3.2.1.2函数的单调性的应用 讲义-2023-2024学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册（无答案）

第18讲、3.2.1.2函数的单调性的应用
知识点一、增函数、减函数变形
(
1、
增函数：
若对于定义域
内的某个区间
上的任意两个自变量
、
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是
增函数
；
对任意
、
，且
，若
或
，则函数
在区间
为单调增函数
2、减函数：
若对于定义域
内的某个区间
上的任意两个自变量
、
，当
时，都有
，那么就说函数
在区间
上是
减函数
.
对任意
、
，且
，若
或
，则函数
在区间
为单调减函数.
口诀：同增异减
)
知识点二、单调性的性质
(1)增函数增函数增函数，减函数减函数减函数
(2)增函数-减函数增函数，减函数-增函数减函数
(3)函数与函数的单调性相反；
(4)倒数关系
时，函数与的单调性相反（）；
时，函数与的单调性相同（）
(
知识点三、单调性的三种应用
有定义我们可以得到单调性的三个重要要素：
①
x
1
＞
x
2
（
x
1
＜
x
2
）
；
②
f
(
x
1
)
＞
f
(
x
2
)
（
f
(
x
1
)
＜
f
(
x
2
)
）
；
③
f
(
x
)
是增函数（减函数）
.
那么，我们只要知道其中的两个，都可以去推导第三个，这样我们就得到了如下三种题型：
)题型一、证明函数单调性（①②③）
例1、根据定义，请研究函数f(x)=kx+b的单调性.
题型二、比较函数值的大小（①③②）
例2、若函数在上是增函数，比较与.
【变式1】、已知函数在(0，+∞)上是减函数，比较与的大小.
【变式2】、已知函数f (x)= x2－2x＋2，那么f (1)，f (－1)，f ()之间的大小关系为 .
题型三、解不等式（②③①）
例3、（1）已知f(2x－3)>f(5x－6)，若函数f(x)是(－∞，＋∞)上的增函数，则实数x的取值范围为________．
（2）若函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的减函数，则实数x的取值范围为______．
【变式4】、已知是定义在上的增函数，且，求的取值范围
【跟踪训练】已知函数，若，则实数的取值范围是________．
知识点四、单调性求参数取值范围
例6、若函数f(x)＝是定义在R上的减函数，则a的取值范围为(　　)
A. B. C. D.∪
【跟踪训练】
1、函数在上单调递增，则实数a的取值范围为________．
2、已知函数是上的增函数，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
知识点五、定义法证明抽象函数单调性
例5、已知函数f(x)对于任意x，y∈R，总有f(x)＋f(y)＝f(x＋y)，且当x＞0时，f(x)＜0，f(1)＝－.
（1）求证：f(x)在R上是减函数；
（2）求f(x)在[－3,3]上的最大值和最小值．
【跟踪训练】
已知函数的定义域为R，对任意实数、均有，且，又当时，有.
求的值；
（2）求证：是单调递增函数.
1．若函数f(x)在R上是减函数，则有(　　)
A．f(3)f(5) D．f(3)≥f(5)
2．已知f(x)是定义在R上的增函数，且f(x2－2)3．如果函数f(x)在[a，b]上单调递增，那么对于任意的x1，x2∈[a，b](x1≠x2)，下列结论中不正确的是(　　)
A.>0 B．(x1－x2)[f(x1)－f(x2)]>0
C．若x10
4．函数在和都是增函数，若，且那么（ ）
A． B． C． D．无法确定
6．已知函数f（x）、g（x）定义在同一区间D上，f（x）是增函数，g（x）是减函数，且g（x）≠0,则在D上 ( )
A、f(x)+g(x)一定是减函数 B、f(x)-g(x)一定是增函数
C、f(x)·g(x)一定是增函数 D、一定是减函数
6．已知在实数集上是减函数，若，则下列正确的是 （ ）
A． B．
C． D．
7．已知函数f(x)在[0，＋∞)上单调递减，且f(2)＝－1，则满足f(2x－4)>－1的实数x的取值范围是(　　)
A．(3，＋∞) B．(－∞，3) C．[2,3) D．[0,3)
8．已知f(x)为R上的减函数，则满足的实数x的取值范围是(　　)
A．(－1,1) B．(0,1)
C．(－1,0)∪(0,1) D．(－∞，－1)∪(1，＋∞)
9．已知函数y＝f(x)在定义域(－1,1)上是减函数，且f(1－a)10．已知函数f(x)＝若f(4－a)>f(a)，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，2) B．(2，＋∞) C．(－∞，－2) D．(－2，＋∞)
11．已知定义域为R的函数f(x)在(4，＋∞)上单调递减，且函数y＝f(x)的对称轴为x＝4，则(　　)
A．f(2)>f(3) B．f(2)>f(5) C．f(3)>f(5) D．f(3)>f(6)
12．已知函数f(x)＝在(－∞，＋∞)上是增函数，则实数a的取值范围是(　　)
A．(－∞，－2] B．[－2,0) C．[－3,0) D．[－3，－2]
13．若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在(－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围是________．
14．在实数集R上定义一种运算“*”，使其具有下列性质：
(1)对任意a，b∈R，a*b＝b*a.
(2)对任意a∈R，a*0＝a.
(3)对任意a，b，c∈R，(a*b)*c＝c*(ab)＋(a*c)＋(b*c)－2c，则函数f(x)＝x*的单调递减区间是(　　)
A. B. C. D.
15．设函数f(x)的定义域为{x|x>0}，且满足条件f(4)＝1，对于任意x1，x2∈(0，＋∞)，有f(x1x2)＝f(x1)＋f(x2)，且当x1≠x2时，有>0.
(1)求f(1)的值；
(2)若f(x＋6)＋f(x)>2，求x的取值范围．