第13章 三角形中的边角关系命题与证明复习课 沪科版 八年级上册数学课件（29张PPT）
文档属性
| 名称 | 第13章 三角形中的边角关系命题与证明复习课 沪科版 八年级上册数学课件（29张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 299.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-20 21:52:57 | ||
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文档简介
(共29张PPT)
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
复习课
1.知道三角形的边角关系,以及它们之间的内在联系,并能应用到
解题中去；
一、学习目标
3.会对命题进行分析,找出条件与结论,判断真假,能写出它们的逆
命题；
2.学会用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义；
4.会有条理地思考与表达,会使用“∵”“∴”符号来证明几何
问题,深知几何语言的规范性.
二、知识结构
三角形中的边角关系
三角形
三角形内角和等于180°
三角形外角和：360°
真命题
定义
题设和结论
推论1
与三角形有关的线段
命题的真假
三角形的分类
推论2
推论3,4
分类
命题
定义
命题构成
基本事实、定理、推论
反例
假命题
三、知识梳理
1.三角形的相关概念：
三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的
图形，用符号△表示；
A
B
C
边
内角
顶点
组成三角形的线段叫做三角形的边.
边：
内角：
顶点：
相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角.
相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三、知识梳理
2.三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边.
注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线
段之和大于第三条线段，便可构成三角形;
三、知识梳理
3.三角形的分类：
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按角分
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三、知识梳理
4.三角形的高、中线、角平分线：
A
B
C
D
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段.
高：
中线：
角平分线：
重心：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段.
三条中线的交点
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对
边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
A
B
C
D
A
B
C
D
三、知识梳理
5.命题：
注意：(1)命题有真命题和假命题两种.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.
(2)命题由题设和结论两部分组成.
(3) 命题通常是用“如果..., 那么...”的形式给出.
(4) “如果p, 那么q”中的题设与结论互换，得一个新命题：
“如果q, 那么p” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题
叫做原命题，另一个命题叫做逆命题.
三、知识梳理
(5) 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.
(6)符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例.
要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
5.命题：
三、知识梳理
6.证明：
已知条件
结论
证明
依据定义、公理，已证定理
定理
演绎推理
证明
经过证明的真命题称为定理
从已知条件出发，依据定义、公理，已证定理推导出
结论的方法
演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
三、知识梳理
6.证明：
证明命题的一般步骤:
3.结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
5.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
1.理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
4.分析题意,探索证明思路；
2.根据题意,画出图形;(有些几何题目给出图形，这时该步骤省略)
三、知识梳理
7.三角形内角和定理及推论：
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于180°
作辅助线，将三个内角转化为一个平角或一对同旁内角
证明方法：
推论1：
推论2：
外角的定义：
推论3：
推论4：
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
四、典型例题
例1.在△ABC中的AB、BC两边长分别是2和7，且BC为最长边；若AC边长为整数，求AC边长.
A
B
C
解：设AC边长为x，
根据题意得：x+2＞7即x＞5.
所以x的值大于5小于7.
AC边长为整数，所以x只能取6，故AC边长为6.
分析：根据两条短边之和大于第三边即可解答.
（一）三角形的三边关系
1.等腰三角形的周长为 16，其一边长为 4，则另两边为 .
【当堂检测】
分析：该题未明确边长为4的边，是底边还是腰，所以要分类讨论.
(1)当4为底，计算出另外两边为6，6；
(2)当4为腰，计算出另外两边为4，8；
这时，因为4+4=8，所以不满足三角形三边关系，这种情况的答案要舍去.
6，6
四、典型例题
(1)过点A画出它的高、过点B作出其中线、过点C作出其角平分线.
例2.如图△ABC的三个顶点分别为A、B、C.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
AD⊥BC
A0=C0
∠ACE=∠BCE
0
E
（二）三角形的高、中线、角平分线
四、典型例题
(2)BO为△ABC中线，已知BC-AB=4cm, △B0C的周长为16cm,求△A0B的周长.
A
B
C
0
解：∵BO是△ABC的中线，∴A0=C0 .
∵BC-AB=6cm,
∴(BC+BO+CO)-(AB+A0+B0)=6cm，
∴ △B0C与△A0B的周长差是6cm；
又∵ △B0C的周长为16cm，
∴ △A0B的周长=16-4=12(cm).
2.如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = ∠ ，
②AE是△ABC的中线，则 = = ，
③AF是△ABC的高线，则∠ =∠ =90°．
【当堂检测】
BAD
DAC
BAC
BE
EC
BC
AFB
AFC
A
B
C
E
D
F
例3.写出下列命题的逆命题，判断它们的真假.如果是假命题请举出反例.
四、典型例题
（三）命题与证明
（1）如果a=b，则a2b=b2a；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等，两直线平行.
（1）如果a2b=b2a ，则 a=b，假命题；
（2）如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等， 真命题；
（3）两直线平行，内错角相等，真命题.
反例：a=1，b=0.
例4.试证明平行于同一条直线的两直线平行.
四、典型例题
解：如图所示，a，b，c，d为同一平面四条直线直线a∥b，c∥b
求证：a∥c
1
2
a
c
b
3
)
)
)
d
分析：要证明a∥c，先要证明∠1=∠3
根据平行线性质可得：∠1=∠2，∠3=∠2；
故∠1=∠3.
证明：
∵a∥b，c∥b(已知)
∴∠1=∠2，∠3=∠2(两直线平行，同位角相等)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a∥c(同位角相等，两直线平行)
【当堂检测】
3.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.
（1）与同一直线相交的两条直线一定相交
（2）若ab=0，则a+b=0
解：（1）假命题，如：例4中直线a、直线c都和直线d相交，但a∥c；
（2）假命题，如：当a=1，b=0时，ab=0，但a+b≠0；
(3) 真命题；
(4) 假命题. 如：当a=1，b=1，c=1时，a≥b，b≥c，但a=c.
（3）若a=b，则a2=b2
（4）如果a≥b，b≥c，那么a＞c.
1
2
a
c
b
3
)
)
)
d
例5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，且相交
于点P．已知∠APE=55°，∠AEP=80°，∠B的度数是多少？
四、典型例题
（四）三角形内角和定理及推论1、推论2
A
B
C
D
E
P
解：∵AD⊥BC，∴∠PDC=90°，
∵∠CPD=∠APE=55°，
∴∠PCD=90°-55°=35°，
∵∠AEP=∠B+∠ECB，
∴∠B=80°-35°=45°，
故∠B的度数是为45°．
四、典型例题
例6.如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB=∠CED．求证
△ACE是直角三角形．
A
B
C
D
E
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°∠CED+∠DCE=90°．
∵∠ACB=∠CED，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°．
∴△ACE是直角三角形．
【当堂检测】
4.如图，△ABC中，∠C=45°，∠A=55°，BE是△ABC角平分线，点D在AB
上，且DE∥BC，求∠DEB的度数．
A
B
C
D
E
解：∵∠C=45°，∠A=55°，
∴∠ABC=80°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=40°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE=40°．
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，
已知∠D=29°，则∠1的度数为多少？
【当堂检测】
A
B
C
D
1
(
解：∵CD∥AB，∠D=29°，
∴∠ABD=∠D=29°
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=58°，
∵CD∥AB，∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=122°，
∴∠1=∠BCD-∠ACD=122°-90°=32°．
四、典型例题
例7.如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
（五）三角形的外角
A
B
C
D
E
）
）
）
）
1
2
3
4
分析：作射线BD.通过三角形外角的性质
进行转化即可求证.
证明：如图，作射线BD.
∵∠3、∠4分别为△ABD,△CBD的外角，(外角的定义)
∴∠3= ∠1+ ∠A ；∠4= ∠2+ ∠C ，(外角角的性质)
∴∠3+ ∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C .(等量代换)
∵∠ADC=∠3+ ∠4，∠B=∠1+ ∠2
∴∠A+∠B+∠C=∠ADC.(等量代换)
【当堂检测】
6.如图，已知∠A=54°，∠B=31°，∠C=21°，求∠1的度数.
C
A
B
D
(
1
解：由三角形的外角性质可知，∠CDB=∠A+∠C=75°，
∴∠1=∠CDB+∠B=106°，
故∠1的度数为106°．
【当堂检测】
7.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，
求证：∠BAC＞∠B.
A
B
D
C
(
1
(
2
E
证明：∵CE平分∠ACD，(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的性质)
∵∠BAC＞∠1，(外角的性质)
∴∠BAC＞∠2.
∵∠2＞∠B，(外角的性质)
∴∠BAC＞∠B.
思考：△ABC看似是任意一个三角形，为
什么∠BAC一定大于∠B呢？
将图形画成∠B＞∠BAC的形状，发现题目
中易忽视的条件.
五、课堂总结
本章总结：
2.两概念：
三角形的相关概念
命题与证明的相关概念
3.三线一心：
高、中线、角平分线、重心
1.一思想：
转化思想
证明三角形内角和定理：将三个内角转化为一个平角或一对同旁内角
五、课堂总结
本章总结：
4.四关系：
三角形三边的关系
三角形内角的关系
三角形外角的关系
内角和外角之间的关系
5.五步骤：
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意
(2)画图形
(3)写出已知和求证
(4)分析
(5)写出证明过程
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
复习课
1.知道三角形的边角关系,以及它们之间的内在联系,并能应用到
解题中去；
一、学习目标
3.会对命题进行分析,找出条件与结论,判断真假,能写出它们的逆
命题；
2.学会用自己的语言叙述命题、基本事实和定理的意义；
4.会有条理地思考与表达,会使用“∵”“∴”符号来证明几何
问题,深知几何语言的规范性.
二、知识结构
三角形中的边角关系
三角形
三角形内角和等于180°
三角形外角和：360°
真命题
定义
题设和结论
推论1
与三角形有关的线段
命题的真假
三角形的分类
推论2
推论3,4
分类
命题
定义
命题构成
基本事实、定理、推论
反例
假命题
三、知识梳理
1.三角形的相关概念：
三角形的定义：
由不在同一条直线上的三条
线段首尾顺次相接所组成的
图形，用符号△表示；
A
B
C
边
内角
顶点
组成三角形的线段叫做三角形的边.
边：
内角：
顶点：
相邻两边所组成的角叫做三角形内角，简称角.
相邻两边的公共端点是三角形的顶点.
三、知识梳理
2.三角形的三边关系：
三角形的任意两边之和大于第三边;
三角形的任意两边之差小于第三边.
注意：1.三边关系的依据是：两点之间线段最短.
2.判断三条线段能否构成三角形的方法：只要满足较小的两条线
段之和大于第三条线段，便可构成三角形;
三、知识梳理
3.三角形的分类：
按边分
三边都不相等的三角形
等腰三角形
底边和腰不相等的等腰三角形
等边三角形
按角分
直角三角形
斜三角形
锐角三角形
钝角三角形
三、知识梳理
4.三角形的高、中线、角平分线：
A
B
C
D
从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，
顶点和垂足之间的线段.
高：
中线：
角平分线：
重心：
在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段.
三条中线的交点
在三角形中，一个内角的角平分线与它的对
边相交，这个角的顶点与交点之间的线段.
A
B
C
D
A
B
C
D
三、知识梳理
5.命题：
注意：(1)命题有真命题和假命题两种.
对某一事件作出正确或不正确判断的语句叫做命题.
(2)命题由题设和结论两部分组成.
(3) 命题通常是用“如果..., 那么...”的形式给出.
(4) “如果p, 那么q”中的题设与结论互换，得一个新命题：
“如果q, 那么p” 这两个命题称为互逆命题.其中一个命题
叫做原命题，另一个命题叫做逆命题.
三、知识梳理
(5) 当一个命题是真命题时它的逆命题不一定是真命题.
(6)符合命题的题设，但不满足命题的结论的例子，称之为反例.
要说明一个命题是假命题，只要举一个反例即可.
5.命题：
三、知识梳理
6.证明：
已知条件
结论
证明
依据定义、公理，已证定理
定理
演绎推理
证明
经过证明的真命题称为定理
从已知条件出发，依据定义、公理，已证定理推导出
结论的方法
演绎推理的过程就是演绎证明，简称证明.
三、知识梳理
6.证明：
证明命题的一般步骤:
3.结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;
5.依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;
1.理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);
4.分析题意,探索证明思路；
2.根据题意,画出图形;(有些几何题目给出图形，这时该步骤省略)
三、知识梳理
7.三角形内角和定理及推论：
三角形内角和定理：
三角形的内角和等于180°
作辅助线，将三个内角转化为一个平角或一对同旁内角
证明方法：
推论1：
推论2：
外角的定义：
推论3：
推论4：
直角三角形的两个锐角互余
有两个角互余的三角形是直角三角形
三角形的一边与另一边的延长线组成的角
三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和
三角形的一个外角大于与它不相邻的任何一个内角
四、典型例题
例1.在△ABC中的AB、BC两边长分别是2和7，且BC为最长边；若AC边长为整数，求AC边长.
A
B
C
解：设AC边长为x，
根据题意得：x+2＞7即x＞5.
所以x的值大于5小于7.
AC边长为整数，所以x只能取6，故AC边长为6.
分析：根据两条短边之和大于第三边即可解答.
（一）三角形的三边关系
1.等腰三角形的周长为 16，其一边长为 4，则另两边为 .
【当堂检测】
分析：该题未明确边长为4的边，是底边还是腰，所以要分类讨论.
(1)当4为底，计算出另外两边为6，6；
(2)当4为腰，计算出另外两边为4，8；
这时，因为4+4=8，所以不满足三角形三边关系，这种情况的答案要舍去.
6，6
四、典型例题
(1)过点A画出它的高、过点B作出其中线、过点C作出其角平分线.
例2.如图△ABC的三个顶点分别为A、B、C.
A
B
C
A
B
C
A
B
C
D
AD⊥BC
A0=C0
∠ACE=∠BCE
0
E
（二）三角形的高、中线、角平分线
四、典型例题
(2)BO为△ABC中线，已知BC-AB=4cm, △B0C的周长为16cm,求△A0B的周长.
A
B
C
0
解：∵BO是△ABC的中线，∴A0=C0 .
∵BC-AB=6cm,
∴(BC+BO+CO)-(AB+A0+B0)=6cm，
∴ △B0C与△A0B的周长差是6cm；
又∵ △B0C的周长为16cm，
∴ △A0B的周长=16-4=12(cm).
2.如图
①AD是△ABC的角平分线，则∠ =∠ = ∠ ，
②AE是△ABC的中线，则 = = ，
③AF是△ABC的高线，则∠ =∠ =90°．
【当堂检测】
BAD
DAC
BAC
BE
EC
BC
AFB
AFC
A
B
C
E
D
F
例3.写出下列命题的逆命题，判断它们的真假.如果是假命题请举出反例.
四、典型例题
（三）命题与证明
（1）如果a=b，则a2b=b2a；
（2）等角的补角相等；
（3）内错角相等，两直线平行.
（1）如果a2b=b2a ，则 a=b，假命题；
（2）如果两个角的补角相等，那么这两个角也相等， 真命题；
（3）两直线平行，内错角相等，真命题.
反例：a=1，b=0.
例4.试证明平行于同一条直线的两直线平行.
四、典型例题
解：如图所示，a，b，c，d为同一平面四条直线直线a∥b，c∥b
求证：a∥c
1
2
a
c
b
3
)
)
)
d
分析：要证明a∥c，先要证明∠1=∠3
根据平行线性质可得：∠1=∠2，∠3=∠2；
故∠1=∠3.
证明：
∵a∥b，c∥b(已知)
∴∠1=∠2，∠3=∠2(两直线平行，同位角相等)
∴∠1=∠3(等量代换)
∴a∥c(同位角相等，两直线平行)
【当堂检测】
3.判断下列命题是真命题还是假命题，如果是假命题，请举出一个反例.
（1）与同一直线相交的两条直线一定相交
（2）若ab=0，则a+b=0
解：（1）假命题，如：例4中直线a、直线c都和直线d相交，但a∥c；
（2）假命题，如：当a=1，b=0时，ab=0，但a+b≠0；
(3) 真命题；
(4) 假命题. 如：当a=1，b=1，c=1时，a≥b，b≥c，但a=c.
（3）若a=b，则a2=b2
（4）如果a≥b，b≥c，那么a＞c.
1
2
a
c
b
3
)
)
)
d
例5.如图，在△ABC中，AD是BC边上的高线，CE是一条角平分线，且相交
于点P．已知∠APE=55°，∠AEP=80°，∠B的度数是多少？
四、典型例题
（四）三角形内角和定理及推论1、推论2
A
B
C
D
E
P
解：∵AD⊥BC，∴∠PDC=90°，
∵∠CPD=∠APE=55°，
∴∠PCD=90°-55°=35°，
∵∠AEP=∠B+∠ECB，
∴∠B=80°-35°=45°，
故∠B的度数是为45°．
四、典型例题
例6.如图，AB、ED分别垂直于BD，点B、D是垂足，且∠ACB=∠CED．求证
△ACE是直角三角形．
A
B
C
D
E
证明：∵AB⊥BD，ED⊥BD，
∴∠ABC=∠CDE=90°，
∴∠ACB+∠BAC=90°∠CED+∠DCE=90°．
∵∠ACB=∠CED，
∴∠BAC=∠DCE，
∴∠ACB+∠DCE=90°，
∴∠ACE=180°-（∠ACB+∠DCE）=90°．
∴△ACE是直角三角形．
【当堂检测】
4.如图，△ABC中，∠C=45°，∠A=55°，BE是△ABC角平分线，点D在AB
上，且DE∥BC，求∠DEB的度数．
A
B
C
D
E
解：∵∠C=45°，∠A=55°，
∴∠ABC=80°，
又∵BE平分∠ABC，
∴∠CBE=40°，
∵DE∥BC，
∴∠DEB=∠CBE=40°．
5.如图，在△ABC中，∠BAC=90°，BD平分∠ABC，CD∥AB交BD于点D，
已知∠D=29°，则∠1的度数为多少？
【当堂检测】
A
B
C
D
1
(
解：∵CD∥AB，∠D=29°，
∴∠ABD=∠D=29°
又∵BD平分∠ABC，
∴∠ABC=2∠ABD=58°，
∵CD∥AB，∠BAC=90°，
∴∠ACD=∠BAC=90°，∠ABC+∠BCD=180°，
∴∠BCD=180°-∠ABC=122°，
∴∠1=∠BCD-∠ACD=122°-90°=32°．
四、典型例题
例7.如图，求证：∠A+∠B+∠C=∠ADC.
（五）三角形的外角
A
B
C
D
E
）
）
）
）
1
2
3
4
分析：作射线BD.通过三角形外角的性质
进行转化即可求证.
证明：如图，作射线BD.
∵∠3、∠4分别为△ABD,△CBD的外角，(外角的定义)
∴∠3= ∠1+ ∠A ；∠4= ∠2+ ∠C ，(外角角的性质)
∴∠3+ ∠4= ∠1+ ∠A + ∠2+ ∠C .(等量代换)
∵∠ADC=∠3+ ∠4，∠B=∠1+ ∠2
∴∠A+∠B+∠C=∠ADC.(等量代换)
【当堂检测】
6.如图，已知∠A=54°，∠B=31°，∠C=21°，求∠1的度数.
C
A
B
D
(
1
解：由三角形的外角性质可知，∠CDB=∠A+∠C=75°，
∴∠1=∠CDB+∠B=106°，
故∠1的度数为106°．
【当堂检测】
7.如图，已知CE为△ABC外角∠ACD的平分线，CE交BA的延长线于点E，
求证：∠BAC＞∠B.
A
B
D
C
(
1
(
2
E
证明：∵CE平分∠ACD，(已知)
∴∠1=∠2.(角平分线的性质)
∵∠BAC＞∠1，(外角的性质)
∴∠BAC＞∠2.
∵∠2＞∠B，(外角的性质)
∴∠BAC＞∠B.
思考：△ABC看似是任意一个三角形，为
什么∠BAC一定大于∠B呢？
将图形画成∠B＞∠BAC的形状，发现题目
中易忽视的条件.
五、课堂总结
本章总结：
2.两概念：
三角形的相关概念
命题与证明的相关概念
3.三线一心：
高、中线、角平分线、重心
1.一思想：
转化思想
证明三角形内角和定理：将三个内角转化为一个平角或一对同旁内角
五、课堂总结
本章总结：
4.四关系：
三角形三边的关系
三角形内角的关系
三角形外角的关系
内角和外角之间的关系
5.五步骤：
证明命题的一般步骤:
(1)理解题意
(2)画图形
(3)写出已知和求证
(4)分析
(5)写出证明过程