18.2.1 矩形 第1课时 矩形的性质 课件 人教版数学八年级下册（31张PPT）

(共31张PPT)
第十八章 平行四边形
矩形的性质
情境导入
拿一个活动的平行四边形教具,轻轻拉动一个点,它还是平行四边形吗 使一个角是直角,这时它是什么图形
点击查看平行四边形到矩形的变化过程
平行四边形
一个角是直角
矩形的概念：有一个角是直角的平行四边形叫做矩形,也就是长方形．
仔细观察下列实际生活中的图片,你觉得哪些是矩形的形象
矩形是生活中很常见的图形,你还能列举出矩形在生活中应用的其他例子吗
我们一起来探讨一下矩形的性质吧!
探索新知
探究点1：矩形的性质
如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线.
1.矩形是特殊的平行四边形，它和平行四边形相比，有什么特殊之处？
A
B
C
D
有一个角是直角
探索新知
探究点1：矩形的性质
如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线.
2.平行四边形的对角相等，邻角互补，那么矩形的四个角会有怎样的关系呢？
A
B
C
D
矩形的四个角都相等，都是直角
探索新知
探究点1：矩形的性质
如图，取一张矩形纸片，用直尺画出它的对角线.
3.测量我们刚刚折纸时的两条对角线长度，这两个长度有什么关系？
A
B
C
D
两条对角线长度相等
探索新知
探究点1：矩形的性质
1.如图，在矩形ABCD中，∠A=90°，
求证：∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∴AB∥CD, ∠A=∠C.
证明：∵矩形 ABCD 是特殊的平行四边形，
同理：∠B=90°.∴∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵∠A=90°，
∴∠C=90°，∠D=180°－90°=90°.
D
A
B
C
下面我们来一起验证一下：
2.如图，四边形ABCD是矩形.求证：AC=BD.
探索新知
探究点1：矩形的性质
A
B
C
D
∴∠ABC=∠DCB=90°.AB=DC.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
又BC=CB.
在△ABC与△DCB中，
AB=DC
∠ABC=∠DCB
BC=CB
∴△ABC≌△DCB(SAS) ∴AC=BD.
归纳总结：矩形的四个角都是直角；矩形的对角线相等.
对应训练
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性质是( )
A. 对边平行
B. 对边相等
C. 对角相等
D. 对角线相等
D
对应训练
2. 如图，在矩形ABCD中，E是AB的中点，连接DE，CE.求证：△ADE≌△BCE.
D
A
B
C
E
∴AD=BC, ∠A=∠B=90°.
证明：∵四边形 ABCD 是矩形，
∵E是AB中点，
∴AE=BE.
∴△ADE≌△BCE(SAS).
对应训练
3. 矩形是轴对称图形吗？如果是，它有几条对称轴？
矩形是轴对称图形.它有两条对称轴，分别是对边中点连线所在的直线.
A
B
C
D
【选自教材P53,练习第3题】
直角三角形斜边上的中线性质
新知探究
如图,矩形ABCD的对角线AC,BD相交于点O. 我们观察Rt△ABC,在Rt△ABC中,BO是斜边AC上的中线,BO与AC有什么关系
1.矩形ABCD的对角线AC把矩形分成了两个三角
形,在△ABC中∠ABC是什么角
A
B
C
D
O
∠ABC是直角
直角三角形斜边上的中线性质
新知探究
2. AO与CO有什么关系 BO与DO有什么关系
A
B
C
D
AO=CO，BO=DO
3. BO与BD有什么关系 与AC又有什么关系
BO= BD，BO= AC
O
归纳总结：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
例1 如图，矩形 ABCD 的对角线 AC ，BD 相交于点 O，∠AOB=60°，AB=4.求矩形对角线的长。
A
B
C
D
O
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分.
∴OA=OB,
又∠AOB=60°
∴△OAB是等边三角形.
∴OA=AB=4 ∴AC=BD=2OA=2×4=8
60°
4
对应训练
1. 如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AD=BD , CD=4,则AB的长为（ ）
A
C
B
D
A
A.8 B. 6 C. 4 D. 2
对应训练
2. 如图，O是矩形ABCD对角线的交点，∠AOD=120°，AE平分∠BAD,则∠EAC= .
15°
A
B
C
D
O
E
120°
对应训练
3. 一个矩形的一条对角线长为8，两条对角线的一个交角为120°.求这个矩形的边长(结果保留小数点后两位）.
【选自教材P53,练习第2题】
矩形的性质
利用勾股定理
依题作图
120°
+120°
直角三角形(30°)
A
C
D
O
B
30°
点击查看解题过程
如图所示:
∵四边形ABCD是矩形，
∴AC与BD相等且互相平分，∠ABC=90°.
∴OB=OC.
又∠BOC=120°,
∴∠ACB=30°.
∴AB= AC= 4.
∴BC= .
∴ .
120°
A
C
D
O
B
30°
解：
例2 如图,在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，AE⊥BD 于点E，且BE∶ED=1∶3，AD=6cm．求AE 的长．
A
B
D
O
E
∵四边形ABCD是矩形，
∴BO=OD= BD= AC=OA,
∠BAD=90°.
∵BE∶ED=1∶3，∴BE=OE.
又AE⊥BD,∴AB=AO=BO.∴△ABO是等边三角形.
∴∠ABO=60°.∴∠ADE=90°－60°=30°.
∴AE= AD= ×6=3（cm)
C
对应训练
1. 如图,在矩形ABCD 中，对角线AC，BD 相交于点O，点E，F 分别是AO，AD 的中点，连接EF.若AB=6cm，BC=8cm，则EF的长是（ ）.
A
C
D
O
B
F
E
A. 2.2cm B. 2.3cm
C. 2.4cm D. 2.5cm
D
对应训练
2. 如图,O是矩形ABCD 的对角线AC 的中点, M 是AD 的中点. 若AB=5, AD=12,求四边形ABOM 的周长.
矩形的性质
矩形对角线的长
A
C
D
O
B
M
+勾股定理
直角三角形斜边上的中线的性质
OB的长
三角形的中位线
OM的长
四边形ABOM的周长=AB+OB+OM+AM
点击查看解题过程
∵四边形ABCD是矩形，
∴BC=AD=12,CD=AB=5,∠ABC=90°.
∴AC= .
∵O是AC的中点，∴OB= AC=6.5.
∵M是AD的中点，∴OM是△ACD的中位线.
∴OM= CD=2.5，AM= AD=6.
∴四边形ABOM的周长为：
AB+OB+OM+AM=5+ 6.5+2.5+6=20.
A
C
D
O
B
M
解：
课堂总结
矩形的概念：
矩形的性质：
直角三角形斜边上的中线的性质：
有一个角是直角的平行四边形叫做矩形.
矩形的四个角都是直角;
矩形的对角线相等.
直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半.
知识结构
平行
四边形
矩形
性质：边、角、对角线
转化：直角三角形、等腰三角形
课堂练习
1. 在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC.求∠A,∠B的度数.
B
C
A
∵△ABC为直角三角形，且AB=2AC
∴∠B=30°
∠A=90°－30°=60°
课堂练习
A
C
B
D
E
2. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB于点D,∠ACD=3∠BCD, E是斜边AB的中点.∠ECD是多少度？为什么？
1
2
课堂练习
A
C
B
D
E
1
2
∵△ABC为直角三角形，∠ACB=90°
∴∠A+∠B=90°
又CD⊥AB,∴∠1+∠B=90°.∴∠A=∠1.
∵E是AB的中点，∴CE=AE.
∴∠2=∠A.∴∠1=∠2.
又∠ACD=3∠1,∴∠ECD=∠1+∠2.
∴∠ECD= ∠ACB= ×90°=45°
3. 如图，四边形ABCD是矩形，对角线AC、BD相交于点O，CE∥DB，交AB的延长线于点E．AC和CE相等吗？为什么？
A
C
D
O
B
E
矩形的性质
平行四边形
AC=CE
边相等 (BD=CE)
点击查看解题过程
AE∥DC
对角线相等 (BD=AC)
课堂练习
∵四边形ABCD是矩形，
∴AE∥DC, AC=BD.
又BD∥CE,
∴四边形ABCD为平行四边形.
∴BD=CE.
∴AC=CE.
解：
A
C
D
O
B
E
课堂练习
拓展提升
4. 在矩形ABCD中，AB=5 , AD=12 , 点P是AD、DC上一动点，求点P到两条对角线的距离之和。
A
C
D
O
B
E
F
P
①当点P在AD边上时，
如图所示，作PE⊥AC于点E,PF⊥BD于点F，连接PO.
∵四边形ABCD是矩形，且AB=5，AD=12，
∴AC=BD=13，AO=DO= .
A
C
D
O
B
E
F
P
= AO×（PE+PF)
∴PE+PF=
=15
∴
又
②当点P在DC边上时，
同理可得：
A
C
D
O
B
E
F
P
= OD×（PE+PF)
∴PE+PF=
=15
又
综上所述：点P到两条对角线的距离之和为