叙州区二中2023年秋期高二第三学月考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．直线的纵截距是
A．5 B．－5 C． D．
2．已知直线：，：，，则“”是“”的
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
3．若一个圆锥的侧面积是底面积的2倍，则圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为
A． B． C． D．
4．甲、乙、丙、丁四人做相互传球练习，第一次甲传给其他三人中—人,第二次由拿球者再传给其他三人中的一人,这样共传了次，则第四次仍传回到甲的概率是
A． B． C． D．
5．已知直线与相交于A，B两点，且，则
A．1 B． C． D．
6．经过点作直线交双曲线于两点，且为的中点，则直线的方程为
A． B．
C． D．
7．已知椭圆的左、右焦点分别为，点在椭圆上，为坐标原点，若，且，则该椭圆的离心率为
A． B． C． D．
8．已知三棱锥中，，，，二面角的大小为，则三棱锥外接球的表面积为
A． B． C． D．
二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9．已知直线：，下列说法正确的是
A．若，则直线的倾斜角为
B．若直线在两坐标轴上的截距相等，则
C．，原点到直线的距离为5
D．直线与直线垂直，则
10．抛掷两枚质地均匀的骰子，有如下随机事件：“至少一枚点数为1”，“两枚骰子点数一奇一偶”，“两枚骰子点数之和为8”，“两枚骰子点数之和为偶数”判断下列结论，正确的有
A． B．B，D为对立事件
C．A，C为互斥事件 D．A，D相互独立
11．已知过点的直线交抛物线于，两点，设，，点是线段的中点，则下列说法正确的有
A．为定值－8 B．的最小值为4
C．的最小值为 D．点的轨迹方程为
12．已知三棱锥中，，面面，，点为中点，与面所成的角为，则
A． B．点到面的距离为
C．三棱锥的侧面积为 D．与所成角为
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13．已知一个样本容量为7的样本的平均数为5，方差为2，现在样本中加入一个新数据5，则此时方差是 .
14．已知直线，，且，则直线，间的距离为 ．
15．已知抛物线的焦点为，过的直线与交于，两点，过点，分别作的准线的垂线，垂足分别为，，线段的中点为，且，则 .
16．已知圆和圆只有一条公切线，若且，则的最小值为 ．
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）已知 的顶点，边上的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为．
(1)求顶点的坐标.
(2)求直线的方程.
18．（12分）山东淄博有着丰富的烧烤文化，淄博烧烤以其独特的口味和制作方法，吸引了大量的食客，今年的“五一”假期更是游客“进淄赶烧”的高峰期.某商家为了提高自己的竞争力，举行了消费抽奖活动，活动规则如下：每消费满100元，会获得一次抽奖机会，奖项为“5元烧烤优惠券”“10元烧烤优惠券”以及“谢谢惠顾”.已知抽中“5元烧烤优惠券”的概率为，抽中“10元烧烤优惠券”的概率为，并且每次抽奖互不影响.
(1)求抽到“谢谢惠顾”的概率；
(2)某位客人消费了200元，求这位客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率.
19．（12分）已知直线的方程为．
(1)求直线恒过定点的坐标；
(2)求过点与圆相交的弦的最小值．
20．（12分）如图，分别是椭圆：的左、右焦点，是椭圆的顶点，是直线与椭圆的另一个交点，.
(1)求椭圆的离心率；
(2)已知的面积为，求椭圆的标准方程.
21．（12分）如图，在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，，.
(1)求证：；
(2)若点的在线段上，且二面角的大小为，求的值.
22．（12分）若双曲线的一个焦点是，且离心率为2.
(1)求双曲线的方程；
(2)设过焦点的直线与双曲线的右支相交于两点（不重合），
①求直线的倾斜角的取值范围；
②在轴上是否存在定点，使得直线和的斜率之积为常数，若存在，求出的坐标，若不存在，请说明理由.叙州区二中2023年秋期高二第三学月考试
数学试题参考答案
1．C 2．A 3．C 4．A 5．D 6．C 7．D 8．B
9．AD 10．BC 11．ACD 12．AC
13． 14． 15．16 16．
17．（1）边上的高所在直线方程为，
，且，即，
的顶点，直线方程;，
即与联立，，解得：，顶点的坐标为；
（2）所在直线方程为，设点，
是中点，，，
在所在直线方程为上，
,解得：,，
的方程为：，即.
18．（1）记抽到“5元烧烤优惠券”为事件，
抽到“10元烧烤优惠券”为事件，抽到“谢谢惠顾”为事件，且，.
根据互斥事件求概率公式可得.
（2）记抽到总计10元烧烤优惠券为事件，则可能一次抽到“10元烧烤优惠券”、一次抽到“谢谢惠顾”，记为事件，或者两次都抽到“5元烧烤优惠券”，记为事件.
则，，.
故该客人能抽到总计10元烧烤优惠券的概率为.
19．（1）方程可化为，由得：，
点的坐标为.
（2）圆可化为，
由，知：在圆内部，而，则，
当线段与过的弦垂直时弦长最小，∴过与圆相交弦的最小值为.
20．（1）依题意可得，，
又，所以为等边三角形，∴，∴；
（2）设，则，
在中，
∴，∴，
所以，
∴，
∴（负值舍去），所以，
故椭圆的标准方程为.
21．（1）在四棱柱中，底面和侧面都是矩形，则侧面都是矩形，
有，，，平面，平面，
平面，
（2），.
分别为的中点，连接，
，平面，平面，，
以为原点，所在直线分别为轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
，，则.
则，
设，即，可得，
，，设平面的一个法向量，
则有，令，则，
得，又平面的一个法向量，
二面角的大小为，则有，解得，
，则，有的值为2.
22．（1）由题意，，
又，则，，
所以，双曲线的方程为.
（2）①（i）当直线斜率存在时，
设直线：，，，
联立，
整理得：，
由题得：
解得或，
此时，直线的倾斜角的范围为.
（ii）当直线斜率不存在时，直线的倾斜角为.
综上可知，直线的倾斜角的范围为.
②（i）当直线斜率存在时，设直线和的斜率之积，，
由（2）①得：
，
又 ，
得：
，
上对于任意的都成立，
所以，
解得：或，
即当坐标为时，；
当坐标为时，.
（ii）当直线斜率不存在时，此时，.
当坐标为时，；
当坐标为时，.
综上所述，存在点，使得直线和的斜率之积为常数.
