解直角三角形(二)
1.已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠C = 60°，AB = 6．求BC的长(结果保留根号)
2. 已知：如图，在ABC中，∠B = 45°，∠ACD = 60°，AB = 6．求BC的长(结果含根号)
3.已知：在ABC中，∠B = 45°，AC = 2，AB = 6．求∠C的度数
4. 已知：在ABC中， AC = 2，AB = 6，BC=．求BC边上的高
解直角三角形(三)
1．如图1，在高楼前点测得楼顶的仰角为，向高楼前进60米到点，又测得仰角为，求该高楼的高。
2．如图，在某建筑物AC上，挂着“多彩云南”的宣传条幅BC，小明站在点F处，看条幅顶端B，测的仰角为，再往条幅方向前行20米到达点E处，看到条幅顶端B，测的仰角为，求宣传条幅BC的长
3．如图，某幢大楼顶部有一块广告牌CD，甲乙两人分别在相距8米的A、B两处测得D点和C点的仰角分别为45°和60°，且A、B、E三点在一条直线上，若BE＝15米，求广告牌的高度．(取≈1.73，结果保留整数)
解直角三角形(四)
1.如图，两镇相距60km，小山在镇的北偏东方向，在镇的北偏西方向．经探测，发现小山周围20km的圆形区域内储有大量煤炭，有关部门规定，该区域内禁止建房修路．现计划修筑连接两镇的一条笔直的公路，试分析这条公路是否会经过该区域？
2.如图，某风景区的湖心岛有一凉亭A，其正东方向有一棵大树B，小明想测量A、B之间的距离，他从湖边的C处测得A在北偏西45°方向上，测得B在北偏东30°方向上，且量得B、C之间的距离为100米，根据上述测量结果，请你帮小明计算A、B之间的距离是多少？
3.如图，AB和CD是同一地面上的两座相距36米的楼房，在楼AB的楼顶A点测得楼CD的楼顶C的仰角为45°，楼底D的俯角为30°．求楼CD的高(结果保留根号)．
解直角三角形(五)
1. 兰州市城市规划期间，欲拆除黄河岸边的一根电线杆AB(如图)，已知距电线杆AB水平距离14米处是河岸，即BD＝14米，该河岸的坡面CD的坡角∠CDF的正切值为2，岸高CF为2米，在坡顶C处测得杆顶A的仰角为30°，D、E之间是宽2米的人行道，请你通过计算说明在拆除电线杆AB时，为确保安全，是否将此人行道封上？(在地面上以点B为圆心，以AB长为半径的圆形区域为危险区域)
2.如图所示，MN表示某引水工程的一段设计路线，从M到N的走向为南偏东，在M的南偏东方向上有一点A，以A为圆心，500米为半径的圆形区域为居民区，则MN上另一点B，测得BA的方向为南偏东。已知米，通过计算回答，如果不改变方向，输水路线是否会穿过居民区？
图1
60°
45°
E
D
C
B
A
北
北
G
C
30°
45°
D
B
A
36
F
E
D
A
B
C解直角三角形
1．在Rt△ABC中，∠C＝90°，a＝2，b＝3，则cosA＝ ，sinB＝ ，tanB＝ .
2．直角三角形ABC的面积为24cm2，直角边AB为6cm，∠A是锐角，则sinA＝ ；
3．等腰三角形底边长10cm，周长为36cm，则一底角的正切值为 .
解直角三角形（△ABC中,∠C＝90°）
4．已知：c＝ 8,∠A＝60°.
5．已知：a＝3， ∠A＝30°.
6．已知：a＝6，b＝2.
7.已知∠a＝60°,b＝，求a、c；
8.c＝，b＝3，求a、A
9.． 在直角三角形ABC中，锐角A为30°，锐角B的平分线BD的长为8cm，求这个三角形的三条边的长．
10.某型号飞机的翼形状如图所示，根据图中数据计算AC、BD和 CD的长度（精确到0.1米）．
30
45
D
C
B
A
5.00米
3.40米解直角三角形
1．如图，一辆消防车的梯子长为18m，与水平面间的夹角为60°，如果这辆消防车的高度为2m，求梯子可达到的高度．（精确到0.01m）．
2．如图所示，为了测得中国联通信号塔的实际高度，在离信号塔100米的A处，用测角仪测得塔顶D的仰角为30°，已知测角仪的高AE＝1.2米，求中国联通信号塔的高度CD。（精确到0.1米，已知数据＝1.73）
3.如图所示：用仪器在我校某地B处测得塔顶点D的仰角为45°，在CB延长线上向后退到42米E处，又测得塔顶点D的仰角恰好为30°，已知仪器高BB’仍为1.2米，求中国联通信号塔的高度（精确到0.1米,已知数据＝1.73）
4.如图，、两座城市相距100千米，现计划在这两座城市之间修筑一条高等级公路（即线段）。经测量，森林保护区中心点在城市的北偏东30°方向，城市的北偏西45°方向上，已知森林保护区的范围在以为圆心，50千米为半径的圆形区域内。请问：计划修筑的这条高等级公路会不会穿越保护区，为什么？
5.如图：小虎家住在高80米的公寓AD内，他家的河对岸新修了一座大厦的高度，小虎在他家的楼底A测得大厦顶部B的仰角为60°，爬到楼顶D处测得大厦顶部B的仰角为30°.请帮助小虎计算出大厦的高BC。(120米)
6.一艘船由港口A出发向东偏北20°方向航行，这艘船航行的速度是每小时66海里，1小时后到达B处，发现一灯塔在西偏北70°，该船就朝灯塔开去，到达灯塔后，发现港口在灯塔的西偏南50°，问灯塔与港口的距离是多少？（精确到0.1海里，已知数据＝1.73）
7.为了加固一段河堤，需要运来砂石和土将堤面加宽1 m，使坡度由原来的1∶2变成1∶3，如图所示，已知原来背水坡长BC＝12m，堤长100 m，那么需要运来砂石和土多少立方米 (参考数据≈1.7，≈2.7)
【解题实战】
1． 为测量某塔AB的高度，在离该塔底部20m处目测塔顶，仰角为60°，目高为1.5m，试求该塔的高度．（精确到0.1m，≈1.7）
2.如图所示，天空中有一静止的广告气球C，从地面A点测得C的仰角为45°，从地面B点测得C的仰角为60°．已知AB=20米，点C和直线AB在同一铅垂平面上，求气球离地面的高度CD（结果保留根号）．
3．如图所示，某船以每小时36海里的速度向正东航行，在A点测得某岛C在北偏东60°方向上，航行半小时后到B点，测得该岛在北偏东30°方向上，已知该岛周围16海里内有暗礁．
（1）试说明B点是否在暗礁区域外．
（2）若继续向东航行，有无触礁危险？请说明理由．
4.某村计划开挖一条长为1600m的水渠，渠道的横断面为等腰梯形，渠道深0.8m，下底宽1.2m，坡度为1：1．实际开挖渠道时，每天比原计划多挖土方20m3，结果比原计划提前4天完工，求原计划每天挖土多少立方米．（精确到0.1m3）
参考答案
1.解：在RtABC中,∠ABC=60 ,AB=18,∴∠BAC=30 , ∴BC=AB=9, ,∴AC=9m≈9×1.732=14.888≈14.89m,14.89+2=16.89(m)
答:达到的最大高度约为16.89m
2.解：过E作EF∥AC交CD 于F，由题意可知EF＝AC＝100米，CF＝AE＝1.2米，∠DEF＝30°,在Rt△EFD中，FD＝DE,,DF＝EF=100×≈57.8，∴CD＝FD＋CF＝57.8＋1.2＝59.0（米）。 答：中国联通信号塔的高度CD约为59.0米。
3. 解：连结MN并延长交CD于F。据已知条件：NB＝ME＝42（m），
EM＝BN＝CF＝1.2（m）。在Rt△NFD中，∠DNFD＝45°，∴设NF＝FD＝X，在Rt△DFM中，FD＝DM, ∴X＝(X＋42)·，∴X≈57.5，∴CD＝CF＋FD＝57.5＋1.2＝58.7（米）。答：中国联通信号塔的高度CD约为58.7米。
4. 解：于，设，在，，则。在，，，，，米米。
答：这条高等级公路不会穿越保护区。
5．解：过D作DE⊥BC于E，在Rt△ABC中，∠BAC=60°，BC=AC，在△BDE中，∠BAC=30°，BE=DE，因为DE=AC，所以（CE+BE）=BE，（80+BE）=BE，BE=40米，BC=120米。
答：新建大厦高120米。
6. 解：据轮船航行方向知：∠CBA＝70°＋20°＝90°，∠ACB＝60°，在Rt△ABC中，
AC＝＝76.1。答：灯塔与港口的距离是76.1海里
7. 分析：坡面的铅直高度h和水平宽度的比叫做坡度(或叫坡比)．
本题需要计算的是加宽部分的体积，因而需要先计算加宽部分的横截面面积，横截面是个梯形，因此过梯形上底两端点作下底的高，将其转化为直角三角形和矩形的组合图形，从而把梯形问题化归为解直角三角形问题．
解：过C、D两点作CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F．在Rt△CBE中，iBC＝．
∴BE＝2CE，又BC＝12 (m)， ∴CE＝ (m)，BE＝ (m)∵四边形CDFE 为矩形，∴DF＝CE．在Rt△ADF中，iAD＝， ∴AF＝3DF＝3CE＝ (m)．
∴AB＝AF＋EF－BE＝()(m)∴S梯形ABCD＝ (m2)．∴V＝S梯形ABCD×100＝×100≈1968(m3)．答：需运来砂石和土1968 m3
解题实战:
1. 过点C作CD⊥AB，交AB于点D，
在Rt△ADC中，∠ADC=90°，
CD=20m，∠ACD=60°，
所以，tan∠ACD=，AD≈34m，
所以AB=AD+DB=34+1.5=35.5（m）．
答:该塔的高度是35.5m．
2. 解析：作CD⊥AB，垂足为D，设气球离地面的高度为x米．
在Rt△ACD中，∠CAD=45°，∴AD=CD=x．
在Rt△CBD中，∠CBD=60°，∴BD==．
∵AD=AB＋BD，∴x=20＋，∴x=30＋10．答：气球离地面的高度为（30＋10）米．
3. 点拨：由东南西北四个方向确定的角叫做方向角．
本题要说明船是否有触礁的危险，只要求出BC的长与16相比，若大于16则没有触礁的危险，否则有触礁的危险，若船继续向东航行，比较船与岛的最短距离CH与16的大小，大于16则没有触礁的危险，否则有触礁的危险． 求BC、CH的问题，显然就是解直角三角形问题．
解：（1）∵AB=36×0.5=18，∠ADB=60°，∠DBC=30°，∴∠ACB=30°．又∵∠CAB=30°，∴BC=AB=18＞16，∴B点在暗礁区域外．
（2）过C点作CH⊥AF，垂足为H，在Rt△CBH中，∠BCH=30°，令BH=x，则CH=x，在Rt△ACH中，∠CAH=30°，∴AH=CH，∴18＋x=·(x)，∴x=9，∴CH=9<16，∴船继续向东航行有触礁的危险．答：B点在暗礁区域外，船继续向东航行有触礁的危险．
4．解:如图． 过A作AM⊥CD，垂足为M．
∵坡度为1：1，渠道深为0.8m．
∴DM=0.8m，即CD=1.2+2×0.8=2.8m．
挖渠道共挖出的土方数为（AB+CD）·AM×1600=2 560m3．
设原计划每天挖xm3的土，则实际每天挖（x+20）m3，
根据题意得+4．
解得x≈103.5m3，x≈-123.5m3（不符合题意，舍去）．
经检验x=103.5m3是原方程的根．
答:原计划每天挖土约103.5m3．[文件] sxc3jja0004.doc
[科目] 数学
[年级] 初三
[章节]
[关键词] 解直角三角形/应用
[标题] 解直角三角形的应用举例(一)
[内容]
教学目标
1.使学生理解仰角、俯角、水平距离，垂直距离和方位角等概念的意义，为解决有关
实际问题扫除障碍；
2.使学生能适当的选择锐角三角函数关系式去解决直角三角形问题；
3．培养学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形?转化为解直角三角形)的能力
4．使学生认识数学来源于实际，又为实际服务，养成用数学的思想意识?
教学重点和难点
将实际问题抽象为数学问题，并能选用适当的锐角三角函数关系式去解答直角三角形问
题是重点；而将实际问题抽象为数学问题，以及有关名词概念(如仰角，……)的理解是难点教学过程设计
一、例题分析，变式练习
(采用讨论、练习和讲解方式进行教学)
例1 如图6-36?厂房屋顶人字架(等腰三角形)的跨度为10米，∠A＝26°，求中柱BC(C
为底边中点)和上弦AB的长?(精确到0.01米)
说明：此例是课本p.37的例2?为什么要先讲此例呢 其原因是，虽然它也是实际问题，
但它已抽象为数学问题(已画出平面图形)；且一些名词(上弦、中柱和跨度等)已在图中得到
直观解释，勿须教师多废喉舌；再说此例归结为解Rt△ACB也是明显的，且求中柱BC和上弦A
B也能比较灵活的应用到各种三角函数关系式，所以把它做为首例是非常必要的.?
教法：为了从分析中选用哪一个锐角三角函数关系式较好，最好让学生讨论(暂时不写
出解答过程)，大家确定较好的方法以后，再要求学生用这种方法写出解答过程(或让学生看
书)如下：
解：因为tan A＝，所以BC＝AC·tan A＝5×tan 26°＝5×0.487 7≈2.44(米)，
因为cos A＝，所以AB＝≈5.56(米)?
答：中柱BC≈2.44米，上弦AB≈5.56米?
练习1 如图6-37?某厂车间的人字屋架为等腰三角形，跨度AB＝12米，∠A＝22°?求中柱CD和上弦AC的长?(精确到0.01米)
答：CD≈2.42米，AC≈6.47米.
例2 如图6-38.线段AB和CD分别表示甲、乙两幢楼的高.AB⊥BD于B，CD⊥BD于D.从甲楼
顶部A处测得乙楼顶部C的仰角α＝30°，测得乙楼底部D的俯角β＝60°.已知AB＝24米.求CD＝
此例按以下步骤进行教学：
(1)教师先把仰角和俯角这两个概念的意义讲清楚，然后引导学生审题，(从整体上理解
条件和结论)把已知条件标在图上.
(2)分析条件和结论的关系.(让学生讨论)
因为DE＝AB＝24米，β＝60°，所以AE可求.
因为AE可求，又α＝30°所以CE可求.
所以CD可求.
(3)选用适当的三角函数关系式.(让学生讨论)
选cotβ求AE，选tanα求CE.这样可避免分母出现未知数.
(4)写出解答过程如下：
解：因为DE＝AB＝24米，
所以 AE＝DE·cot60°＝24× (米).
又CE＝AE·tan30°＝＝8(米).
所以 CD＝CE＋DE＝8＋24＝32(米).
答：乙楼CD＝32米.
练习2 如图6-39.某飞机于空中A处探测到目标C，此时飞行高度AC＝1200米，从飞机上看地平面控制点B的俯角α＝16°31′.求飞机A到控制点B的距离.(精确到1米)
(采取讨论形式，然后让学生板演)
解：在在Rt△ABC中，sinB＝.
所以AB＝≈4221(米).
答：飞机A到控制点B的距离约为4221米.
练习3 如图6-40在离铁塔150米的A处，用测角仪器测得塔顶的仰角为30°12′.已知测角仪器高AD＝1.52米，求铁塔高BE.(精确到0.1米)
(采用学生讨论，然后找一个学生板演)
答：BE≈88.8米.
例3 如图6-41.在山坡上种树，要求株距(相邻两树间的水平距离)是5.5米.测得斜坡的倾斜角是24°，求斜坡上相邻两树间的坡面距离是多少米(精确到0.1米).
此例按照以下步骤进行教学.
(1)先引导学生在理解水平距离和坡面距离的基础上，从整体上分析条件和结论.
(2)引导学生将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形并写出已知和所求).如图6-42.
作出BC⊥AC于C，已知AC＝5.5米.∠BAC＝24°.求AB的长.
（3）让学生讨论，给出解答如下：
解：在Rt△ABC中，因为cosA＝,
所以AB＝≈6.0(米)?
答：斜坡上相邻两树间的坡面距离约是６.０米
练习４如图６－４３.沿ＡＣ方向山修渠.为了加快施工进度，要在小山的另一边同时施工.从ＡＣ上的一点Ｂ取∠ＡＢＤ＝１４０°，ＢＤ＝５２０米，∠Ｄ＝５０°.那么开挖点Ｅ离Ｄ多远（精确到０.１米），正好能使Ａ，Ｃ，Ｅ成一直线？
此题采取让学生讨论后板书的办法进行教学.具体步骤如下：
（１） 引导学生讨论，理解题意；
（２） 引导学生将实际问题抽象为数学问题（画出平面图形，转化为解Ｒt△BDE.如图６－４４）.
（３） 引导学生根据图６－４４适当选择锐角三角函数关系式：
（４） 让学生板演过程.（答：ＥＤ≈３３４.３米）
例４如图６－４５.一艘海轮位于灯塔Ｐ的北偏东６０°方向上的Ａ处，它沿正南方向航行７C海理后，到达位于灯塔Ｐ的南偏东３０°方向上的Ｂ处.这时，海轮所在的Ｂ处距离灯塔Ｐ有多远？（结果不取近似值）
此例按照以下步骤进行教学：
(1) 先帮助学生理解方位角的意义，理解正南方向的意义.有必要可以将平面几何第一章中后面有关的习题做一遍.在此基础上理解条件和结论.
(2) 引导学生将实际问题转化为解Rt△APB.即已知AB=70海里，∠B=30°.求PB.
(3) 引导学生选用适当的锐角三角函数关系式:
cosB=,或sinA=,
或据“直角三角形30°的角所对的边等于斜边的一半”,于是设PA=x,AB=x
(4) 写出解答过程
解1：在Rt△APB中，AB=70，
所以PB=AB·sinA=70×=35 (海里)
答：海轮所在的Ｂ处距离灯塔Ｐ有353(海里)
解2:因为∠APB=90°, ∠B=30°,
所以设PA=x,则AB=2x,PB=3,
由AB=2x,得2x=70,所以x=35,
所以PB=35
说明:在解直角三角形过程中,如遇到有特殊角30°,45°和60°时,也可考虑用第二种方法.
练习5一个人从A点出发向北偏东60°方向走了一段距离到B点,再从B点也发向南偏西15°方向走了一段距离到C点,则∠ABC的度数是.
教法:让学生画图便得∠ABC=45°.(如图6-46)
练习6两灯塔G和F与海洋观察站O的距离相等,灯塔G在观察站O的北偏东40°灯塔F在观察站O的南偏东60°,则灯塔G在灯塔F的( )
A. 北偏东10°B.北偏西10° C.南偏东10° D.南偏西10°
教法:引导学生自己画图,经过讲座得到图6-47.
答案是选B.具体解答如下:
作OE/OM于E,因为∠GOF=80°,GO=FO.
所以∠OGF=50°.因为∠OGE=40°,所以∠EGF=10°.
因为GE//FN,所以∠GFN=10°.
二、小结
1. 先向学生提出问题:运用解直角三角形的知识去解答实际问题,它的主要步骤是什么
2. 在学生回答的基础上,教师归纳总结出主要步骤是:
(1) 分析实际问题中某些名词概念的意义,正确理解条件和结论的关系.
(2) 将实际问题抽象为数学问题(画出平面图形,转化为解直角三角形).
(3) 根据条件的特点,适当选用锐角三角函数的关系式去解直角三角形.
(4) 写出解答过程和答案.
三、作业
1.课本.p.37.练习；p.40.练习；P.57.复习题六.A组.10.
2.补充作业：
如图6-48.一艘轮船从离A观察站的正北10海里处的B港处向东航行，观察站第一次测得该船在A地北偏东30°的M处；半小时后，又测得该船在A地的北偏东60°的N处.求此船的
速度.
略解：因为cot30°＝，所以BN＝30.
因为tan30°＝，所以BM＝10.所以MN＝20.
所以船的速度v＝20/0.5＝40海里/小时.
板书设计(略)
课堂教学设计说明
1.这份教案为两课时.
2.关于例题选择的一些想法：
(1)为什么把课本.p.36～p.37中的例2当做例1，教案中已有说明.
(2)为什么用例2代替课本中的例1 这是因为此例既有仰角又有俯角.比较全面.
(3)为什么课本中的例3暂不讲，而先讲课本中的例4呢 这是因为例3属于构造直角三角形问题，留到下节课讲.还是先讲不构造直角三角形的问题为好，这是符合由浅入深的原则的.
(4)例4为什么要选择一个方位角的问题 因为这是近年来考试题中常遇到的题型?
?解直角三角形练习题
一.填空题：
1.在Rt△ABC中，∠B＝900，AB＝3，BC＝4，则sinA=
2.在Rt△ABC中,∠C＝900,AB＝
则SinA= cosA=
3.Rt△ABC中，∠C＝900，SinA=,AB=10,则BC＝
4.α是锐角，若sinα=cos150,则α＝ ; 若sin53018\=0.8018，则cos36042\=
5.∠B为锐角，且2cosB－1＝0则∠B＝
6.在△ABC中，∠C＝900，∠A，∠B，∠C所对的边分别为a，b，c，a＝9，b＝12，则sinA= sinB=
7.在Rt△ABC中，∠C＝900，若,则tanA=
8．等腰三角形中，腰长为5cm，底边长8cm，则它的底角的正切值是
9.Rt△ABC中，∠A＝600，c=8，则a＝ ，b＝
10.在△ABC中，若,b＝3，则tanB= ,面积S＝
11.在△ABC中,AC：BC＝1：,AB＝6,∠B＝ ,AC＝ ,BC＝
12.在△ABC中,∠B＝900,AC边上的中线BD＝5,AB＝8,则tan∠ACB=
二、选择题
13、在Rt△ABC中，各边的长度都扩大2倍，那么锐角A的正弦、余弦值 （ ）
A、都扩大2倍 B、都扩大4倍 C、没有变化 D、都缩小一半
14、等腰三角形底边与底边上的高的比是2：，则顶角为（ ）
A、600 B、900 C、1200 D、1500
15、在△ABC中，A，B为锐角，且有sinA＝cosB，则这个三角形是（ ）
A、等腰三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、锐角三角形
16、有一个角是300的直角三角形，斜边为1cm，则斜边上的高为（ ）
A、cm B、cm C、cm D、cm
三、求下列各式的值
1.sin2600+cos2600 2.sin600－2sin300cos300
3. 2cos450+|| 4. sin2450-tan2300
四、解答下列各题
1、在Rt△ABC中，∠C＝900，，AB＝13，BC＝5，
求sinA, cosA, tanA
2. 在Rt△ABC中，∠C＝900，若求cosA, sinB, cosB
3. 在Rt△ABC中，∠C＝900，b=17, ∠B=450,求a, c与∠A
五.根据下列条件解直角三角形。在Rt△ABC中。
1、c=20 ∠A=450 2. a=36 ∠B=300
3.a=19 c= 4. a=
六.等腰梯形的一个底角的余弦值是，腰长是6，上底是求下底及面积
