5.3.1函数的单调性 教学设计——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册（表格式）

课题 5.3.1函数的单调性（1）
课型 新授课
一、内容及其解析 1.内容 函数的单调性与导数的正负之间的关系，利用导数的正负性判断函数的单调性． 2.内容解析 本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修二》第五章《一元函数的导数及其应用》的第三节导数在研究函数中的应用第1课时，主要学习利用导数研究函数的单调性。学生在必修一中已经学习了函数单调性的内容，如利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性，但对大多数函数而言，直接画出其图象不是一件容易的事情，至于根据定义去判断函数的单调性，其中含字母的代数式值的大小比较通常较困难，所以也不是通性通法。本节之前学习到导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化，因而可以把函数单调性的判断问题转化为导数的运算问题，具体通过函数导数的正负性判断出函数的单调性，这种方法在解决函数的单调性问题时具有“普适性”。 本节就高台跳水问题，考察运动员的重心相对于水面的高度函数的单调性与导数的正负间的关系；接着，通过更多的具体函数的图象，探讨函数的单调性与导数的正负之间的关系；进而，体会从具体到抽象，从特殊到一般的过程，概括出共性规律，给出一般可导函数的单调性与导数的正负之间关系的普适性结论；最后利用这个关系，用导数研究函数的单调性，求简单函数的单调区间。 蕴含的数学思想和方法： 通过探究函数图象的升降与导数的正负之间的关系，得出可用导数判断函数单调性的结论与方法，这一过程中蕴含着数形结合的思想。利用函数的导数及其运算，将判断函数的单调性这一复杂问题，转化为步骤明确的运算问题，这又蕴含了重要的数学运算思想。用导数研究函数的单调性，对于培养学生利用函数模型描述客观事物的变化规律有着重要意义，是提升学生的数学运算与数学建模素养的很好的载体. 二、目标及其解析 1.目标 （1）结合函数图象实例，借助几何直观探索并发现函数的单调性与导数的正负之间的关系，体会数形结合思想，发展直观想象素养； （2）结合具体函数实例，归纳根据函数导数的正负判断函数单调性的解题步骤，发展数学运算、逻辑推理的数学素养。 2.目标解析 达成上述目标的标志是： （1）对于给定的函数图象，学生能够借助导数的几何意义判断出导数的正负与函数的单调性，并将二者关联起来； （2）对于给定的函数，学生能够利用导数求出函数的单调递增（递减）区间。 三、教学问题诊断分析 在本节之前，学生已经学习到导数概念、导数几何意义、导数的四则运算等导数相关知识，并且在必修一中已经对函数单调性有一定的认识，如可以利用函数图象、单调性定义来研究函数的单调性。因此具有用导数研究函数单调性的基本知识储备。 但由于学生没有学习过拉格朗日中值定理，不能严格证明用导数正负判断函数单调性的一般结论，这是本节课的教学难点之一。为了克服这一难点，本节借助本章一以贯之的高台跳水案例图象，使学生在熟悉的情境中观察到函数的单调性与函数导数的正负之间具有密切关系。接着，让学生结合更多具体函数如一次函数、二次函数、三次函数、反比例函数的图象进行几何直观，联想导数的几何意义进行解释说明，完成从特殊到一般的发现过程，还可以借助利用信息技术工具帮助学生观察、发现、理解结论。另外，利用导数判断函数的单调性时，会遇到导数在某个区间上存在零点，但函数在这个区间上仍然是单调递增（或递减）的问题（如），对于这一难点，教师在教学时要引导学生去充分辨析用导数正负判断函数单调性这一结论具有充分性，并举出具体实例的图象帮助学生区别与理解。 四、教学重点与难点 教学重点：建立函数的单调性与导数的正负之间的联系，求简单函数的单调区间。 教学难点：归纳利用导数的正负判断函数的单调性的结论。 五、教学策略分析 在教学设计中，采取问题引导方式来组织课堂教学．问题的设置给学生留有充分的思考空间，让学生围绕问题主线，通过自主探究达到突出教学重点，突破教学难点．在教学过程中，重视注重与实际的联系，利用学生的已有知识与经验创设丰富的情境，为学生提供脚手架。 六、学习活动设计 （一）回顾旧知 问题1：必修第一册中研究了函数的单调性。请同学们回忆函数的单调性是如何定义的？判断函数的单调性有哪些方法？各有什么优缺点？ 学生活动：回忆判断函数单调性的方法，小组交流讨论，并一起进行归纳。 预设： 1.定义：若对任意且都有（或），那么函数在区间上是单调递增（减）的。 2.判断函数单调性的方法有图象法、定义法。 ①通过画出函数图象观察其单调性非常简单直接，但是多数情况无法直接画出函数图象，因此图象法适用性低。 ②从定义出发可以判断函数的单调性，但是定义法需要进行含字母的代数式值的大小比较，计算较为繁琐。 教师引导：对于更复杂的函数，用定义法和图象法研究函数的单调性比较困难，因此我们要寻求研究函数单调性的更普适、通用的方法。在本章前两节中，我们学习了导数的概念和运算，知道导数是关于瞬时变化率的数学表达，它定量地刻画了函数的局部变化。能否利用导数更加精确地研究函数的单调性呢？本节我们就来讨论这个问题。 （二）创设情境 我们先来研究前面学习过的高台跳水问题。 问题2：图1（1）是某高台跳水运动员的重心相对于水面的高度h随时间t变化的函数的图象，图1（2）是跳水运动员的速度v随时间t变化的函数的图象。这里，，b是函数h（t）的零点。观察图象，发现运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？如何从数学上刻画这种区别？ 图1 学生活动：观察图象，独立填写学历案： 任务清单： 从起跳到最高点，运动员的重心处于_____状态，离水面的高度在 ，即 ，相应地， 0。 从最高点到入水，运动员的重心处于_____状态，离水面的高度在 ，即 ，相应地， 0。 追问：你能从上述记录中发现函数的单调性与函数导数的正负有什么关系吗？ 师生活动：教师提出上述问题后，学生思考并交流，教师引导学生得出结论： 当时，＞0，函数的图象是上升的，函数在上单调递增； 当时，＜0，函数的图象是下降的，函数在上单调递减． （三）探究新知 问题3：在高台跳水问题中，我们发现可以用函数导数的正负来判断函数的单调性，那么这种做法是否具有一般性呢？ 师生活动：教师给出下列四个函数，进一步发现与探讨函数的单调性与导数的正负的关系。教师可以选用其中一个函数进行示范研究，然后让学生类比范例探究其他三个函数。学生先独立完成学历案任务，再进行小组讨论。选取小组代表进行发言，班级充分讨论后得出统一结论。 任务清单：完成下列表格，探讨函数的单调性与导数的正负的关系． 函数函数图象单调区间递增区间导函数导数图象导数符号结论：对比函数的单调区间与导数符号之间的联系，发现： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上__________； 在某个区间上，_____________________________________________________．
追问1：我们已经从多个例子中直观观察并总结出用导数的正负性判断函数单调性的一般性结论。接下来请同学们回忆导数的几何意义，试着解释说明为什么导数的正负和函数的单调性有这样的关系？ 师生活动：学生通过回忆导数的几何意义对结论进行解释说明，教师利用信息技术绘图辅助理解。 预设：以二次函数图象（图2）为例，由导数的几何意义，函数在的导数表示函数图象在点处的切线的斜率，可以发现： 在处，，切线是“左下右上”的上升式，函数的图象也是上升的，函数在附近递增； 在处，，切线是“左上右下”的下降式，函数的图象也是下降的，函数在附近递减。 图2 也就是说，函数在的导数的正负可以说明在附近曲线的增减情况，如果在整个区间I上恒有（），那么函数在整个区间I上单调递增（递减）。 结论：一般地，函数的单调性与导函数的正负之间具有如下的关系： 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 追问2：如果在某个区间上恒有，那么函数有什么特性？ 师生活动：教师启发学生思考的几何意义，利用几何意义得出下列结论： 如果在某个区间I上恒有，那么对于区间I上任意一点，函数的图象在点处的切线的斜率为0，从而函数图象在该点的切线平行于x轴，在点附近几乎没有升降。由于是区间I上任意一点，所以函数在任意一点附近几乎没有升降，从而函数在区间I上是常数函数，即（c为常数）。 【结论辨析】判断下列命题是否正确.若正确，则说明理由；若错误，则举出反例. （1）函数在某个区间上单调递增，那么在区间上有恒成立；（ ） 反例： （2）在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；（ ） 反例： 区分： （3）函数在某个区间上单调递增，那么在区间上有恒成立；（ ） （4）在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增；（ ） 反例： （四）学以致用 例1：利用导数判断下列函数的单调性： （1）； （2）； （3）； （4）. 师生活动：学生根据所学内容利用导数判断上述函数的单调性，选取同学代表板演作答，教师巡视并规范作答步骤。 解：（1）因为，所以 所以，函数在R上单调递增，如图（1）所示； （2）因为，所以 所以，函数在上单调递减，如图（2）所示； （3）因为，所以 所以，函数在R上单调递减，如图（3）所示。 （4）因为，，由于， 当，，所以，函数在上单调递增； 当，，所以，函数在上单调递增； 综上，函数在和上单调递增，如图（4）所示； 注意：在本例题的讲解中，应注意引导学生体会与总结判断函数单调性的基本步骤，为第2课时的学习打下基础。此外，还应对用导数判断函数单调性这一方法的优越性加以说明。最后，注意规范对定义域和单调区间的书写表达。在第(4)题的中尽管在其定义域内都有，但是只能说函数的单调递增区间为和（或者用逗号分隔），而不能说函数在上单调递增。 教师总结：对于本例，如果不用导数的方法，利用函数单调性的定义也可以求解，但运算过程相对麻烦，还需要很多变形技巧，特别是判断三次多项式函数的单调性并求其单调区间时，定义法不是一种通用的方法。此时能体现出用导数研究函数单调性的方法更具有普适性、通用性。 追问：根据例1的学习，你能发现用导数判断函数单调性的基本步骤吗？ 预设：①确定函数的定义域； ②求出函数的导函数； ③解不等式，得出函数的单调递增区间； 解不等式，得出函数的单调递减区间； 例2：你能根据函数的导函数的下列信息，画出函数的大致图象吗？ ①当时，； ②当或时，； ③当或时，． 师生活动：教师启发学生根据导函数的正负思考函数f（x）在相应区间上的单调性，进而画出f（x）的大致图象， 学生画好的图象后通过投影展示，教师引导时应强调的单调性与的正负之间的关系， 充分挖掘出本例中利用导函数信息可以推断原函数信息这一关键，由此加深学生对用导数研究函数单调性的理解。 答案：当时， ，可知在区间上单调递增； 当或时，，可知在区间和上都单调递减； 当或时，，这两点比较特殊，我们称它们为“临界点”. 综上，函数图象的大致形状如图所示. 教师总结：研究函数图象与其导函数图象之间的关系要把握住的单调性与的正负之间的关系：对于原函数，要注意其图象在哪个区间内单调递增、在哪个区间内单调递减；而对于导函数，则应注意其函数值在哪个区间内大于零、在哪个区间内小于零，并分析这些区间与原函数的单调区间是否一致． （五）课堂小结 教师引导学生回顾本节知识： 基本思想：导数是研究函数单调性的基本工具，该方法具有普适性、通用性。 一般结论：函数的单调性与导函数的正负之间的关系： （1）在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递增； （2）在某个区间上，如果那么函数在区间上单调递减. （3）在某个区间上，如果，那么函数（c为常数）. 两个辨析：①在区间I上，是函数单调递增的充分条件而非必要条件； ②在区间I上，是函数单调递增的必要条件而非充分条件。 用导数判断函数单调性的基本步骤： ①确定函数的定义域； ②求出函数的导函数； ③解不等式，得出函数的单调递增区间； 解不等式，得出函数的单调递减区间； （六）作业与拓展学习设计 基础训练： 1. 如图所示是函数的导函数的图象，则下列判断中正确的是(　　) A．函数在区间上是减函数 B．函数在区间上是减函数 C．函数在区间上是减函数 D．函数在区间上是增函数 答案：A 2. 判断下列函数的单调性： （1） （2） 答案：（1）的单调递增区间为，单调递减区间为 （2）的单调递增区间为，单调递减区间为 强化训练： 1. 已知函数的图象是下列四个图象之一，且其导函数的图象如图所示，则该函数的图象是（ ） （A） （B） （C） （D） 答案：B 2. 利用导数讨论二此函数的单调区间. 答案：当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 当时，的单调递增区间为，单调递减区间为 拓展训练： 函数单调性的拓展定义： 若函数在定义域上单调递增 对任意,有. ②拉格朗日（Lagrange）中值定理： 若函数满足如下条件： （1）在闭区间上连续； （2）在开区间上可导． 则在上至少存在一点ξ，使得． 试用函数单调性的拓展定义及拉格朗日（Lagrange）中值定理，证明以下结论: 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递增； 在某个区间上，如果，那么函数在区间上单调递减． 答案：如果函数在区间上可导，那么，由拉格朗日中值定理， 必有介于之间的，使得， 如果在区间上恒有，则，从而，故函数在区间单调递增。 所以，是函数在区间单调递增的充分条件（但不是必要条件）； 同理，是函数在区间单调递减的充分条件（但不是必要条件）。 综上，可以通过研究函数的导数的正负来判断函数的单调性。 七、板书设计 5.3.1 函数的单调性（1） 1.函数的单调性与导函数的正负之间的关系： 2.利用导函数的正负画函数图象的大致形状：例1. 例2.
八、学习评价设计 高中数学学习评价关注学生知识技能的掌握，更关注数学学科核心素养的形成和发展，制定科学合理的学业质量要求，促进学生在不同学习阶段数学学科核心素养水平的达成.评价既要关注学生学习的结果，更要重视学生学习的过程.本节课对学生学习效果及教师自身教学效果的评价，围绕教学目标的落实情况，以过程性评价为主，形成性评价为辅的原则进行. （一）过程性评价 在课堂教学过程中，从学生的参与程度、概括能力、推理能力、学习兴趣、交流合作、情绪情感方面对学习进行评价。通过观察，对学生的学习过程进行评价，包括学习态度、参与小组合作学习的积极程度（是否能积极进行思考、表达自己的想法、倾听别人的想法并提出意见和建议）、能否理解并有条理地表达数学内容。 评价量规: 评价标准 评价内容非常好比较好一般不太好不好学习态度注意力非常集中，非常主动、积极地参与到教学活动中注意力比较集中，很主动、积极参与到活动中注意力基本能集中，能主动、积极地参与到教学活动中注意力不太集中，被动地参与任何教学活动注意力不集中，不参与任何教学活动