叙州区二中2023年秋期高一第三学月考试
数学试题
本试卷共4页，22小题，满分150分.考试用时120分钟.
第I卷 选择题（60分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1.设,全集,则下列结论中正确的是
A. B. C. D.
2.命题“所有能被2整除的整数都是偶数”的否定是
A. 所有不能被2整除的整数都是偶数
B. 所有能被2整除的整数都不是偶数
C. 存在一个不能被2整除的整数是偶数
D. 存在一个能被2整除的整数不是偶数
3.若幂函数的图象经过点,则的定义域为
A.R B.
C. D.
4.已知且，，，则M与N的大小关系是
A. B. C. D.不能确定
5.下表是函数值y随自变量x变化的一组数据,由此判断最可能的函数模型是
x 4 5 6 7 8 9 10
y 15 17 19 21 23 25 27
A.一次函数模型 B.二次函数模型 C.指数函数模型 D.对数函数模型
6.函数的单调减区间为
A. B. C. D.
7.设,,则
A. B. C. D.
8.已知函数，若且，则的最小值为
A.2 B.3 C.6 D.9
二.选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.
9.已知集合，且,则实数k的取值可以为
B．0 C．1 D．2
10.已知不等式的解集为，则下列结论正确的是
A． B． C． D．
11.已知函数，下列结论正确的是
A.的定义域为 B.的图象关于坐标原点对称
C.在定义域上是减函数 D.的值域为
12.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德 牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，例如：，.已知函数，则关于函数的叙述中正确的是
A.是奇函数 B.是奇函数
C.在上是增函数 D.的值域是.
第II卷 非选择题（90分）
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．
13.已知函数，则_________.
14.已知,则的最小值是__________.
15.已知函数是定义在R上的偶函数，在上单调递减，且，则不等式的解集为__________.
16.已知函数，函数有四个不同零点，这四个零点之积的取值范围是__________.
四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（10分）计算下列各式的值:
（1）;
（2）
18.（12分）
已知集合，，.
（1）求，；
（2）若集合，求实数a的值.
19.（12分）
已知关于x的不等式.
（1）若，求该不等式的解集；
（2）若，求该不等式的解集.
20.（12分）
已知函数.
（1）求与，与的值；
（2）由（1）中求得的结果，猜想与的关系并证明你的猜想；
（3）求的值.
21.（12分）
吉祥物“冰墩墩”在北京2022年冬奥会强势出圈，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本万元，当产量小于或等于50万盒时；当产量大于50万盒时，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完（利润=售价-成本，成本=固定成本+生产中投入成本）
（1）求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；
（2）当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获利润最大？
22.（12分）
已知函数.
（1）当时，解不等式；
（2）设，当时，对任意，都有，求的取值范围.叙州区二中2023年秋期高一第三学月考试
数学试题参考答案
1.D 2.D 3.D 4.A 5.A 6.B 7.D 8.C 9.ABC 10.AD 11.AB 12.BCD
13. 14. 15. 16.
17.（1）原式
（2）原式
18.（1），，
，；
（2）由题意可知，，
，由可得：
当时，无解；
当时，解得，故实数a的值为.
19.（1）解：当时，，
即，解得，故该不等式的解集为.
（2）.
①当时，，不等式的解集为；
②当时，，不等式的解集为；
③当时，，不等式的解集为.
综上，当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为；
当时，不等式的解集为.
20.解：（1）因为，故，，，.
（2）猜想：，
证明：对于任意的，都有，
.故.
（3）由（2）得，
故，，，
所以
.
21解：（1）当产量小于或等于50万盒时，，
当产量大于50万盒时，，
故销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式为
.
（2）当时，；
当时，，
当时，取到最大值，为1200.
因为，所以当产量为70万盒时，该企业所获利润最大.
22（1）解：当时，，
由，得，
即，等价于，
解得；
（2）解：因为对任意，，都有，
所以对任意，，都有，
设的定义域为I，
又当，且时，有，即，
即，所以在I上单调递减.
因此函数在区间上的最大值与最小值分别为，.
由，
化简得，
上式对任意成立.
因为，，
令，对称轴为，
所以函数在区间上单调递增，
所以，，
由，得.故的取值范围为.
