福建省泉州市泉港区2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

泉州市泉港区2023-2024学年高一上学期12月月考
数学试卷
考试时间：100分钟；
注意事项：
1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息
2.请将答案正确填写在答题卡上
第Ⅰ卷（选择题）
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2.已知，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
3.若，则的最小值为（ ）
A.4 B.5 C.6 D.8
4.若关于的不等式的解集是，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5.函数的零点为（ ）
A. B.2 C. D.
6.已知函数，则不等式的解集是（ ）
A. B.
C. D.
7.已知是上的减函数，那么的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
8.若不等式，恒成立，则实数的范围是（ ）
A. B. C. D..
二、多选题（每小题5分，共20分）
9.下列结论正确的是（ ）
A.是第二象限角
B.第三象限角的集合为
C.终边在轴上的角的集合为
D.若角为锐角，则角为钝角
10.下列命题为真命题的是（ ）
A.若，则
B.若，，则
C.若，，则
D.若，，则
11.已知函数，则（ ）
A.为奇函数 B.在上单调递减
C.值域为 D.的定义域为
12.已知函数图象关于轴对称，且，，都有.若不等式，对恒成立，则的取值可以为（ ）
A. B. C. D.
第Ⅱ卷（非选择题）
三、填空题（每小题5分，共20分）
13.已知幂函数在区间上单调递减，则__________.
14.函数的定义域是__________.
15.已知定义在上的函数（为实数）为偶函数，记，，，则a，b，c的大小关系为__________.
16.已知函数（且），若定义域上的区间，使得在上的值域为，则实数的取值范围为__________.
四、解答题（第17题10分，18-22每题12分，共70分）
17.（1）计算：.
（2）已知角的终边在直线上，求，，的值.
18.已知函数是定义在上的奇函数，且当时，.
（1）求函数在上的解析式；
（2）解关于的不等式.
19.函数（且）.
（1）求函数的定义域；
（2）当时，求的值域.
20.已知函数对任意的实数m，n，都有，且当时，有.
（1）求的值；
（2）求证：在上为增函数；
（3）若，且关于的不等式对任意恒成立，求实数的取值范围.
21.近年我国新能源汽车的产销量高速增长，某地区2019年底新能源汽车保有量为1500辆，2020年底新能源汽车保有量为2250辆，2021年底新能源汽车保有量为3375辆.
（1）根据以上数据，设从2019年底起经过年后新能源汽车保有量为辆，试从
①（，且）；②两种函数模型中选择一个最恰当的模型来刻画新能源汽车保有量的增长趋势（不必说明理由），求出新能源汽车保有量关于的函数关系式；
（2）2019年底该地区传统能源汽车保有量为50000辆，预计每年传统能源汽车保有量下降，假设每年新能源汽车保有量按（1）中求得的函数模型增长，试估计到哪一年底新能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有量.
（参考数据：，，）
22.已知函数，.
（1）若，求函数在的值域；
（2）若，求证.求的值；
（3）令，则，已知函数在区间有零点，求实数的取值范围.
泉州市泉港区2023-2024学年高一上学期12月月考
答案
一、单选题（每小题5分，共40分）
1.【答案】B
【分析】求出，根据交集概念求出答案.
【详解】，故.
故选：B
2.【答案】A
【分析】分别求得与的等价条件，从而利用充分必要条件的定义即可得解.
【详解】，或，
所以前者可以推得后者，后者不能推得前者，
则“”是“”的充分不必要条件.
故选：A.
3.【答案】C
【分析】根据基本不等式即可求解.
【详解】，
因为，所以，所以，
当且仅当，即时等号成立，
故最小值为6，
故选：C
4.【答案】B
【分析】对分类讨论，利用一元二次不等式的解集与判别式的关系即可得出.
【详解】当时，恒成立，则符合题意；
当时，由题意可得，解得
综上，的取值范围是.
故选：B
5.【答案】A
【分析】根据零点的定义即可求解.
【详解】令，得，则.
故选：A
6.【答案】A
【分析】利用分段函数，将不等式化为具体不等式，即可得出结论.
【详解】解：，
当时，，所以或；
当时，，所以，
所以不等式的解集是，
故选：A.
7.【答案】B
【分析】要使函数在上为减函数，则要求①当，在区间为减函数，②当时，在区间为减函数，③当时，，综上①②③解不等式组即可.
【详解】令，.
要使函数在上为减函数，
则有在区间上为减函数，
在区间上为减函数且，
，解得.
故选：B.
【点睛】考查根据分段函数的单调性求参数的问题，根据单调性的定义，注意在分段点处的函数值的关系，属于中档题.
8.【答案】D
【分析】先将不等式化简，进而参变分离转化为求函数最值问题，最后解得答案.
【详解】题设不等式化为，
即，，，
易知是减函数，时，，
所以由不等式上恒成立得.故选：D.
二、多选题（共20分）
9.【答案】AC
【分析】根据终边相同角的表示，可以判断A错误，C正确；根据象限角的表示可以判断B错误；举特例可以判断D错误.
【详解】对于选项A：因为，且为第二象限角，
所以是第二象限角，故A正确；
对于选项B：第三象限角的集合为，故B错误；
对于选项C：终边在轴上的角的集合为，故C正确；
对于选项D：若角为锐角，即，则，所以角不一定为钝角，
例如，则为直角，故D错误；
故选：AC.
10.【答案】BC
【分析】由不等式的性质对合选项一一进行判断可得答案.
【详解】解：A项，若，取，可得，故A不正确；
B项，若，，可得：，故，故B正确；
C项，若，可得，由可得：，故C正确；
C项，举反例，虽然，，但是，故D不正确；
故选：BC.
【点睛】本题主要考查利用不等式的性质比较大小，属于基础题型.
11.【答案】ACD
【分析】对于A，利用奇函数的定义即可判断；对于B，可以利用减函数的定义进行判断；对于C，可利用分离常数法进行求解；对于D，可利用定义域的性质进行求解.
【详解】对于A，由，得，所以函数的定义域为，
又，所以为奇函数，故A正确；
对于B，设，，，
则，
因为，，，
所以当，时，，，，
所以，
则，不符合单调递减函数的定义，故B错误；
对于C，因为，
又且，所以，
则，故C正确；
对于D，由以上项分析函数的定义域为且，故的定义域为，故D正确；
故选：ACD.
12.【答案】BC
【分析】由题可得的图象关于对称，且在上单调递增，进而将不等式转化为，对恒成立，然后利用换元法结合二次函数的性质可得的取值范围，即得.
【详解】因为函数图象关于轴对称，
所以的图象关于对称，又，，都有，
所以函数在上单调递增，
因为不等式，对恒成立，
所以，对恒成立，
令，则，则，
所以，对恒成立，
因为，，，
故，所以BC正确，AD错误.
故选；BC.
【点睛】方法点睛：恒（能）成立问题的解法：
若在区间上有最值，则
（1）恒成立：，；，；
（2）能成立：，；，.
若能分离常数，即将问题转化为：（或），则
（1）恒成立：；；
（2）能成立：；.
三、填空题（共20分）
13.【答案】
【分析】利用幂函数的定义及单调性求解即得.
【详解】由幂函数的定义知，，即，解得或，
当时，在区间上单调递增，不符合题意，
当时，在区间上单调递减，符合题意，所以.
故答案为：
14.【答案】
【分析】根据题意，列出不等式，即可得到结果.
【详解】由题意可得，解得，即函数的定义域是.
故答案为：
15.【答案】
【详解】因为函数为偶函数，所以，即，所以
，
，
所以.
【考点定位】1.函数奇偶性；2.指数式、对数式的运算.
【名师点睛】本题主要考查函数的奇偶性与指数、对数的运算问题，先由函数奇偶性知识求出的值，计算出相应的a，b，c的值比较大小即可，是中档题.其中计算的值时易错.
16.【答案】
【分析】根据对数函数定义域要求可求得定义域，根据定义域和值域的区间端点值大小关系可确定，从而确定m，n是方程的两根，由此将问题转化为方程在有两个不等实根的问题，由此构造不等式求得结果.
【详解】，定义域为
且，
在，上单调递增，
在，上单调递减
，
且m，n是方程的两根，
即
在上有两个不等实根
即在上有两个不等实根
，解得：，的取值范围为
故答案为：
【点睛】本题考查根据函数定义域和值域求解参数范围的问题，涉及到函数单调性的应用、对数方程的求解、一元二次方程在区间内有实根的问题；关键是能够根据函数定义域和值域确定函数的单调性，利用单调性确定m，n是方程的两根，将问题转化为一元二次方程在区间内有实根问题的求解.
四、解答题（共70分）
17.（1）【答案】
【分析】根据指数幂，对数的运算法则计算得到答案.
【详解】
.
（2）【答案】答案见解析
【分析】分类讨论，取特殊点的坐标，由三角函数定义计算可得.
【详解】解：因为角的终边在直线上，
当角的终边在第一象限时，在的终边上取点，
则，，；
当角的终边在第三象限时，在的终边上取点，
则，，.
18.【答案】（1）
（2）
【分析】（1）根据函数奇偶性的性质进行转化求解即可.
（2）利用分段函数的表达式分别进行求解即可.
【详解】（1）当时，，则，
由是定义在上的奇函数，得，且，
故.
（2）当时，恒成立；
当时，显然成立；
当时，解得，即.
综上所述：不等式的解集为.
19.【答案】（1）
（2）答案见解析
【分析】（1）由对数真数大于零可构造方程组求得定义域；
（2）将函数解析式化为，
由二次函数值域求法可求得的范围，结合对数函数单调性可求得结果.
【详解】（1）由得：，的定义域为.
（2），
当时，，
则当时，；当时，；
综上所述：当时，的值域为；
当时，的值域为.
20.【答案】（1）；（2）证明见解析；（3）.
【解析】（1）利用赋值法，求；
（2）设，是上任意两个实数，且，令，，通过函数的单调性的定义直接证明在上为增函数；
（3）由原不等式可化为，化为，对任意的恒成立，然后构造函数，即成立即可，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解实数的取值范围.
【详解】（1）由，故此令，
则，则；
（2）设，是上任意两个实数，且，
则令，，则，
所以，
由得，所以，
故，即，
故此，函数为上增函数；
（3）由已知条件得：，
故此，
，，，
由（2）可知在上为增函数，，
即，令，即成立即可.
①当时，即，在单调递增，
，，
②当时，即，在先递减后递增，
，
，
解得，.
综上，.
【点睛】关键点点睛：在（3）转化为在恒成立，构造函数，利用二次函数的性质，通过分类讨论求解最小值.
21.【答案】（1）应选函数模型是，且；
（2）2028年底
【分析】（1）由于增长趋势知，增长快，应选函数模型是，且，由待定系数法即可求得函数关系式；
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，得出关系式，再得出新能源超过传统能源汽车的不等式，化简求解即可得到结果.
【详解】（1）根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应选函数模型是
，且，
由题意得，得，所以，
（2）设从2019年底起经过年后传统能源汽车保有量为辆，
则有，
设从2019年底起经过年后新能源汽车的数量将超过传统能源汽车，
则有，
化简得，
解得，
故从2019年底起经过9年后，即2028年底新能源汽车的数量将超过传统能源汽车.
22.【答案】（1）
（2）证明见解析，
（3）
【分析】（1）化简可得，利用二次函数单调性，即得解；
（2）由已知可得的解析式，根据指数函数的运算即可求证，利用倒序相加即可求值；
（3）由已知可得，令，函数等价为在上有零点，参变分离即得解
【详解】（1）解：若
，
当上函数为增函数，
则函数的最大值为，函数的最小值为，则函数的值域为.
（2）解：若，则，
则
，
设，
则，
两式相加得，
即，则，
故.
（3），
设，当，则，
则函数等价为，若函数在区间有零点，
则等价为在上有零点，
即在上有解，
即在上有解，
即，
设，则，则，
则在上递增，
则当时，，当时，，
，即，
即实数的取值范围是.