福建省厦门市重点高中2023-2024学年高二上学期12月月考数学试卷（含解析）

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厦门市重点高中2023-2024学年高二上学期12月月考数学
时间：120分钟 总分：150分
一、单项选择题．本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求．
1已知经过点 两点的直线的方向向量为, 则的值为（ ）
A. B. C.1 D.
2如图, 在空间四边形 中, 设分别是的中点, 则（ ）
A. B.
C. D.
3正项等比数列 中,, 则的公比为（ ）
A. B.3 C.6 D.9
4已知 分别是椭圆的左、右两个焦点, 若该椭圆上存在点满足, 则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
5《周髀算经》中有这样一个问题：从冬至日起，依次有小寒、大寒、立春、雨水、 惊蛰、春分、清明、谷雨、立夏、小满、芒种，这些节气的日影长依次成等差数列， 冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺，前九个节气日影长之和为 85.5 尺，则芒种日影长为（ ）
A.4.5 尺 B.3.5 尺 C.2.5 尺 D.1.5 尺
6已知正四棱锥 的高为, 点满足, 则点到平面的距离为（ ）
A. B.
C. D.
7已知 分别为双曲线的左、右焦点, 过向直线引垂线, 垂足为点, 则双曲线的离心率为（ ）
A.3 B. C.2 D.
8 已知直线 与圆交于两点, 点满足, 则圆心到直线的最大距离为（ ）
A. B.
C. D.
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分．
9.点 为抛物线上一点, 点是抛物线的焦点,为坐标原点,为上一点, 且, 则（ ）
A.
B.
C.直线 的斜率为
D.的面积为 16
10.已知 是等差数列的前项和，且, 则下列选项正确的是（ ）
A.数列 为递增数列 B.
C.的最大值为 D.
11.已知圆 , 圆, 则下列说法正确的（ ）
A.点 在圆 A 内
B.圆 上的点到直线的最小距离为 1
C.圆 和圆的公切线长为 2
D.圆 和圆的公共弦所在的直线方程为
12.在正方体 中,分别为棱的中点, 则下列说法正确的是（ ）
A.直线 与平面垂直
B.平面 与平面平行
C.直线 与直线所成角的正弦值为
D.正方体 的十二条棱所在直线与平面所成的角均相等
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知向量 , 则 .
14.已知直线 与交于两点,是等边三角形,则的值为 .
15.点 到点的距离之差为, 到轴、轴距离之比为, 则的取值范围是 .
16.已知数列 , 对任意正整数成等差数列, 公差为, 则 .
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.（本题满分10分）在正四棱柱 中,是棱上的中点.
(1)求证: ;
(2) 异面直线 与所成角的余弦值.
18.（本题满分12分）如图, 过圆 外一点向圆引切线.
(1)求过点 的圆的切线方程;
(2)若切点为 , 求过切点的直线方程.
19.（本题满分12分）已知等差数列 是递增数列且满足,
且成等比数列.
(1)求 的通项公式;
(2)记 为数列前项的乘积, 求的最大值.
20.（本题满分12分）平面上的动点 到定点的距离等于点到直线的距离, 记动点的轨迹为曲线.
(1)求曲线 的方程;
(2)直线 与曲线相交于两点, 线段的中点为. 是否存在这样的直线, 使得, 若存在, 求实数的值, 若不存在, 请说明理由.
21.（本题满分12分）如图, 正方形 的中心为, 四边形为矩形, 平面平面.
(1)求证: 平面;
(2)设 为线段上的点, 求如果直线和平面所成角的正弦值为, 求的长度.
22.（本题满分12分）如图所示, 以原点 为圆心, 分别以 2 和 1 为半径作两个同心圆, 设为大圆上任意一点, 连接交小圆于点, 设, 过点分别作轴,轴的垂线,两垂线交于点.
(1)求动点 的轨迹的方程;
(2)点 分别是轨迹上两点, 且, 求面积的取值范围.
参考答案及解析
1. 【答案】B
【解析】.
2. 【答案】D
【解析】因为 是的中点, 所以,
故 ,
3. 【答案】A
【解析】设等比数列 的公比为, 因为数列为正项等比数列, 所以,
由题 , 则, 所以, 所以.
4. 【答案】A
【解析】解: 由 分别是椭圆的左、右两个焦点,
则 , 当点位于短轴端点时,取最大值,
要使 上存在点满足, 则的最大值大于或等于, 即点位于短轴
端点时, 大于或等于, 则, 解得.
5. 【答案】C
【解析】从冬至日起, 依次构成等差数列, 设为 ,
由题意得: , 解得,
又冬至、立春、春分日影长之和为 31.5 尺: ,
所以 , 所以, 所以,
6. 【答案】A
【解析】略
7. 【答案】D
【解析】易知 ,
因为直线 与直线垂直, 则直线的方程为,
联立 可得, 即点,所以, ,
则 , 所以,
,
整理可得 , 故该双曲线的离心率为.
8. 【答案】D 【解析】略
9. 【答案】ABD 【解析】略
10. 【答案】BC 【解析】略
11. 【答案】BCD 【解析】略
12. 【答案】ABD 【解析】略
13. 【答案】0
【解析】由 ,则 , 则.
14. 【答案】或
【解析】因为 是等边三角形, 所以,
设圆心 到直线的距离为,
则根据弦长公式可得, , 解得,
即 , 解得,
15. 【答案】
【解析】略
16. 【答案】5001
【解析】略
17. 【解析】(1) 证明: 以 为原点,所在直线分别为轴,轴,
轴, 建立空间直角坐标系,
因为 ,
所以 ,
,
, 所以;
(2) , 设异面直线与所成角的大小为,
则 ,
故异面直线 与所成角的余弦值为.
18. 【解析】(1) 设过点 的圆的切线方程为的圆心为,
半径为 ; 则, 解得或,
故切线方程为 或.
(2) 解法 1: 将切线方程与圆的方程联立成方程组, 由 可得,
由 可得,
即 和,
故过切点 的直线方程为, 整理得.
19. 【解析】(1) 设 的公差为, 由, 得:；
由 成等比数列, 得:, 即:,
整理得: .
由 , 因为是递增数列, 则, 解得:.
所以: 的通项公式为.
（2）因为 , 得: 当时,; 当时,.
从而 ,
又因为: , 所以:的最大值为.
故 的最大值为 945 .
20. 【解析】(1) 由题意, 动点 的轨迹是以为焦点,为准线的抛物线, 故
, 所以曲线的方程为.
(2) 设 , 联立, 得,
且 , 则, 故,
所以 ,所以, 又, 即, 不满足,
所以不存在满足要求的直线 .
21. 【解析】(1) 因为四边形 为矩形, 所以,
又平面 平面, 平面平面平面,
所以 平面;
(2) 如图, 以点 为原点建立空间直角坐标系,
则 , 故,
设平面 的法向量为,
则有 , 可取,设,
则 ,
故 ,
解得 或, 所以或.
22. 【解析】(1) 因为 , 所以
,
设 , 则(是参数), 消去得,
即曲线 的方程为;
(2) ,
当直线 或的斜率不存在时, 易得
当直线 和的斜率都存在时, 设,则
由 得,
同理可得
,
令
综上所述 .
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