芝华中学2023-2024学年（上）高二数学期中测试卷
范围：选择性必修一 考试时间：120分钟
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（3，3，5），则线段AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
【解答】解：．
2．已知直线ax+by+2＝0在y轴上的截距为﹣1，则b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：因为直线ax+by+2＝0在y轴上的截距为﹣1，即直线过（0，﹣1），
所以0×a+b×（﹣1）+2＝0，所以b＝2．
3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ）
A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11 C．（﹣1，﹣2）， D．（﹣1，2），
【解答】解：将圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0化成标准方程，得（x+1）2+（y﹣2）2＝11，
∴圆心的坐标是（﹣1，2），半径r＝．
4．已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（ ）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
【解答】解：，因为，所以存在实数λ，使得，
所以，所以解得所以x+y＝6．
5．直线3x+4y+12＝0与圆（x﹣1）2+（y+1）2＝9的位置关系是（ ）
A．相交且过圆 B．相切 C．相离 D．相交但不过圆心
【解答】解：圆（x﹣1）2+（y+1）2＝9的圆心C（1，﹣1），半径r＝3，圆心C（1，﹣1）到直线3x+4y+12＝0的距离d＝＝＜3＝r，∴直线3x+4y+12＝0与圆（x﹣1）2+（y+1）2＝9的位置关系是相交但不过圆心．
6．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根据已知条件，结合重心的性质，以及抛物线的定义，即可求解．
【解答】解：设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），抛物线y2＝2x，
则F（），焦点F恰好是△ABC的重心，则，
故|FA|+|FB|+|FC|＝＝．故选：C．
【点评】本题主要考查抛物线的性质，属于基础题．
7．如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30°，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】由题意可得椭圆的短半轴长等于杯的半径，再由题意可得椭圆的长半轴长与半径的关系，进而求出椭圆的离心率．
【解答】解：设杯的半径为r，由题意可得椭圆的短半轴长b＝r，倾斜使杯底与水平桌面成30°，可知a＝＝＝，所以椭圆的离心率e＝＝＝＝，故选：C．
【点评】本题考查椭圆的性质的应用，属于基础题．
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝﹣，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【分析】设|AF2|＝m，|BF2|＝n，由双曲线的定义可得|AF1|，|BF1|，在直角三角形AF1B中，在△AF1F2中，运用锐角三角函数的定义、勾股定理和余弦定理，化简整理，结合离心率公式，可得所求值．
【解答】解：设|AF2|＝m，|BF2|＝n，由双曲线的定义可得|AF1|＝2a+m，|BF1|＝2a+n，
由，可得，在直角三角形AF1B中，①，
（2a+n）2+（m+n）2＝（2a+m）2②，在△AF1F2中，可得③，
由①②可得，，代入③可得，
即为9c2＝17a2，则，故选：B．
【点评】本题主要考查双曲线的几何性质，双曲线离心率的求解等知识，属于中等题．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
（多选）9．已知圆C1：（x+m）2+（y﹣2）2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y+m）2＝16外切，则m的值可以为（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5
【分析】根据已知条件，结合圆心距与两圆半径的关系，即可求解．
【解答】解：∵圆C1：（x+m）2+（y﹣2）2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y+m）2＝16外切，
∴圆C1 的圆心（﹣m，2），半径r1＝1，圆C2的圆心（1，﹣m），半径r2＝4，
∴，解得m＝﹣5或m＝2．故选：AC．
【点评】本题主要考查两圆位置的判定，属于基础题．
10．下列选项正确的是（ ）
A．两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则l1∥l2
B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l⊥α
C．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α
D．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
解：根据题意，对于A，两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是：，
则，所以∥，即l1∥l2，故A正确；对于B，直线l的方向向量，平面α的法向量是，则，所以，即l∥α或l α，故B错误；
对于C，直线l的方向向量，平面α的法向量是，则，所以∥，即l⊥α，故C错误；对于D，两个不同的平面α，β的法向量分别是，
则，所以α⊥β，故D正确．故选：AD．
11．若曲线C：，下列结论正确的是（ ）
A．若曲线C是椭圆，则1＜k＜9 B．若曲线C是双曲线，则1＜k＜9
C．若曲线C是椭圆，则焦距为 D．若曲线C是双曲线，则焦距为
【解答】解：对于A：若曲线C：表示椭圆，则，解得k＜1，故A错误；
对于B：若曲线C：表示双曲线，则（9﹣k）（1﹣k）＜0，解得1＜k＜9，故B正确；
对于C：若曲线C：表示椭圆，由9﹣k＞1﹣k，故a2＝9﹣k，b2＝1﹣k，∴c2＝9﹣k﹣（1﹣k）＝8，
∴c＝2，则焦距2c＝4，故C正确；对于D：若曲线C是双曲线，由B知，a2+b2＝c2＝9﹣k+（k﹣1）＝8，∴c＝2，则焦距为2．故D正确．故选：BCD．
12．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．△MF1F2面积的最大值为
C． D．圆G在椭圆C的内部
解：∵|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，∴PF1⊥PF2，∵，设|PQ|＝4m，|F1Q|＝5m 则|PF1|＝3m，
又|PQ|+|F1Q|+|PF1|＝4a，，∴，∴，∴|F1F2|＝2，即，所以A不正确；当点M在y轴上时三角形MF1F2面积的最大，此时，所以B正确；因为，所以，故C正确；圆，∵，圆在椭圆内部，所以点M在椭圆内部，所以D正确．故选：BCD．
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 2x+3y﹣5＝0 ．
解：联立，解得，∴直线过点（1，1），∵直线的方向向量，
∴直线的斜率，则直线的方程为，即2x+3y﹣5＝0．
14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 {x|x＞0且x≠3} ．
解：因为，，所以 ＜0，且与不共线；即，
解得x＞0且x≠3，所以x的取值范围是{x|x＞0且x≠3}．
15．已知直线l过点P（2，4），且与圆O：x2+y2＝4相切，则直线l的方程为 3x﹣4y+10＝0或x＝2 ．
解：因为22+42＝20＞4，所以点P在圆外．当直线l的斜率存在时，设其方程为y﹣4＝k（x﹣2），即kx﹣y﹣2k+4＝0．由题意知圆O的圆心坐标为O（0，0），半径为2．因为圆心到切线的距离等于半径，所以，解得，故直线l的方程为3x﹣4y+10＝0．当直线l的斜率不存在时，直线l的方程为x＝2，也满足条件．
故直线l的方程为3x﹣4y+10＝0或x＝2．
16．晶体结构中有一类为菱方晶系，菱方晶系是指从一个顶点出发等长且互相所成角两两相等的线段形成的平行六面体，如图所示．若一种金属的菱方晶系结构α＝60°，为研究此金属的性质，需计算出侧棱AA1与底面ABCD的所成角的余弦值，则此余弦值为 ．
解：如图所示：过A1作A1O⊥平面ABCD，A1E⊥AD，A1F⊥AB，连接OE，OF，OA，则∠A1AE＝∠A1AF＝∠EAF＝α＝60°，∠A1AO为侧棱AA1与底面ABCD所成的角，因为A1O平面ABCD，所以A1O⊥AE，又A1O∩A1E＝A1，
所以AE⊥平面A1EO，则AE⊥EO，同理可证AF⊥FO，因为Rt△A1AE Rt△A1AF，所以A1E＝A1F，
则Rt△A1OE≌Rt△A1OF，所以OE＝OF，则点O在∠DAB的角平分线上，所以，
设A1A＝m，则，，所以cos∠A1AO＝．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知以点M为圆心的圆经过点A（2，4），B（6，2），线段AB的垂直平分线交圆M于点C，D，且，
（1）求直线CD的方程；（2）求圆M的方程．
解：（1）因为直线AB的斜率，所以直线CD的斜率为2，AB的中点坐标为（4，3），
所以直线CD的方程为y﹣3＝2（x﹣4），即2x﹣y﹣5＝0．
（2）设圆心M（a，b），由点M在直线2x﹣y﹣5＝0上，得2a﹣b﹣5＝0，又因为，所以圆M的半径，，弦心距，
由勾股定理可得，所以10＝（a﹣4）2+（b﹣3）2+5，解得或，
所以圆心（5，5）或（3，1），所以圆M的方程为（x﹣5）2+（y﹣5）2＝10或（x﹣3）2+（y﹣1）2＝10．
18．已知椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程：（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度．
解：（1）由题意知，焦点且过点A（2，0），∴，
∴b2＝a2﹣c2＝4﹣3＝1，∴椭圆方程为．
（2）由题意得，直线MN的方程为，设M（x1，y1），N（x2，y2），联立直线与椭圆方程，得，∴Δ＝192﹣160＝32＞0，则，
∴，
又∵，∴．
19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．（1）求正三棱柱的侧棱长；（2）若M为BC1的中点，试用基底向量、、表示向量；
（3）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
解：（1）设侧棱长为b则A（0，﹣1，0），B1（，0，b），B（，0，0），C1（0，1，b），＝{，1，b}，＝{﹣，1，b}，∵AB1⊥BC1，∴﹣3+1+b2＝0，解得b＝，∴正三棱柱的侧棱长为．
（2）∵M为BC1的中点，∴＝＝（）．
（3）设异面直线AB1与BC所成角为α，＝（，1，），＝（﹣，1，0），
cosθ＝＝＝﹣，∴异面直线AB1与BC所成角的余弦值为﹣．
20．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．
解：（1）设双曲线的方程为﹣＝λ,代入M(,﹣),得﹣＝λ,解得λ＝,所以双曲线的方程为x2﹣＝1．
(2)由,得x2﹣2mx﹣m2﹣2＝0,设A(x1,y1),B(x2,y2),则AB中点坐标为(,),
由韦达定理可得x1+x2＝2m,所以y1+y2＝(x1+x2)+2m＝4m,所以AB中点坐标为(m,2m),
因为点(m,2m)在圆x2+y2＝20上，所以m2+(2m)2＝20,解得m＝±2．
21．在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC＝2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB＝4．
（1）证明：FO⊥平面ABC．（2）求二面角E﹣FA﹣C的余弦值．
【分析】（1）由等边三角形三线合一，得出FO⊥AC，再由勾股定理逆定理得出FO⊥OB，即可证明；
（2）建立空间直角坐标系，由面面夹角的向量法计算即可．
【解答】解：（1）证明：连接OB，
因为△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，，所以AC＝4，因为O为AC边的中点，所以，
在等边三角形FAC中，AF＝AC＝FC＝4，因为O为AC边的中点，所以FO⊥AC，则，
又FB＝4，所以FO2+OB2＝FB2，即FO⊥OB，因为AC OB＝O，AC 平面ABC，OB 平面ABC，
所以FO⊥平面ABC．
（2）因为△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，O为边AC中点，所以OB⊥AC，
由（1）得FO⊥平面ABC，则以O为坐标原点，，，的方向分别为x，y，z轴的正方向建立空间直角坐标系，则A（0，﹣2，0），，，
所以，，
设平面FAE的法向量为，由，得，令z＝1，得，
易知平面FAC的一个法向量为，设二面角E﹣FA﹣C的大小为θ，则，
由图可知二面角E﹣FA﹣C为锐角，所以二面角E﹣FA﹣C的余弦值为．
【点评】本题考查线面垂直的判定定理，考查利用空间向量求解二面角的余弦值，考查空间想象能力，推理论证能力和运算求解能力，考查直观想象和数学运算等核心素养，属于中档题．
22．如图，曲线C1是以原点O为中心，F1、F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的一个交点，且∠AF2F1为钝角，若，．
（1）求曲线C1和C2所在椭圆和抛物线的方程；
（2）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别于曲线C1和C2交于B、E、C、D四点，若G为CD中点，H为BE中点，问是否为定值．若是，请求出此定值；否则请说明理由．
【解答】解：（1）设椭圆方程为，则，得a＝3，
设A（x，y），F1（﹣c，0），F2（c，0）则，
两式相减得，由抛物线定义可知，则或（舍去），
所以椭圆方程为，拗物线方程为．
（2）设B（x1，y1），E（x2，y2），C（x3，y3），D（x4，y4），直线y＝k（x﹣1）（k≠0），代入得，，即（8+9k2）y2+16ky﹣64k2＝0，则，
同理，将y＝k（x﹣1）代入y2＝4x得：ky2﹣4y﹣4k＝0，则，
所以
＝，为定值．芝华中学2023-2024学年（上）高二数学期中测试卷
范围：选择性必修一 考试时间：120分钟
第I卷(选择题 共60分)
一、单项选择题（本题共8小题，每小题5分，共40分.）
1．在空间直角坐标系中，已知点A（1，2，3），B（3，3，5），则线段AB的长度为（ ）
A．3 B．4 C． D．
2．已知直线ax+by+2＝0在y轴上的截距为﹣1，则b＝（ ）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
3．圆x2+y2+2x﹣4y﹣6＝0的圆心和半径分别是（ ）
A．（﹣1，﹣2），11 B．（﹣1，2），11
C．（﹣1，﹣2）， D．（﹣1，2），
4．已知是空间的一个基底，，若，则x+y＝（ ）
A．0 B．﹣6 C．6 D．5
5．直线3x+4y+12＝0与圆（x﹣1）2+（y+1）2＝9的位置关系是（ ）
A．相交且过圆心 B．相切
C．相离 D．相交但不过圆心
6．已知△ABC的顶点在抛物线y2＝2x上，若抛物线的焦点F恰好是△ABC的重心，则|FA|+|FB|+|FC|的值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．如图所示，一只装有半杯水的圆柱形水杯，将其倾斜使杯底与水平桌面成30°，此时杯内水面成椭圆形，此椭圆的离心率为（ ）
A． B． C． D．
8．如图1所示，双曲线具有光学性质；从双曲线右焦点发出的光线经过双曲线镜面反射，其反射光线的反向延长线经过双曲线的左焦点．若双曲线E：＝1（a＞0，b＞0）的左、右焦点分别为F1，F2，从F2发出的光线经过图2中的A，B两点反射后，分别经过点C和D，且cos∠BAC＝﹣，AB⊥BD，则E的离心率为（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题（本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知圆C1：（x+m）2+（y﹣2）2＝1与圆C2：（x﹣1）2+（y+m）2＝16外切，则m的值可以为（ ）
A．﹣5 B．﹣2 C．2 D．5
10．下列选项正确的是（ ）
两条不重合直线l1，l2的方向向量分别是，则l1∥l2
B．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l⊥α
C．直线l的方向向量，平面α的法向量是，则l∥α
D．两个不同的平面α，β的法向量分别是，则α⊥β
11．若曲线C：，下列结论正确的是（ ）
A．若曲线C是椭圆，则1＜k＜9 B．若曲线C是双曲线，则1＜k＜9
C．若曲线C是椭圆，则焦距为 D．若曲线C是双曲线，则焦距为
12．已知O为坐标原点，椭圆的左、右焦点分别为F1、F2，长轴长为，焦距为2c，点P在椭圆C上且满足|OP|＝|OF1|＝|OF2|＝c，直线PF2与椭圆C交于另一个点Q，若，点M在圆上，则下列说法正确的是（ ）
A．椭圆C的离心率为 B．△MF1F2面积的最大值为
C． D．圆G在椭圆C的内部
第Ⅱ卷(非选择题 共90分)
三、填空题（本题共4小题，每小题5分，共20分）
13．经过两条直线l1：x+y＝2，l2：2x﹣y＝1的交点，且直线的一个方向向量的直线方程为 ．
14．已知，，且与的夹角为钝角，则x的取值范围是 ．
15．已知直线l过点P（2，4），且与圆O：x2+y2＝4相切，则直线l的方程为 .
16．晶体结构中有一类为菱方晶系，菱方晶系是指从一个顶点出发等长且互相所成角两两相等的线段形成的平行六面体，如图所示．若一种金属的菱方晶系结构α＝60°，为研究此金属的性质，需计算出侧棱AA1与底面ABCD的所成角的余弦值，则此余弦值为 ．
四、解答题（本题共6个小题，共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．已知以点M为圆心的圆经过点A（2，4），B（6，2），线段AB的垂直平分线交圆M于点C，D，且，
（1）求直线CD的方程；（2）求圆M的方程．
18．已知椭圆的右焦点，且点A（2，0）在椭圆上．
（1）求椭圆C的标准方程：
（2）过点F且斜率为1的直线与椭圆C相交于M、N两点，求线段MN的长度．
19．已知正三棱柱ABC﹣A1B1C1，底面边长AB＝2，AB1⊥BC1，点O、O1分别是边AC，A1C1的中点，建立如图所示的空间直角坐标系．
（1）求正三棱柱的侧棱长；
（2）若M为BC1的中点，试用基底向量、、表示向量；
（3）求异面直线AB1与BC所成角的余弦值．
20．已知双曲线与有相同的渐近线，且经过点．
（1）求双曲线C的方程；
（2）已知直线x﹣y+m＝0与双曲线C交于不同的两点A，B，且线段A，B的中点在圆x2+y2＝20上，求实数m的值．
21．在图1中，△ABC为等腰直角三角形，∠B＝90°，，△ACD为等边三角形，O为AC边的中点，E在BC边上，且EC＝2BE，沿AC将△ACD进行折叠，使点D运动到点F的位置，如图2，连接FO，FB，FE，使得FB＝4．
（1）证明：FO⊥平面ABC．（2）求二面角E﹣FA﹣C的余弦值．
22．如图，曲线C1是以原点O为中心，F1、F2为焦点的椭圆的一部分，曲线C2是以O为顶点、F2为焦点的抛物线的一部分，A是曲线C1和C2的一个交点，且∠AF2F1为钝角，若，．
（1）求曲线C1和C2所在椭圆和抛物线的方程；
（2）过F2作一条与x轴不垂直的直线，分别于曲线C1和C2交于B、E、C、D四点，若G为CD中点，H为BE中点，问是否为定值．若是，请求出此定值；否则请说明理由．
