四川省眉山市仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 (原卷版+解析版)

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名称 四川省眉山市仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学试题 (原卷版+解析版)
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文件大小 1018.2KB
资源类型 教案
版本资源 人教A版(2019)
科目 数学
更新时间 2023-12-20 20:05:21

文档简介

仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考 数学答案
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列{an}是首项,公差均为1的等差数列,则( )
A .9 B. 8 C. 6 D. 5
【详解】,.故选:D
2. 抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
答案:B
3.甲、乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为( )
A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
答案:D
【详解】设事件A表示“甲雷达发现飞行目标”,事件B表示“乙雷达发现飞行目标”,
因为甲乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,
所以,所以飞行目标被雷达发现的概率为.
4. 在等差数列{an}中,,则的值是( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 24
【详解】由题设,,则,所以.故选:A
5.已知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,且平面平面,则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
【详解】因为是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,且平面平面,
所以得,则,得,,所以
所以在上的投影向量为,故选:B.
6.已知直线与双曲线无公共交点,则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
【详解】双曲线的一条渐近线方程为,
因为直线与C无公共点,所以,
所以,又,所以C的离心率的取值范围为.故选:D.
7.已知为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
【详解】为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,
由椭圆的性质,可得.过F且垂直于x轴直线与C交于M,N两点,
.等于的最小值的3倍,.
椭圆中,,即,则.
,,解得或(舍).故选:B.
8.在平面直角坐标系中,点,若点满足,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
【详解】设,由,得,化简整理得,
故点的轨迹是以为圆心,为半径的圆,
,设,则,
故,
当且仅当三点共线时取等号,所以的最小值为.故选:C.
【点睛】设,得出,将问题转化为点到点和点的距离之和的一半是解决本题的关键.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知曲线:,:,则( )
A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
【详解】曲线: ,则曲线是焦点在轴上的椭圆,其中,所以,离心率为故曲线的长轴长,故A不正确;
曲线:是焦点在轴上的双曲线,其中,所以,离心率为,故与曲线的焦点位置不同,故C不正确;
:的渐近线方程为,故B正确;
又,所以与的离心率互为倒数,故D正确.故选:BD.
10.已知点是圆上的任意一点,直线,则下列结论正确的是( )
A. 直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B. 圆C的圆心到直线l距离的最大值为
C. 点P到直线距离的最小值为2
D. 点P可能在圆上
答案:ACD
【详解】对于A选项,因为直线l的方程可化为.
令解得,所以直线l过定点,
直线l是过点Q的所有直线中除去直线外的所有直线,
圆心到直线的距离为,即直线与圆C相交,
又点在圆上,所以直线l与C至少有一个公共点,
所以直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种,A正确;
对于B选项,当直线l为圆C的切线时,点C到直线l的距离最大,且最大值为,B错误;
对于C选项,因为圆心C到直线的距离,
所以圆C上的点P到直线距离的最小值为,C正确;
对于D选项,圆的圆心为原点O,半径为1,
因为,所以,圆C与圆O内切,故点P可能在圆上,D正确.
11. 如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,则下列结论正确的是( )
A. 点B到直线的距离为
B. 直线CF到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
【答案】ABD
【详解】在棱长为2的正方体中,,分别为,的中点,
以为坐标原点,建立空间直角坐标系,如图,
,2,,,0,,,2,,,2,,,2,,
则点到直线的距离为:
,故A正确;
,0,,,1,,,1,,,2,,
,,,,1,,,2,,,1,,
设平面的法向量,,,
则,取,得,2,,
由于分别为的中点,所以 且,
因此四边形为平行四边形,故,
又平面, 平面,所以平面,
直线到平面的距离为,故B正确;
设直线与平面所成角,则,故C错误;
,2,,,,,
设直线与直线所成角为,则,故D正确.
12.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:,,,,为顶点,,为焦点,P为椭圆上一点,下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )

A.长轴长为4,短轴长为 B.
C.轴,且 D.四边形的内切圆过焦点,
【答案】BD
【详解】
对于A项,若长轴长为4,短轴长为,
可知此时,即A错误;
对于B项,若,此时,
即,符合定义,即B正确;
对于C项,若轴,且,易得,
且,则,即C错误;
对于D项,若四边形的内切圆过焦点,,则O到直线的距离为,
此时,
解之得,又,符合定义,即D正确.
第Ⅱ卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知数列满足,则数列得首项 .2
14. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种,那么游戏时“双方所出的手势不同”的概率为______.
答案:
【详解】游戏时,双方所出的手势共有种;其中“双方所出的手势相同”有种;
“双方所出的手势不同”的概率.
15. 若直线与曲线有两个公共点,则实数的取值范围是_____________.
【详解】对于直线,则直线是过点且斜率为的直线,
对于曲线,则,
曲线C的方程两边平方并整理得,
则曲线C为圆的右半圆,如下图所示:
当直线l与曲线C相切时,,且有,解得,
当直线l过点时,则有,解得,
当直线l过点时,则有,解得,
结合图象可知,当时,直线l与曲线C有两个交点.
16. 已知直线:,:,若和交于点M,则的最大值是_________.
【答案】
【详解】对于直线:,当时,恒成立,即过定点,记为,
对于直线:,当时,恒成立,则恒过定点,记为,因为,无论m取何值,与都互相垂直,和交于点M,
所以,即点M的轨迹为以为直径的圆,
可知圆心为,半径为,所以的最大值是。
四、解答题:本题共6小题,共70分.第17题10分,其他每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知数列的前n项和满足,
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列等差数列;
【解答】(1)当时,;
∵,∴;
∴;
当时,满足上式,故的通项公式为.
(2)设,其中,
∴;∴;
即数列为首项12,公差的等差数列.
18.某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个行政区抽出6个社区进行调查.已知A、B、C三个行政区中分别有18,27,9个社区.
(1)求从A、B、C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(2)若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查.
①试列出所有可能的抽取结果;
②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”,求事件M发生的概率.
答案及解析:
(1)社区总数为,样本容量与总体中的个体数比为
所以从A、B、C三个行政区中应分别抽取的社区个数为2,3,1
(2)①设为在A行政区中抽得的2个社区,为在B行政区中抽得的3个社区,为在C行政区中抽得的社区,在这6个社区中随机抽取2个,全部可能的结果有
,共有15种.
②设事件“抽取的2个社区至少有1个来自A行政区”为事件M,则事件M所包含的所有可能的结果有:,共有9种.所以这2个社区中至少有1个来自A行政区的概率为
19. (12分) 已知圆C的圆心坐标为(1,1),直线被圆C截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过点且与圆C相切的直线方程.
答案及解析:
(1)设圆的标准方程为:
圆心到直线的距离:,

圆C的标准方程:
(2)①当切线斜率不存在时,设切线:,此时满足直线与圆相切.
②当切线斜率存在时,设切线:,即
则圆心到直线的距离:.
解得:,即 则切线方程为:
综上,切线方程为:和
20.(12分如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,, E为棱PB的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求直线CD与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
答案及解析:
平面ABCD,四边形ABCD为正方形,设.
以点A为坐标原点,AB、AD、AP所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系,如下图所示:
则、、、、、.
(1),,,
所以,异面直线、所成角的余弦值为;
(2)设平面的一个法向量为,,,
由,可得,取,可得,则,
,,
因此,直线CD与平面所成角的正弦值为;
(3)设平面的一个法向量为,,,
由,可得,得,取,则,,
所以,平面的一个法向量为,,
由图形可知,二面角为锐角,因此,二面角的余弦值为.
21. (12分)已知椭圆C:的离心率为,左顶点坐标为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,设点,问:直线BM,BN的斜率之和是否为定值?若是,请求出该值;否则,请说明理由.
答案及解析:
(1)由题意得又,所以
所以,所以椭圆C:.
(2)当直线l斜率存在时,设直线l:,(其中),,,
联立,消y可得,
则,解得或,
,所以
(定值)
当直线l的斜率不存在时,直线l:,则M,N关于x轴对称,所以,
所以,综上可得(定值)
22. (12分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为,(),上顶点为A,,且到直线l:的距离为.
(1)求C方程;
(2)与l平行的一组直线与C相交时,证明:这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上;
(3)P为C上的动点,M,N为l上的动点,且,求面积的取值范围.
【解析】
【小问1详解】
设,,由题意得,解得,所以C的方程为.
【小问2详解】
证明:设这组平行线的方程为,与联立消去x,得,则,得.
设直线被C截得的线段的中点为,则,其中,是方程的两个实数根.所以,
消去m,得,所以这些直线被C截得的线段的中点均在直线上.
【小问3详解】
由(2)知,l与C相离,
当直线与C相切时,,解得或.
当时,直线与l的距离为,此时,
当时,直线与l的距离为,此时,
所以面积的取值范围为.仁寿第一中学校2023-2024学年高二上学期12月月考数学
(考试时间:120分钟 试卷满分:150分)
一、单项选择题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。
1. 已知数列{an}是首项,公差均为1的等差数列,则( )
A .9 B. 8 C. 6 D. 5
2. 抛物线的准线方程是( )
A. B. C. D.
3.甲、乙两个雷达独立工作,它们发现飞行目标的概率分别是0.9和0.8,飞行目标被雷达发现的概率为( )
A. 0.02 B. 0.28 C. 0.72 D. 0.98
4. 在等差数列{an}中,,则的值是( )
A. 36 B. 48 C. 72 D. 24
5.已知是平面的一个法向量,是平面的一个法向量,且平面平面,则向量在上的投影向量为( )
A. B. C. D.
6.已知直线与双曲线无公共交点,则C的离心率的取值范围是( )
A. B. C. D.
7.已知为椭圆C:的右焦点,P为C上的动点,过F且垂直于x轴的直线与C交于M,N两点,若等于的最小值的3倍,则C的离心率为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中,点,若点满足,则的最小值为( ).
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共4小题,每小题5分,共20分.在每小题给出的选项中,有多项符合题目要求,全部选对的得5分,部分选对的得2分,有选错的得0分.
9. 已知曲线:,:,则( )
A. 的长轴长为4 B. 的渐近线方程为
C. 与的焦点坐标相同 D. 与的离心率互为倒数
10.已知点是圆上的任意一点,直线,则下列结论正确的是( )
A. 直线l与圆C的位置关系只有相交和相切两种
B. 圆C的圆心到直线l距离的最大值为
C. 点P到直线距离的最小值为2
D. 点P可能在圆上
11. 如图,在棱长为2的正方体中,E,F分别为,AB的中点,则下列结论正确的是( )
A. 点B到直线的距离为
B. 直线CF到平面的距离为
C. 直线与平面所成角的余弦值为
D. 直线与直线所成角的余弦值为
12.我们通常称离心率为的椭圆为“黄金椭圆”.如图,已知椭圆C:,,,,为顶点,,为焦点,P为椭圆上一点,下列条件能使椭圆C为“黄金椭圆”的有( )

A.长轴长为4,短轴长为 B.
C.轴,且 D.四边形的内切圆过焦点,
第Ⅱ卷
三、填空题:本题共4小题,每小题5分,共20分.
13.已知数列满足,则数列得首项
14. “石头、剪刀、布”是民间广为流传的游戏,游戏时双方每次任意出“石头”、“剪刀”、“布”这三种手势中的一种,那么游戏时“双方所出的手势不同”的概率为______.
15. 若直线与曲线有两个公共点,则实数的取值范围是_____________.
16. 已知直线:,:,若和交于点M,则的最大值是_________.
四、解答题:本题共6小题,共70分.第17题10分,其他每题12分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.(10分)已知数列的前n项和满足,
(1)求数列的通项公式;
(2)求证:数列等差数列;
18.某市为了解社区新冠疫菌接种的开展情况,拟采用分层抽样的方法从A、B、C三个行政区抽出6个社区进行调查.已知A、B、C三个行政区中分别有18,27,9个社区.
(1)求从A、B、C三个行政区中分别抽取的社区个数;
(2)若从抽得的6个社区中随机抽取2个进行调查.
①试列出所有可能的抽取结果;
②设事件M为“抽取的2个社区中至少有一个来自A行政区”,求事件M发生的概率.
19. (12分) 已知圆C的圆心坐标为(1,1),直线被圆C截得的弦长为.
(1)求圆C的方程;
(2)求经过点且与圆C相切的直线方程.
20.(12分如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD为正方形,底面ABCD,, E为棱PB的中点.
(1)求直线与所成角的余弦值;
(2)求直线CD与平面所成角的正弦值;
(3)求二面角的余弦值.
21. (12分)已知椭圆C:的离心率为,左顶点坐标为.
(1)求椭圆C的方程;
(2)过点的直线l与椭圆C相交于M,N两点,设点,问:直线BM,BN的斜率之和是否为定值?若是,请求出该值;否则,请说明理由.
22. (12分)已知椭圆C:的左、右焦点分别为,(),上顶点为A,,且到直线l:的距离为.
(1)求C方程;
(2)与l平行的一组直线与C相交时,证明:这些直线被C截得的线段的中点在同一条直线上;
(3)P为C上的动点,M,N为l上的动点,且,求面积的取值范围.
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