18.2.1 矩形 第2课时 矩形的判定 课 件 人教版数学八年级下册（35张PPT）

(共35张PPT)
第十八章 平行四边形
矩形的判定
情境导入
同学们我们首先回忆一下:
1. 矩形的概念:有一个角是直角的平行四边形叫做矩形．
2. 矩形的性质:矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
矩形的概念可以用于判定矩形，我们来看一看下面的一个例子：
情境导入
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(1)先截出两对符合规格的铝合金窗料,如图①,使AB＝CD , EF＝GH ;
(2)摆放成如图②所示的四边形,则这时窗框的形状是 　,根据的数学道理是　 　;
平行四边形
两组对边分别相等的四边形是平行四边形
情境导入
工人师傅做铝合金窗框,分下面三个步骤进行：
A
B
C
E
G
D
F
H
①
②
③
④
(3)将直角尺靠窗框的一个角,如图③,调整窗框的边框,当直角尺的两条直角边与窗框无缝隙时, 如图④, 说明窗框合格, 这时窗框是 ,根据的数学道理是　　 ．
矩形
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形
概念可以判定矩形,比照平行四边形的判定,那矩形性质的逆命题是不是也可以用于矩形的判定呢 我们来看下.
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
探索新知
已知如图,为了防蚊虫,数学老师为自己的宿舍门定制了一扇矩形形状的纱门．安装师傅上门安装时,数学老师只利用卷尺测量了两组对边的长度是否分别相等,又测量了两条对角线的长度是否相等,就犀利地指出该纱门不规正,要求重新制作．同学们想一想,数学老师是如何判断纱门不是矩形的
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
探索新知
我们可以这么思考：
1. 为什么测量两组对边的长度是否分别相等
两组对边分别相等的四边形是平行四边形.
2. 为什么测量两条对角线的长度是否相等
由矩形的对角线相等的性质,我们猜测:对角线相等的平行四边形是矩形．
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
O
下面我们来验证我们的判断:
已知：如图，四边形ABCD是平行四边形，且AC=BD.
求证：四边形 ABCD 是矩形.
探索新知
探究点1：对角线相等的平行四边形是矩形
A
B
C
D
O
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB=CD ，AB∥CD .
在△ABC和△DCB中，
∴△ABC≌△DCB（SSS）.
∴∠ABC=∠DCB .
∵AB∥DC ，
∴∠ABC+∠DCB=180° .
∴∠ABC=90°.
∴四边形ABCD是矩形.
探索新知
几何语言：
对角线相等的平行四边形是矩形
∵四边形ABCD 是平行四边形，
且 AC=BD.
∴四边形ABCD 是矩形
归纳总结
1.八年级（3）班同学要在广场上布置一个矩形花坛，计划用红花摆成两条对角线.如果一条对角线用了38盆红花，还需要从花房运来多少盆红花？为什么？如果一条对角线用了49盆呢？
对应训练
答：需要再搬来38盆红花.根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处不放花.
需要再搬来48盆红花.根据矩形的对角线相等，以及对角线交点处要放花.
2.如图， ABCD 的对角线 AC, BD 相较于点O , OAB 是等边三角形，且AB=4.求 ABCD 的面积.
A
B
C
D
O
4
点击查看解题过程
线段关系
矩形ABCD
利用勾股定理
BC长
等边 OAB+ ABCD
Rt
AC=BD
对应训练
A
B
C
D
O
4
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.
又 OAB是等边三角形,
∴ OA=OB=4. ∴ AC=BD=8.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°，∴ ABC 是直角三角形.
∴
∴
对应训练
探索新知
D
A
B
C
前面我们研究了矩形的四个角，知道它们都是直角.它的逆命题成立吗？即四个角都是直角的四边形是矩形吗？进一步，至少有几个角是直角的四边形是矩形？
我们一起来验证一下：
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
探索新知
已知：如图，在四边形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠D =90°
求证：四边形 ABCD 是矩形.
证明:∵ ∠A=∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠B =180°, ∠B+∠C =180°.
∴ AD∥BC， AB∥CD.
∴四边形 ABCD 是平行四边形.
又∠A=90°， ∴四边形ABCD 是矩形.
探究点2：有三个角是直角的四边形是矩形
D
A
B
C
有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵∠A=∠B=∠C =90°，
∴四边形 ABCD 是矩形
归纳总结
如图，在△ABC中，∠ACB=90°，D是AB的中点，DF，DE分别是△BDC,△ADC的角平分线. 求证：四边形DECF是矩形.
对应训练
A
C
B
D
E
F
证明:∵ ∠ACB=90°，D是AB的中点，
∴AD=CD=BD.
∵DE是△ADC的角平分线， ∴DE⊥AC.
∴∠DEC=90°. 同理得∠CFD=90°.
又∠ACB=90°， ∴四边形DECF 是矩形.
经典例题
例1 如图，在 ABCD 中，对角线AC，BD相交于点O，
且OA=OD，∠OAD=50°.求∠OAB的度数.
A
B
C
D
O
又∠OAD=50°，∴ ∠OAB=40°.
50°
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC= AC，OB=OD= BD.
又OA=OD, ∴AC=BD.
∴四边形ABCD是矩形.
又∵∠A=90°，∴ ABCD 是矩形. ∴∠DAB=90°
变式训练
变式 如图②, 已知 ABCD的对角线AC, BD 相交于点
O, △AOB是等边三角形, AB=4cm, 求 ABCD的面积．
A
B
C
D
O
线段关系
矩形ABCD
利用勾股定理
BC长
等边 OAB+ ABCD
Rt
AC=BD
点击查看解题过程
A
B
C
D
O
4
证明:∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AC=2OA=2OC，BD=2OB=2OD.
又 OAB是等边三角形,
∴ OA=OB=4. ∴ AC=BD=8.
∴四边形ABCD是矩形.
∴∠ABC=90°，∴ ABC 是直角三角形.
∴
∴
变式训练
1.依据所标数据，下列不一定是矩形的是（ ）
对应训练
B
A
B
C
D
90°
90°
90°
90°
90°
90°
90°
4
4
4
4
8
8
5
5
2.如图，在 ABCD中,对角线AC,BD 相交于点O, AC⊥AB, ∠AOB=60°, E, F分别是OB, OD的中点, 连接AE, CE, CF, AF．
（1）求证：四边形AECF为矩形;
（2）若AB=3, 求矩形AECF的面积．
对应训练
A
B
C
D
O
E
F
对应训练
A
B
C
D
O
E
F
（1）证明:∵四边形ABCD是平行四边形,
∴OA＝OC,OB＝OD．
∵E,F分别是OB,OD的中点,
∴OE= OB,OF= OD．
∴OE=OF,∴四边形AECF是平行四边形．
∵AC⊥AB,∠AOB=60°,∴∠BAO=90°,
∠ABO=30°,∴OA= OB=OE．
∴AC=EF,∴ AECF为矩形．
（2）解:由（1）得OA=OE=OC=OF,
∠AOB=60°,∠ABO=30°,
∴△OAE是等边三角形,
∠OFA=∠OAF= ∠AOB=30°=∠ABO．
∴AE=OA ,AF=AB=3．
在Rt△OAB中,由勾股定理易得OA= ,
∴AE=OA= ．
∴矩形AECF的面积＝AF·AE＝ ．
对应训练
A
B
C
D
O
E
F
几何语言：
定理1：对角线相等的平行四边形是矩形
矩形的判定定理：
∵ ABCD 的对角线 AC=BD.
∴ ABCD 是矩形
定理2：有三个角是直角的四边形是矩形
几何语言：
∵在四边形 ABCD 中， ∠A=∠B=∠C =90°.
∴四边形 ABCD 是矩形
定理3：矩形的定义(有一个角是直角的平行四边形)
课堂总结
知识结构
四边形
有三个角是直角
平行四边形
对角线相等
有一个角是直角
矩形
矩形
矩形
1.如图，四边形ABCD是平行四边形,对角线AC,BD 相交于点O, 且∠1=∠2.它是一个矩形吗？为什么？
课堂练习
解: 它是一个矩形.
理由：∵∠1=∠2，∴OB=OC.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ OA=OC，OB=OD. ∴OA=OC=OB=OD.
∴AC=BD， ∴ ABCD是矩形.
A
B
C
D
O
1
2
课堂练习
2.求证：四个角都相等的四边形是矩形.
证明：由四边形的内角和定理得
∠A+∠B+∠C+∠D=360°，
∵∠A=∠B=∠C=∠D，
∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
课堂练习
3.一个木匠要制作矩形踏板.他在一个对边平行的长木板上分别沿与长边垂直的方向锯了两次，就能得到矩形踏板.为什么？
解：如图，∵AB⊥AD，CD⊥AD
∴AB∥CD，∠A=90°.
∵AD∥BC
∴四边形ABCD是平行四边形.
又∠A=90°，∴四边形ABCD是矩形.
A
B
C
D
l1
l2
课堂练习
4.如图，为了做一个无盖纸盒，小明先在一块矩形硬纸板的四角画出四个相同的正方形，用剪刀剪下.然后把纸板的四边沿虚线折起，并用胶带粘好，一个无盖纸盒就做成了.纸盒的底面是什么形状？为什么？
课堂练习
解：纸盒的底面是矩形.
如图，∵四边形ABCD是正方形.
∴∠ADC=90°.
∴∠EDF=90°.
同理∠E=∠F=90°，
∴四边形DFGE是矩形.
A
B
C
D
E
F
G
课堂练习
5.如图，将等腰三角形纸片ABC沿底边BC上的高AD剪成两个三角形.用这两个三角形你能拼成多少种平行四边形？试一试，分别求出它们的对角线的长.
A
B
C
m
m
h
n
n
课堂练习
解：能拼成三种平行四边形.
（1）如图①的矩形，其对角线长为m.
（2）如图②的平行四边形.
其两条对角线长分别为n,
（3）如图③的平行四边形，
其对角线长分别为h，
m
h
n
①
m
h
n
②
h
m
n
③
6.如图，在□ABCD中,AE⊥BC于点E,点F在BC边的延长线上，只需再添加一个条件即可证明四边形AEFD是矩形，这个条件可以是 (写出一个即可）
A
C
D
B
E
F
BE=CF
课堂练习
7.如图， ABCD 的四个内角的平分线分别相交于点 E,F ,G , H. 求证：四边形 EFGH 是矩形.
A
B
C
D
G
H
E
F
角关系
直角
矩形EFGH
ABCD +角平分线
+ 三角形内角和
课堂练习
A
B
C
D
G
H
E
F
课堂练习
证明：∵AB∥CD，∴∠ABC＋∠BCD＝180°.
∵BG平分∠ABC，CG平分∠BCD，
∴∠GBC＋∠GCB＝ (∠ABC＋∠BCD)
＝ ×180°＝90°，
∴∠G＝90°. 同理可得∠E=∠AFB＝90°.
∴∠GFE＝∠AFB=∠E＝∠G＝90°.
∴四边形EFGH是矩形．