾股定理．
【分析】如答图，过点B作BE⊥y轴于E，过点D作DF⊥y轴于F，
在正方形ABCD中，AB=AD，∠BAD=90°，∴∠BAE+∠DAF=90°．
∵∠DAF+∠ADF=90°，∴∠BAE=∠ADF．
在△ABE和△DAF中，∵∠BAE=∠ADF，∠AEB=∠DFA，AB=AD，
∴△ABE≌△DAF（AAS）．∴AF=BE，DF=AE．
∵正方形的边长为2，B（），∴BE=，AE=．
∴OF=OE+AE+AF=．∴点D的坐标为（，5）．
∵顶点D在反比例函数（x＞0）的图象上，∴k=xy=×5=8．
故选C．
9．（2014 株洲）已知 ( http: / / www.21cnjy.com )四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，现有下列四种选法，其中错误的是【 】
A. 选①② B. 选②③ C. 选①③ D. 选②④
【答案】B．
【考点】正方形的判定.
【分析】要判定是正方形，则需能判定它既是菱形又是矩形．因此，
A、由①得有一组邻边相等的平行四边形是 ( http: / / www.21cnjy.com )菱形，由②得有一个角是直角的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
B、由②得有一个角是直角的平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形是矩形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以不能得出平行四边形ABCD是正方形，错误，故本选项符合题意；
C、由①得有一组邻边相等的平行四边形是菱形，由③得对角线相等的平行四边形是矩形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意；
D、由②得有一个角是直角的平行四边 ( http: / / www.21cnjy.com )形是矩形，由④得对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以平行四边形ABCD是正方形，正确，故本选项不符合题意．
故选B．
10．（2014 来宾）正方形的一条对角线长为4，则这个正方形的面积是【 】
A． B． C． D．
【答案】A．
【考点】正方形的性质．
【分析】根据正方形的面积等于对角线乘积的一半列式计算即可得解：
∵正方形的一条对角线长为4，∴这个正方形的面积=×4×4=8．
故选A．
二、填空题（共10小题，每题2分）
11．（2014 齐齐哈尔、大兴安岭地区、黑 ( http: / / www.21cnjy.com )河）已知正方形ABCD的边长为2cm，以CD为边作等边三角形CDE，则△ABE的面积为 ▲ cm2．
【答案】或．
【考点】1.正方形的性质；2.等边三角形的性质；3.分类思想的应用．
【分析】如答图，
∵△CDE是等边三角形，∴点E到CD的距离为cm，
若点E在CD边的左侧，则点E到AB的距离= cm，△ABE的面积=cm2．
若点E在CD边的右侧，则点E到AB的距离= cm，△ABE的面积=cm2．
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12．（2014 鄂州）如 ( http: / / www.21cnjy.com )图，正方形ABCD的边长是1，点M，N分别在BC，CD上，使得△CMN的周长为2，则△MAN的面积最小值为 ▲ ．
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【答案】﹣1．
【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．二次函数的最值．
【分析】如答图，延长CB至L，使BL=DN，则Rt△ABL≌Rt△AND，故AL=AN．
∴△AMN≌△AML．∴∠MAN=∠MAL=45°．
设CM=x，CN=y，MN=z，则x2+y2=z2．
∵x+y+z=2，则x=2﹣y﹣z．∴（2﹣y﹣z）2+y2=z2．
整理得2y2+（2z﹣4）y+（4﹣4z）=0，
∴△=4（z﹣2）2﹣32（1﹣z）≥0，即（z+2+2）（z+2﹣2）≥0，
又∵z＞0，
∴z≥2﹣2，当且仅当x=y=2﹣时等号成立．
此时S△AMN=S△AML=ML AB=z．
因此，当z=2﹣2，x=y=2﹣时，S△AMN取到最小值为﹣1．
13．（2014 盐城） ( http: / / www.21cnjy.com )如图，在平面直角坐标系中，边长不等的正方形依次排列，每个正方形都有一个顶点落在函数y=x的图象上，从左向右第3个正方形中的一个顶点A的坐标为（8，4），阴影三角形部分的面积从左向右依次记为S1、S2、S3、…、Sn，则Sn的值为 ▲ ．（用含n的代数式表示，n为正整数）
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【答案】24n﹣5．
【考点】1.探索规律题（图形的变化）；2. 正方形的性质；3. 等腰直角三角形的性质；4.一次函数图象上点的坐标特征．
【分析】∵函数y=x与x轴的夹角为45°，
∴直线y=x与正方形的边围成的三角形是等腰直角三角形.
∵A（8，4），
∴第四个正方形的边长为8，
第三个正方形的边长为4，
第二个正方形的边长为2，
第一个正方形的边长为1，
…，
第n个正方形的边长为2n﹣1.
由图可知，S1=×1×1+×（1+2）×2﹣×（1+2）×2=，
S2=×4×4+×（2+4）×4﹣×（2+4）×4=8，
…，
Sn为第2n与第2n﹣1个正方形中的阴影部分，
第2n个正方形的边长为22n﹣1，第2n﹣1个正方形的边长为22n﹣2，
∴Sn= 22n﹣2 22n﹣2=24n﹣5．
14．（2014 苏州）已知正方形ABCD的对角线AC＝，则正方形ABCD的周长为 ▲ ．
【答案】4.
【考点】1.正方形的性质；2. 锐角三角函数定义；3.特殊角的三角函数值.
【分析】根据锐角三角函数可计算正方形的边长=，
∵正方形四边相等，∴正方形的周长为1×4=4.
15．（2014 哈尔滨）如图，在正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，AC为对角线，点E在AB边上，EF⊥AC于点F，连接EC，AF=3，△EFC的周长为12，则EC的长为 ▲ ．
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【答案】5.
【考点】1.正方形的性质；2. 等腰直角三角形的判定和性质；3.勾股定理；4.方程思想的应用．
【分析】∵四边形ABCD是正方形，AC为对角线，∴∠EAF=45°.
又∵EF⊥AC，∴∠AFE=90°，∠AEF=45°.
∵AF=3，∴EF=AF=3.
∵△EFC的周长为12，∴FC=12﹣3﹣EC=9﹣EC.
在Rt△EFC中，EC2=EF2+FC2，∴EC2=9+（9﹣EC）2，解得EC=5．
16．（2014 盘锦）如图，在平面直 ( http: / / www.21cnjy.com )角坐标系中，点A和点B分别在x轴和y轴的正半轴上，OA=OB=a，以线段AB为边在第一象限作正方形ABCD，CD的延长线交x轴于点E，再以CE为边作第二个正方形ECGF，…，依此方法作下去，则第n个正方形的边长是 ▲ ．
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【答案】a 2n﹣1．
【考点】1.探索规律题（图形的变化类）2. 正方形的性质；3. 等腰直角三角形的判定和性质；4.坐标与图形性质．
【分析】∵OA=OB，∴△AOB是等腰直角三角形，∴第一个正方形的边长AB=a，∠OAB=45°，
∴∠DAE=180°﹣45°﹣90°=45°，∴△ADE是等腰直角三角形，∴AD=DE，
∴第二个正方形的边长CE=CD+DE=2AB，
…，
后一个正方形的边长等于前一个正方形的边长的2倍，
所以，第n个正方形的边长=2n﹣1AB=a 2n﹣1．
17．（2014 西宁）如图，点G是正方形ABCD对角线CA的延长线上任意一点，以线段AG为边作一个正方形AEFG，线段EB和GD相交于点H．若AB=，AG=1，则EB= ▲ ．
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【答案】．
【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．勾股定理．
【分析】如答图，连接BD交AC于O，
∵四边形ABCD、AGFE是正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠DAB=∠EAG．∴∠EAB=∠GAD．
在△AEB和△AGD中，∵AE=AG，∠EAB=∠GAD，AB=AD，
∴△EAB≌△GAD（SAS）．∴EB=GD．
∵四边形ABCD是正方形，AB=，
∴BD⊥AC，AC=BD=AB=2．∴∠DOG=90°，OA=OD=BD=1．
∵AG=1，∴OG=OA+AG=2．∴GD=．
∴EB=．
18.（2013 德州）如图，在正方形ABCD中，边长为2的等边三角形AEF的顶点E、F分别在BC和CD上，下列结论：
①CE=CF；②∠AEB=75°；③BE+DF=EF；④S正方形ABCD=．
其中正确的序号是 ▲ （把你认为正确的都填上）．
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【答案】①②④。
【考点】正方形的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，线段垂直平分线的性质，勾股定理，二次根式化简。
【分析】∵四边形ABCD是正方形，∴AB=AD。
∵△AEF是等边三角形，∴AE=AF。
∵在Rt△ABE和Rt△ADF中，AB=AD，AE=AF，∴Rt△ABE≌Rt△ADF（HL）。∴BE=DF。
∵BC=DC，∴BC﹣BE=CD﹣DF。∴CE=CF。∴①说法正确。
∵CE=CF，∴△ECF是等腰直角三角形。∴∠CEF=45°。
∵∠AEF=60°，∴∠AEB=75°。∴②说法正确。
如图，连接AC，交EF于G点，
∴AC⊥EF，且AC平分EF。
∵∠CAD≠∠DAF，∴DF≠FG。
∴BE+DF≠EF。∴③说法错误。
∵EF=2，∴CE=CF=。
设正方形的边长为a，在Rt△ADF中，，解得，
∴。
∴。∴④说法正确。
综上所述，正确的序号是①②④。
19．（2013 烟台）如图，正方形ABCD的边长为4，点E在BC上，四边形EFGB也是正方形，以B为圆心，BA长为半径画，连结AF，CF，则图中阴影部分面积为 ▲ ．
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【答案】。
【考点】正方形的性质，相似三角形的判定和性质，三角形和扇形的面积计算，整体和转换思想的应用。
【分析】如图，设BC与AF相交于点N，设BN=x，EN=y，
∵根据正方形的性质可得EF∥AB，∴△ABN∽△FEN。
∴，即。∴，即。
又∵，
，
∴。
∴阴影部分的面积等于以AB为半径的圆的面积的四分之一。
∴阴影部分的面积=。
20．（2013 武汉）如图，E， ( http: / / www.21cnjy.com )F是正方形ABCD的边AD上两个动点，满足AE＝DF．连接CF交BD于G，连接BE交AG于点H．若正方形的边长为2，则线段DH长度的最小值是 ▲ ．
【答案】。
【考点】双动点问题，正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边上的中线的性质，勾股定理，三角形的三边关系。
【分析】在正方形ABCD中，AB=AD=CD，∠BAD=∠CDA，∠ADG=∠CDG，
在△ABE和△DCF中，，∴△ABE≌△DCF（SAS）。
∴∠1=∠2。
在△ADG和△CDG中，，∴△ADG≌△CDG（SAS）。
∴∠2=∠3。∴∠1=∠3。
∵∠BAH+∠3=∠BAD=90°，∴∠1+∠BAH=90°。
∴∠AHB=180°－90°=90°。
如图，取AB的中点O，连接OH、OD，
则根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，得OH=AO=AB=1。
在Rt△AOD中，，
根据三角形的三边关系，OH+DH＞OD，∴当O、D、H三点共线时，DH的长度最小。
最小值=。
三、解答题（共6小题，每题10分）
21．（2014 梅州）如图，在正方形ABCD中，E是AB上一点，F是AD延长线上一点，且DF=BE.
（1）求证：CE=CF；
（2）若点G在AD上，且∠GCE=45°，则GE=BE+GD成立吗？为什么？
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【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，∵BC=CD，∠B=∠CDF，BE=DF，
∴△CBE≌△CDF（SAS）．∴CE=CF．
（2）GE=BE+GD成立．理由是：
∵由（1）得：△CBE≌△CDF，∴∠BCE=∠DCF.
∴∠BCE+∠ECD=∠DCF+∠ECD，即∠ECF=∠BCD=90°.
又∵∠GCE=45°，∴∠GCF=∠GCE=45°．
∵CE=CF，∠GCE=∠GCF，GC=GC，∴△ECG≌△FCG（SAS）．
∴GE=GF．
∴GE=DF+GD=BE+GD．
【考点】1.正方形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.等腰直角三角形的性质．
【分析】（1）由DF=BE，四边形ABCD为正方形可证△CEB≌△CFD，从而证出CE=CF．
（2）由（1）得，CE=CF，∠BCE+ ( http: / / www.21cnjy.com )∠ECD=∠DCF+∠ECD即∠ECF=∠BCD=90°，又∠GCE=45°所以可得∠GCE=∠GCF，故可证得△ECG≌△FCG，即EG=FG=GD+DF．又因为DF=BE，所以可证出GE=BE+GD成立．
22．（2014 济宁）如图，正方形AEFG的顶点E、G在正方形ABCD的边AB、AD上，连接BF、DF．
（1）求证：BF=DF；
（2）连接CF，请直接写出BE：CF的值（不必写出计算过程）．
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【答案】解：（1）证明：∵四边形ABCD和AEFG都是正方形，
∴AB=AD，AE=AG=EF=FG，∠BEF=∠DGF=90°，
∴BE=AB﹣AE，DG=AD﹣AG，∴BE=DG，
在△BEF和△DGF中，∵BE=DG，∠BEF=∠DGF，EF=GF，
∴△BEF≌△DGF（SAS），∴BF=DF；
（2）BE：CF=．
【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定与性质；3．平行线分线段成比例的性质．
【分析】（1）根据正方形的性质得出BE=DG，再利用△BEF≌△DGF求得BF=DF，
（2）由BF=DF得点F在对角线AC上，再运用平行线间线段的比求解：
如答图，连接AF，
∵BF=DF，∴点F在对角线AC上
∵AD∥EF∥BC
∴BE：AE = CF：AF，即BE：CF=AE：AF=AE：AE=．
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23．（2014 日照）如图，在正方 ( http: / / www.21cnjy.com )形ABCD中，边长AB=3，点E（与B，C不重合）是BC边上任意一点，把EA绕点E顺时针方向旋转90°到EF，连接CF．
（1）求证：CF是正方形ABCD的外角平分线；
（2）当∠BAE=30°时，求CF的长．
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【答案】解：（1）证明：如答图，过点F作FG⊥BC于点G．
∵∠AEF=∠B=∠90°，∴∠1=∠2．
在△ABE和△EGF中，∵∠1=∠2，∠B =∠AEF，AE=EF，
∴△ABE≌△EGF（AAS）．∴AB=EG，BE=FG．
又∵AB=BC，∴BE=CG，∴FG=CG．
∴∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG．
∴CF是正方形ABCD外角的平分线．
（2）∵在Rt△ABE中，AB=3，∠BAE=30°，∠tan30°=，
∴BE=AB tan30°=．
∴CG=FG=BE=．
∵在Rt△CFG中，cos45°=，∴CF=．
【考点】1．正方形的性质；2．全等三角形的判定和性质；3．等腰直角三角形的判定和性质；4．锐角三角函数定义；5．特殊角的三角函数值．
【分析】（1）过点F作FG⊥BC于点G ( http: / / www.21cnjy.com )，易证△ABE≌△EGF，所以可得到AB=EG，BE=FG，由此可得到∠FCG=∠45°，即CF平分∠DCG，所以CF是正方形ABCD外角的平分线．
（2）首先可求出BE的长，即FG的长，再在Rt△CFG中，利用cos45°即可求出CF的长．
24．（2014 菏泽）已知：如图，正方形ABCD，BM，DN分别平分正方形的两个外角，且满足∠MAN =450，连结MN.
（1）若正方形的边长为a，求BM·DN的值；
（2）若以BM，DN，MN为三边围成三角形，试猜想三角形的形状，并证明你的结论．
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【答案】解：（1）∵BM、DN分别平分正方形的外角，∴∠CBM= ∠CDN =45°．∴∠ABM= ∠ADN= 135°.
∵∠MAN =45°，∴∠BAM+∠NAD =45°．
在△ABM中，，∴∠NAD=∠AMB.
在△ABM和△NDA中，∵∠ABM=∠NDA, ∠NAD=∠AMB，∴△ABM∽△NDA．
∴. ∴BM·DN=AB·AD=a2 .
（2）以BM、DN、MN所组成三角形为直角三角形，证明如下：
如答图，过点A作AN⊥AF于点AF，且AF =AN，连接BF、FM..
∵∠1+∠BAN= 90° ，∠3+∠BAN= 90°，∴∠l=∠3.
在△ABF和△AND中，∵AB =AD，∠l=∠3，AF =AN
∴△ABF≌△AND（SAS）.
∴BF= DN，∠FBA=∠NDA =1350.
∵∠FAN= 900，∠MAN =450，
∴∠1+∠2 =450=∠FAM=∠MAN .
在△AFM和△ANM中，
∵AF =AN，∠FAM=∠LMAN，AM=AM，
∴△AFM≌△ANM（SAS）.∴FM=NM．
∴∠FBP =1800一∠FBA=1800—1350=450．
∴∠FBP+∠PBM=450+450=900．∴△FBM为直角三角形.
∵FB=DN，FM=MN，
∴以BM、DN、MN为三边的三角形为直角三角形．
【考点】1.探究型问题；2.正方形的性质；3.全等三角形的判定和性质；4.相似三角形的判定和性质.
【分析】（1）根据角平分线的定 ( http: / / www.21cnjy.com )义求出∠CBM=∠CDN=45°，再求出∠ABM=∠ADN=135°，然后根据正方形的每一个角都是90°求出∠BAM+∠NAD=45°，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和∠BAM+∠AMB=45°，从而得到∠NAD=∠AMB，再求出△ABM和△NDA相似，利用相似三角形对应边成比例列式求解即可.
（2）过点A作AF⊥AN并截取AF=A ( http: / / www.21cnjy.com )N，连接BF、FM，根据同角的余角相等求出∠1=∠3，然后利用“边角边”证明△ABF和△AND全等，根据全等三角形对应边相等可得BF=DN，∠FBA=∠NDA=135°，再求出∠FAM=∠MAN=45°，然后利用“边角边”证明△AFM和△ANM全等，根据全等三角形对应边相等可得FM=NM，再求出△FBM是直角三角形，然后由FB=DN，FM=MN即可得出判断．
25．（2014 十堰）如图，点B（3，3）在双曲线（x＞0）上，点D在双曲线（x＜0）上，点A和点C分别在x轴，y轴的正半轴上，且点A，B，C，D构成的四边形为正方形．
（1）求k的值；
（2）求点A的坐标．
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【答案】解：（1）∵点B（3，3）在双曲线上，
∴k=3×3=9.
（2）如答图，过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x轴于N，
∵B（3，3），∴BN=ON=3.
设MD=a，OM=b，
∵D在双曲线（x＜0）上，∴﹣ab=﹣4，即ab=4.
∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB=90°，AD=AB.
又∵∠DMA=∠ANB=90°，∴∠MDA+∠DAM=90°，∠DAM+∠BAN=90°.
∴∠ADM=∠BAN.
在△ADM和△BAN中，∵∠ADM=∠BAN，∠DMA=∠ANB=90°，AD=AB，
∴△ADM≌△BAN（AAS）.∴BN=AM=3，MD=AN=a.
∴OA=3﹣a，即AM=b+3﹣a=3，a=b.
∵ab=4，∴a=b=2. ∴OA=3﹣2=1，即点A的坐标是（1，0）．
【考点】1.正方形的性质；2.曲线上点的坐标与方程的关系；3.全等三角形的判定和性质；3.待定系数法的应用．
【分析】（1）把B的坐标代入求出即可；
（2）过D作DM⊥x轴于M，过B作BN⊥x ( http: / / www.21cnjy.com )轴于N，设MD=a，OM=b，求出ab=4，证△ADM≌△BAN，推出BN=AM=3，MD=AN=a，求出a=b，求出a的值即可．
26．（2014 襄阳）如图 ( http: / / www.21cnjy.com )，在正方形ABCD中，AD=2，E是AB的中点，将△BEC绕点B逆时针旋转90°后，点E落在CB的延长线上点F处，点C落在点A处．再将线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，连接EF，CG．
（1）求证：EF∥CG；
（2）求点C，点A在旋转过程中形成的与线段CG所围成的阴影部分的面积．
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【答案】解：（1）证明：在正方形ABCD中，AB=BC=AD=2，∠ABC=90°，
∵△BEC绕点B逆时针旋转90°得到△ABF，∴△ABF≌△CBE.
∴∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，AF=EC.
∴∠AFB+∠FAB=90°.
∵线段AF绕点F顺时针旋转90°得线段FG，∴∠AFB+∠CFG=∠AFG=90°.
∴∠CFG=∠FAB=∠ECB.∴EC∥FG .
∵AF=EC，AF=FG，∴EC=FG.
∴四边形EFGC是平行四边形.
∴EF∥CG .
（2）∵AD=2，E是AB的中点，∴FE=BE=AB=×2=1.
∴.
由平行四边形的性质，△FEC≌△CGF，∴S△FEC=S△CGF.
∴.
【考点】1.旋转问题；2.正方形的性质 ( http: / / www.21cnjy.com )；3.全等三角形的判定和性质；4. 平行四边形和平行的判定；5.勾股定理；6.扇形面积的计算；7.转换思想的应用.
【分析】（1）根据正方形的性质可得AB ( http: / / www.21cnjy.com )=BC=AD=2，∠ABC=90°，再根据旋转变化只改变图形的位置不改变图形的形状可得△ABF和△CBE全等，根据全等三角形对应角相等可得∠FAB=∠ECB，∠ABF=∠CBE=90°，全等三角形对应边相等可得AF=EC，然后求出∠AFB+∠FAB=90°，再求出∠CFG=∠FAB=∠ECB，根据内错角相等，两直线平行可得EC∥FG，再根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形判断出四边形EFGC是平行四边形，然后根据平行四边形的对边平行证明.
（2）求出FE、BE的长，再利用勾股定理列式求出AF的长，根据平行四边形的性质可得△FEC和△CGF全等，从而得到S△FEC=S△CGF，再根据S阴影=S扇形BAC+S△ABF+S△FGC﹣S扇形FAG列式计算即可得解．
