5.3.1函数的单调性 教学设计——2023-2024学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

导数的应用——函数的单调性（二）
一、教学内容及其解析
课时教学内容：应用导数求初等函数的单调性．
内容解析：《函数的单调性》是人教A版数学选择性必修第二册第五章的内容.本节课的主要内容是利用导数研究函数的单调性.单调性是函数的重要性质，反映了函数的变化趋势，高一时我们已经学习了通过图象和定义判断函数单调性，但是大多数函数的图象不容易做，对于含字母的代数式来说，定义法通常比较麻烦，有时甚至比较困难，因此这两种方法都有其局限性.通过前面的学习，我们知道，导数是关于瞬时变化率的数学表达，此时学生还没有用导数来表征函数变化趋势的意识.上节课借助具体实例，通过观察函数图象的升降，并利用导数的几何意义建立函数的单调性与导函数正负之间的关系，得到了用导数研究函数单调性的理论依据.本节课将进一步地利用导数的几何意义与几何直观，得出导数判断函数单调性的方法，并利用这个方法研究一些简单函数的单调性.后续在此基础上，通过考察导数在导函数零点两侧正负性的变化情况给出函数极值的概念及其求法，并进一步研究闭区间上连续函数的最值；最后利用导数研究函数的单调性、极值与最值的综合性问题，以及简单的优化问题.因此，本节课具有承上启下的作用.
蕴含的数学思想和方法：本节课体现了数形结合、转化与化归的数学思想，提供了一种用导数作为工具寻求函数单调性的程序化方法及其具体步骤．
知识的上下位关系：
判断函数的单调性 定义法、图象法 过程复杂，且局限性较大
导数法 具有一般性
求函数的极值与最值 利用单调性给出极值的概念及其求法
育人价值：理解函数的单调性与导数符号的关系能提升学生直观想象的核心素养，学会用导数研究函数单调性，能发展学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
二、学情分析
前测的结果显示，学生对函数的单调性与导函数正负的关系的掌握情况较好.但在具体求解函数单调性的过程中，还是会选择通过函数图象直观，利用不等式和方程等知识，用定义法研究函数的单调性.显然，这些方法比较依赖于函数的类型，如（定义法、增加增等），用导数去解决函数单调性的意识不够，缺少一种研究函数单调性的一般性方法.
三、教学目标及其解析
1. 经历用导数和定义两种方法探究三次函数的单调性的过程，感受且认同导数方法在研究函数单调性时的优越性和一般性.
2.借助信息技术软件，进一步应用数形结合思想去体会利用导数的几何意义，体会函数变化快慢与导函数之间的关系，发展学生的直观想象核心素养.
3.经历用列表的方式表示导数符号以及用导数确定函数的单调性的过程，学会应用导数判断函数的单调性，掌握用导数研究函数单调性的一般步骤，发展学生的数学运算、逻辑推理核心素养.
教学重点：求函数的单调区间.
上述目标达成的标志：
1.会用导数方法通过列表的方式，求解简单函数的单调区间（课堂练习）.
2.能够归纳出用导数研究函数单调性的一般步骤（课堂小结）.
四、教学问题诊断分析
学生已经学习过基本函数的求导公式以及复合函数如何求导，会用导数的正负判断简单的单调性.可能会出现以下三种问题，第一种是能正确求解一元二次不等式，导致单调区间判断有误，教师应在课堂上简单复习回顾一元二次不等式的解法，强化学生记忆.第二种是解决问题过程中是漏掉函数的定义域、导数无零点的情形不会列表，教师应该反复强调步骤，设置课堂练习巩固.第三种是过程书写不规范，教师应该板书具体过程，进行示范.
五、教学支持条件分析
借助Geogebra软件作图，能直观形象地理解三次函数的系数不同时，函数的增减情况．直观理解不同函数在同一区间内的增长快慢情况.
六、教学过程设计
第一阶段：复习回顾
【前测1】函数的单调性与导函数正负的关系如何？
【预设】定义在区间内的函数：
的正负 的单调性
正 单调递增
负 单调递减
【前测2】“”是“为增函数”的____________条件.
【前测3】判断三次函数的单调性.
【预设1】从图象：描点，观察图象，写出大致单调区间，但描点作图不精确.
【预设2】从定义：对任意，当时，有，但符号不好判断．
【预设3】从性质：增函数加增函数为增函数，但局限性较大.例如无法用性质判断.
【预设4】从导数：,因为在上恒成立，所以在上单调递增.
【设计意图】复习函数单调性与导数之间的关系，提供解决单调性问题的新思路。对比不同的解决方法，让学生体会到使用导数方法的优越性，为寻求一般性解法做铺垫.
第二阶段：探究新知
【知识点1】用导数求函数的单调性
之前我们已经学习过二次函数的单调性，那么三次函数的单调性如何呢？这里我们不妨以一具体的三次函数为例进行研究：
【例题1】求函数的单调区间．
【活动1】先让学生由单调性的定义思考函数单调区间的求法．
【预设】学生由定义法可以化得下式：
会发现很难判断在哪些区间内正负性保持不变，这就突显了用导数求单调区间的重要性.
【活动2】用导数作为工具思考函数单调区间的求法.
【预设】
求定义域；
函数的定义域为.
若存在零点，求导数的零点；
对求导数，得.
令，解得或．
细节补充：求解画草图，判断区间内的导数符号.
划分区间列出表格；
和把函数定义域划分为三个区间.
确定函数的单调区间；
判断在各区间上的正负，以及的单调性，如表所示．
单调递增 单调递减 单调递增
所以，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增如图所示．
【活动3】归纳总结用导数判断函数单调性的一般步骤.
【总结】（学生总结，老师板书）
第一步，确定函数的定义域；
第二步，求出导数的零点；
第三步，用的零点将的定义域划分为若干个区间，列表给出在各个区间上的正负，由此得出函数在定义域内的单调性.
【补充】结合课本例1中的第3小题，说明导函数无零点以及定义域内函数存在间断点时，如何完成表格？
【预设】划分区间时要注意把间断点也划分开.
【设计意图】通过典型例题的分析和解决，帮助学生熟练利用导数研究函数单调性和单调区间的步骤．发展学生数学运算、直观想象和数学抽象的核心素养．
【课堂练习】求函数的单调区间．
【预设】 的定义域为，．令，解得．
把函数的定义域划分成两个区间，在各区间上的正负，以及的单调性，如下表所示．
单调递减 单调递增
故在上单调递减，在上单调递增，如下图所示.
【设计意图】落实求单调区间的基本步骤，强调写定义域的必要性和书写规范．
【知识点2】：函数的增长快慢情况
导函数的正负反映了函数的增减情况，但是否可以用导数来判断函数增减的快慢情况呢？也就是说，如何从导数的角度解释函数变化的快慢情况呢？
【例题2】对数函数与幂函数在区间上都是单调递增的，那么它们的增长速度是否一样呢？
【预设】对数函数的导数为，所以在区间上单调递增．
当越来越大时，越来越小，所以函数递增得越来越慢，图象上升得越来越“平缓”，如图．
幂函数的导数为，所以在区间上单调递增．
当越来越大时，越来越大，函数递增得越来越快，图象上升得越来越“陡峭”，如图．
【结论】
导数的绝对值变化 函数图象变化趋势
变大 “陡峭”
变小 “平缓”
一般地，如果一个函数在某一范围内导数的绝对值较大，那么函数在这个范围内变化得较快，这时函数的图象就比较“陡峭”（向上或向下）；反之，函数在这个范围内变化得较慢，函数的图象就比较“平缓”．
【设计意图】通过比较同一个函数在的变化的快慢和比较不同函数在同一区间的变化的快慢，进一步体会导数的力量——导数精确定量刻画函数的变化规律.
【例题3】设两个函数的图象如图所示．试判断的图象与之间的对应关系．