6.2 平面向量的运算 讲义（10种题型）-2022-2023学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册（含答案）

6.2 平面向量的运算
1、向量加法的概念及三角形法则：
已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。对于零向量与任意向量，我们规定。
2、向量加法的平行四边形法则：
以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量（是平行四边形的对角线）就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3、向量加法的运算律：
①交换律：。
②结合律：。
4、向量的三角形不等式：
①当向量与不共线时，的方向与不同，则。
②当与同向时，，，同向，则。
③当与反向时，若，的方向与相同，则；若，的方向与相同，则。一般地，我们有。
5、相反向量：
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。由两个向量和的定义易知，即任意向量与其相反向量的和是零向量。这样，如果互为相反向量，那么。
6、向量的减法：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
7、几何意义：
已知向量，在平面内任取一点，作，，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。
8、向量的数乘运算：
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。当时，。
9、向量数乘的运算律：
设为实数，结合律：。
分配律：；。
特别地，，。
10、向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量，以及任意实数，，，恒有。
11、向量共线的条件：
①当向量时，与任一向量共线。
②事实上，对于向量（），，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线。反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有。
12、向量共线的性质定理：
向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。
13、向量的夹角：
已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角。显然，当时，与同向；当时，与反向。
14、垂直：
如果与的夹角是，我们说与垂直，记作。
15、向量数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。
16、投影向量：
设，是两个非零向量，，，我们考虑作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。
在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量。设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则
。
17、平面向量数量积的性质：
设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则
①。 ②。
③当与同向时，；当与反向时，。
特别地或。
④。（）。 ⑤。
⑥。
18、向量数量积的运算律：
①交换律：。
②数乘结合律：。
③分配律：。
19、三点共线定理、三角形中线向量定理、三角形重心公式：
对于平面内任意三点、、，为平面内不同于、、的任意一点，、、三点共线的充要条件是：存在实数，，使，其中。
在△中，若点是边的中点，则中线向量，反之亦正确。
在△中，已知是△的重心，则。
【题型1】向量的加法运算
1．（　　）
A． B． C． D．
2．在平行四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
3．已知AD为△ABC的中线，则（　　）
A． B． C． D．
4．化简后等于（　　）
A． B． C． D．
5．设O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
【题型2】向量的减法运算
1．在四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
2．在△ABC中，D为BC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
3．在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
4．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则（　　）
A． B． C． D．
5．已知线段AB的中点为C，则（　　）
A．3 B． C． D．3
【题型3】向量加减混合运算
1．（　　）
A． B． C． D．
2．化简（　　）
A． B． C． D．
3．化简（　　）
A． B． C． D．
4．平行四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
5．已知正六边形ABCDEF，则（　　）
A． B． C． D．
【题型4】向量的数乘运算
1．若C在线段AB上，且，则（　　）
A． B． C． D．
2．点M在AB上，且，则等于（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
3．若||＝2||且λ，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．无法确定
4．点C在线段AB的反向延长线上，且，λ，则λ为（　　）
A． B． C． D．
5．已知，，若，则λ等于（　　）
A． B． C．5 D．﹣5
【题型5】三点共线的运用、用已知向量表示其他向量
1．如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
2．如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（　　）
A． B． C． D．
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
4．在△ABC中，，E为AD的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
5．已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【题型6】平面向量数量积的性质及其运算
1．已知单位向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量，均为单位向量，且，则||＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知空间向量，满足，，，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
5．向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【题型7】向量的投影
1．向量与的夹角为，，，在上投影模长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
2．已知，为单位向量，与的夹角为135°，则在方向上的投影模长为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
3．已知，，，向量在方向上的投影模长是（　　）
A．12 B．4 C．﹣8 D．2
4．已知平面向量||＝2，||＝4，且 2，则在方向上的投影模长为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
5．已知向量，满足||＝1，||＝2，||，则在上的投影模长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【题型8】投影向量
1．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
2．已知向量满足|，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
3．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
4．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则|2|＝（　　）
A． B． C． D．
5．已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【题型9】数量积表示两个向量的夹角
1．已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
2．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
3．已知，则向量与的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
4．已知，，则与夹角的余弦值为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
5．已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【题型10】数量积判断两个平面向量的垂直关系
1．已知单位向量，的夹角为，向量，且，则λ的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
2．若，是夹角为60°的两个单位向量，λ与﹣32垂直，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数λ的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
4．已知非零向量，满足，，若，则k＝（　　）
A．1 B． C． D．﹣1
5．已知非零向量，满足，，若，则实数t的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
当堂检测
一．选择题（共12小题）
1．设非零向量，满足||＝||，则（　　）
A．⊥ B．||＝|| C．∥ D．||＞||
2．若非零向量，满足||||，且（）⊥（32），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．π
3．向量||＝||＝1，||，且，则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
4．已知非零向量，，，则“ ”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
6．正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 （　　）
A． B．3 C．2 D．5
7．已知向量，满足||＝1，||，|2|＝3，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
9．已知非零向量，满足4||＝3||，cos，．若⊥（t），则实数t的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
10．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，λ，μ，若 1， ，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
11．已知向量，满足||＝5，||＝6， 6，则cos，（　　）
A． B． C． D．
12．已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
二．多选题（共6小题）
（多选）13．设单位向量，满足|3|，则（　　）
A．⊥ B．||＝1 C．||＝3 D．，60°
（多选）14．已知向量，满足||＝1，||＝2，||，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
（多选）15．设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（　　）
A．若，则存在实数λ使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数λ使得，则
（多选）16．在△ABC中，M是BC的中点．若，，则||＝（　　）
A．||
B．||
C．
D．
（多选）17．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（　　）
A． B． C． D．
（多选）18．已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．⊥
C． ，
D．在上的投影向量为
三．填空题（共6小题）
19．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝　 　．
20．已知单位向量，的夹角为45°，k与垂直，则k＝　 　．
21．已知，为单位向量，且 0，若2，则cos，　 　．
22．若向量，满足||＝3，||＝5， 1，则||＝　 　．
23．已知向量，||＝1，||＝||＝2，则 　 　．
24．设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2） 　 　．
四．解答题（共8小题）
25．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．
（1）求CD的长；
（2）求的值．
26．已知||＝4，||＝3，（） （2）＝﹣31．
（1）求与的夹角θ；
（2）求||的值．
27．已知向量与的夹角为，且，．
（1）若与共线，求k；
（2）求，；
（3）求与的夹角的余弦值．
28．如图，M，N分别是△ABC的边BC，AB上的点，且，，AM交CN于P．
（1）若，求x﹣y的值；
（2）若AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，求的值．
29．已知||，||＝1，与的夹角为45°．
（1）求在方向上的投影；
（2）求|2|的值；
（3）若向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
30．已知||＝4，||＝8，与夹角是120°．
（1）求的值及||的值；
（2）当k为何值时，？
31．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AEEC，AD，BE交于点F，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若t，求实数t的值．
32．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2．
（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；
（2）若AC＝AB，cos，，求||．
课后作业
一、单选题
1．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
2．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
3．在中，点为边的中点．记，，则（ ）
A． B． C． D．
4．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
5．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，则（ ）

A． B． C． D．
6．若是内一点，，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
7．在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
8．在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
9．已知非零向量与满足在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
10．设非零向量，满足且，则，的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
11．若，，且，则（ ）
A． B．6 C．3 D．
12．如图，在平面四边形中，E，F分别为和的中点，那么（ ）

A． B．
C． D．
二、多选题
13．已知正方形的边长为2，向量，满足，，则（ ）
A． B．
C．在上的投影向量的模为 D．
14．已知向量满足，，且，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．与的夹角为
15．已知向量满足且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
16．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
三、填空题
17．已知非零向量满足，且，则 .
18．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 .
19．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 .
20．在中，，．设，则的取值范围为 ．
21．已知向量满足，则 ．
22．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 ．
四、解答题
23．已知是两个不共线的向量，为单位向量，.
(1)若_________，求；在①；②两个条件中任选一个填在_________上，并作答
(2)是否存在实数，使得与共线，若存在求出；若不存在，说明理由，
24．已知平面向量、，若，，.
(1)求向量、的夹角；
(2)若且，求.
25．已知两个非零向量，，且，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求（）的最小值．
26．已知向量，满足，，且夹角为120°．
（1）求；
（2）若，且，求实数的值．
27．已知向量是两个不共线的向量，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若的夹角是，且，求实数的值.
28．已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
6.2 平面向量的运算
1、向量加法的概念及三角形法则：
已知非零向量，在平面内取任意一点，作，则向量叫做与的和，记作，即。
求两个向量和的运算，叫做向量的加法。这种求向量和的方法，称为向量加法的三角形法则。对于零向量与任意向量，我们规定。
2、向量加法的平行四边形法则：
以同一点为起点的两个已知向量，以为邻边作平行四边形，则以为起点的向量（是平行四边形的对角线）就是向量与的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。
3、向量加法的运算律：
①交换律：。
②结合律：。
4、向量的三角形不等式：
①当向量与不共线时，的方向与不同，则。
②当与同向时，，，同向，则。
③当与反向时，若，的方向与相同，则；若，的方向与相同，则。一般地，我们有。
5、相反向量：
我们规定，与向量长度相等，方向相反的向量，叫做的相反向量，记作。我们规定，零向量的相反向量仍是零向量。由两个向量和的定义易知，即任意向量与其相反向量的和是零向量。这样，如果互为相反向量，那么。
6、向量的减法：
向量加上的相反向量，叫做与的差，即。
求两个向量差的运算叫做向量的减法。
7、几何意义：
已知向量，在平面内任取一点，作，，则。即可以表示为从向量的终点指向向量的终点的向量，这是向量减法的几何意义。
8、向量的数乘运算：
一般地，我们规定实数与向量的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作，它的长度与方向规定如下：①；②当时，的方向与的方向相同；当时，的方向与的方向相反。当时，。
9、向量数乘的运算律：
设为实数，结合律：。
分配律：；。
特别地，，。
10、向量的线性运算：
向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算。向量线性运算的结果仍是向量。对于任意向量，以及任意实数，，，恒有。
11、向量共线的条件：
①当向量时，与任一向量共线。
②事实上，对于向量（），，如果有一个实数，使，那么由向量数乘的定义可知与共线。反过来，已知向量与共线，且向量的长度是向量的长度的倍，即，那么当与同方向时，有；当与反方向时，有。
12、向量共线的性质定理：
向量（）与共线的充要条件是：存在唯一一个实数，使。
根据这一定理，设非零向量位于直线上，那么对于直线上的任意一个向量，都存在唯一的一个实数，使。也就是说，位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示。
13、向量的夹角：
已知两个非零向量，，是平面上的任意一点，作，，则（）叫做向量与的夹角。显然，当时，与同向；当时，与反向。
14、垂直：
如果与的夹角是，我们说与垂直，记作。
15、向量数量积：
已知两个非零向量与，它们的夹角是，我们把数量叫做向量与的数量积（或内积），记作，即。规定：零向量与任一向量的数量积为。
16、投影向量：
设，是两个非零向量，，，我们考虑作如下的变换：过的起点和终点，分别作所在直线的垂线，垂足分别为，得到，我们称上述变换为向量向向量投影，叫做向量在向量上的投影向量。
在平面内任取一点，作，，过点作直线的垂线，垂足为，则就是向量在向量上的投影向量。设与方向相同的单位向量为，与的夹角为，则
。
17、平面向量数量积的性质：
设，是非零向量，它们的夹角为，是与方向相同的单位向量，则
①。 ②。
③当与同向时，；当与反向时，。
特别地或。
④。（）。 ⑤。
⑥。
18、向量数量积的运算律：
①交换律：。
②数乘结合律：。
③分配律：。
19、三点共线定理、三角形中线向量定理、三角形重心公式：
对于平面内任意三点、、，为平面内不同于、、的任意一点，、、三点共线的充要条件是：存在实数，，使，其中。
在△中，若点是边的中点，则中线向量，反之亦正确。
在△中，已知是△的重心，则。
【题型1】向量的加法运算
1．（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：B．
2．在平行四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵四边形ABCD是平行四边形，∴．
故选：A．
3．已知AD为△ABC的中线，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：∵AD为△ABC的中线，
∴由平行四边形法则得：
（）．
故选：D．
4．化简后等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：
．
故选：C．
5．设O为平行四边形ABCD的对角线的交点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由图形可知，故．
故选：D．
【题型2】向量的减法运算
1．在四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由向量减法的法则可知，，
故选：D．
2．在△ABC中，D为BC的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在△ABC中，D为BC的中点，∴，∴，
故选：D．
3．在平行四边形ABCD中，（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵平行四边形ABCD，∴．
故选：D．
4．已知矩形ABCD的对角线相交于点O，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在矩形ABCD中，，
又因为AC BD＝O，则，
因此，．
故选：D．
5．已知线段AB的中点为C，则（　　）
A．3 B． C． D．3
【解答】解：线段AB的中点为C，∴22，∴33，
故选：A．
【题型3】向量加减混合运算
1．（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：根据题意，；
故选：A．
2．化简（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：原式．
故选：B．
3．化简（　　）
A． B． C． D．
【解答】解： ．
故选：B．
4．平行四边形ABCD中，等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：如图，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴．
故选：B．
5．已知正六边形ABCDEF，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：B．
【题型4】向量的数乘运算
1．若C在线段AB上，且，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵C在线段AB上且，
∴ACAB，BC，则，，AB错误；
，，C错误，D正确．
故选：D．
2．点M在AB上，且，则等于（　　）
A．﹣3 B． C． D．3
【解答】解：∵，
∴，∴．
故选：B．
3．若||＝2||且λ，则λ＝（　　）
A．2 B．﹣2 C．2或﹣2 D．无法确定
【解答】解：，且；
∴与同向时，λ＝2，反向时，λ＝﹣2；
即λ＝±2．
故选：C．
4．点C在线段AB的反向延长线上，且，λ，则λ为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴，
∴，又，，
∴．
故选：D．
5．已知，，若，则λ等于（　　）
A． B． C．5 D．﹣5
【解答】解：；
∵，
∴，∴﹣2，
∴，∴λ；
故选：A．
【题型5】三点共线的运用、用已知向量表示其他向量
1．如图，在△ABC中，点D是BC边上靠近B的三等分点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：．
故选：C．
2．如图，在△ABC中，2，P是BN上一点，若t，则实数t的值为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵，
∴，
∴，且B，P，N三点共线，
∴，解得．
故选：C．
3．在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：在△ABC中，AD为BC边上的中线，E为AD的中点，
（）
，
故选：A．
4．在△ABC中，，E为AD的中点，则等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，
（），
，
，
．
故选：A．
5．已知点D在△ABC的边AC上，CD＝2DA，点E是BD中点，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】解：如图，根据题意，
．
故选：D．
【题型6】平面向量数量积的性质及其运算
1．已知单位向量满足，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为向量为单位向量，
则，
则，
所以．
故选：C．
2．已知向量，均为单位向量，且，则||＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵向量，均为单位向量，且，即||＝1，||＝1，
∴||22+22＝1+21，
∴||．
故选：B．
3．已知空间向量，满足，，，则的值为（　　）
A．1 B． C．2 D．4
【解答】解：向量、满足，，，
则2．
故选：C．
4．已知非零向量，满足，且，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，所以，
设与的夹角为θ，非零向量，满足，
则，又θ∈[0，π]，解得．
故选：A．
5．向量，且，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由已知可得，
因为，，所以，又，
所以．
故选：A．
【题型7】向量的投影
1．向量与的夹角为，，，在上投影模长为（　　）
A．2 B． C．1 D．
【解答】解：∵向量与的夹角为，||＝1，||＝3，∴在上投影为|| cos1．
故选：D．
2．已知，为单位向量，与的夹角为135°，则在方向上的投影模长为（　　）
A． B．﹣1 C．1 D．
【解答】解：∵，为单位向量，与的夹角为135°，
∴，
∴在方向上的投影为．
故选：B．
3．已知，，，向量在方向上的投影模长是（　　）
A．12 B．4 C．﹣8 D．2
【解答】解：记向量与的夹角为θ，
所以在方向上的投影为：．
故选：B．
4．已知平面向量||＝2，||＝4，且 2，则在方向上的投影模长为（　　）
A．1 B． C．﹣1 D．
【解答】解：平面向量||＝2，||＝4，且 2，
则在方向上的投影为．
故选：A．
5．已知向量，满足||＝1，||＝2，||，则在上的投影模长为（　　）
A．1 B． C．2 D．
【解答】解：向量，满足||＝1，||＝2，||，
∴12+22+27，可得：1，则在上的投影1．
故选：A．
【题型8】投影向量
1．已知向量，的夹角为，且，，则向量在向量上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，的夹角为，且，，
则1×21，则向量在向量上的投影向量为．
故选：D．
2．已知向量满足|，则在上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，
所以，解得，
所以在上的投影向量为．
故选：B．
3．设是两个单位向量，若在上的投影向量为，则（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵在上的投影向量为，
∴，
∴，
∵，
∴由向量的夹角公式可知，．
故选：A．
4．设，为单位向量，在方向上的投影向量为，则|2|＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为在方向上的投影向量为，
所以，则，
又因为，为单位向量，所以，所以cos，，
所以|2|．
故选：D．
5．已知平面向量，满足，，则在方向上的投影向量为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：依题意，在方向上的投影向量为：
，
又因为，，代入上式，
故所求投影向量为：．
故选：A．
【题型9】数量积表示两个向量的夹角
1．已知平面向量、满足，若，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，且，所以，即，
所以，
设与的夹角为θ，则，
因为θ∈[0，π]，
所以，即与的夹角为．
故选：D．
2．已知平面向量满足，则向量与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵ （）＝20，∴ 20，∴ 4，
∵||＝4，||＝2，∴cos，，
∵，∈[0，π]，∴，，
故选：C．
3．已知，则向量与的夹角等于（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：设向量与的夹角为θ，
因为，
所以，
所以，
因为θ∈[0，π]，
所以．
故选：B．
4．已知，，则与夹角的余弦值为（　　）
A．﹣1 B． C．0 D．1
【解答】解：∵，
∴，
∴，∴．
故选：A．
5．已知平面向量的夹角为，且，则与的夹角是（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由平面向量的夹角为，且，
可得，
且，
设向量与的夹角为θ，所以，
因为θ∈[0，π]，可得，即与的夹角为．
故选：B．
【题型10】数量积判断两个平面向量的垂直关系
1．已知单位向量，的夹角为，向量，且，则λ的值为（　　）
A．1 B．﹣1 C．±1 D．2
【解答】解：由已知得，
∵单位向量，的夹角为，∴，且，
所以，解得λ＝±1．
故选：C．
2．若，是夹角为60°的两个单位向量，λ与﹣32垂直，则λ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：，是夹角为60°的两个单位向量，
则，，λ与﹣32垂直，
则，解得．
故选：B．
3．已知平面向量满足与的夹角为，则实数λ的值为（　　）
A．﹣2 B．2 C． D．
【解答】解：因为，所以，
即，故，∴λ＝2．
故选：B．
4．已知非零向量，满足，，若，则k＝（　　）
A．1 B． C． D．﹣1
【解答】解：∵，，∴，
又，
∴，且，
∴k＝﹣1．
故选：D．
5．已知非零向量，满足，，若，则实数t的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【解答】解：∵，，
∴，
∵，∴，
∴，∴，∴，∴，∴．
故选：D．
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一．选择题（共12小题）
1．设非零向量，满足||＝||，则（　　）
A．⊥ B．||＝|| C．∥ D．||＞||
【解答】解：∵非零向量，满足||＝||，∴，
， ， 解得0， ∴．
故选：A．
2．若非零向量，满足||||，且（）⊥（32），则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．π
【解答】解：∵（）⊥（32），∴（） （32）＝0，即32﹣22 0，
即 32﹣22， ∵||||， ∴22， 即 32﹣22222，
∴cos，，即，，
故选：A．
3．向量||＝||＝1，||，且，则cos ， ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为向量||＝||＝1，||，且，所以，
所以2 ，
即2＝1+1+2×1×1×cos，，
解得cos，0，所以⊥，
又2，2，
所以（） （）＝（2） （2）＝225 2+2+0＝4，
||＝||，
所以cos ， ．
故选：D．
4．已知非零向量，，，则“ ”是“”的（　　）
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
【解答】解：当且，则0，但与不一定相等，
故不能推出，
则“ ”是“”的不充分条件；
由，可得，则，即，
所以可以推出，故“ ”是“”的必要条件．
综上所述，“ ”是“”的必要不充分条件．
故选：B．
5．已知单位向量，的夹角为60°，则在下列向量中，与垂直的是（　　）
A． B．2 C．2 D．2
【解答】解：单位向量||＝||＝1， 1×1×cos60°，
对于A，（2） 22，所以（2）与不垂直；
对于B，（2）2 21＝2，所以（2）与不垂直；
对于C，（2） 22，所以（2）与不垂直；
对于D，（2）2 21＝0，所以（2）与垂直．
故选：D．
6．正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，则 （　　）
A． B．3 C．2 D．5
【解答】解：正方形ABCD的边长是2，E是AB的中点，
所以1，，，2×2＝4，
则 （） （）1+0+0+4＝3．
故选：B．
7．已知向量，满足||＝1，||，|2|＝3，则 （　　）
A．﹣2 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：因为向量，满足||＝1，||，|2|＝3，
所以|2|3，
两边平方得，
13﹣49，
解得1，
故选：C．
8．如图，在平行四边形ABCD中，E是BC的中点，F是线段AE上靠近点A的三等分点，则（　　）
A． B．
C． D．
【解答】，
故选：C．
9．已知非零向量，满足4||＝3||，cos，．若⊥（t），则实数t的值为（　　）
A．4 B．﹣4 C． D．
【解答】解：∵4||＝3||，cos，，⊥（t），
∴ （t）＝t 2＝t|| || ||2＝（）||2＝0，
解得：t＝﹣4，
故选：B．
10．已知菱形ABCD的边长为2，∠BAD＝120°，点E、F分别在边BC、DC上，λ，μ，若 1， ，则λ+μ＝（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：由题意可得若 （） （）
＝2×2×cos120°λ λ μ2+4μ+4λ+λμ×2×2×cos120°
＝4λ+4μ﹣2λμ﹣2＝1，
∴4λ+4μ﹣2λμ＝3 ①．
（）（1﹣λ） （1﹣μ）（1﹣λ） （1﹣μ）
＝（1﹣λ）（1﹣μ）×2×2×cos120°＝（1﹣λ﹣μ+λμ）（﹣2），
即﹣λ﹣μ+λμ ②．
由①②求得λ+μ，
故选：C．
11．已知向量，满足||＝5，||＝6， 6，则cos，（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：向量，满足||＝5，||＝6， 6，
可得||7，
cos，．
故选：D．
12．已知非零向量，满足||＝2||，且（）⊥，则与的夹角为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：∵（）⊥，∴ ，
∴ ，
∵，∴．
故选：B．
二．多选题（共6小题）
（多选）13．设单位向量，满足|3|，则（　　）
A．⊥ B．||＝1 C．||＝3 D．，60°
【解答】解：根据题意，设单位向量的夹角为θ，
若，则有10+6cosθ＝13，解可得，
又由0 θ π，则，故D正确；
∵1×1，故A错误；
∵（）222＝1，
∴||＝1，故B正确；
∵（）22+23，
∴||，故C错误；
故选：BD．
（多选）14．已知向量，满足||＝1，||＝2，||，则下列结论中正确的是（　　）
A． B．
C． D．与的夹角为
【解答】解：，
∴，∴，
∴，
，
，
∴与的夹角为，故BC正确．
故选：BC．
（多选）15．设是两个非零向量，则下列命题中正确的有（　　）
A．若，则存在实数λ使得
B．若，则
C．若，则在方向上的投影向量为
D．若存在实数λ使得，则
【解答】解：对于A，当时，的方向相反且，
由向量共线的定义可知，存在负实数λ，使得，故A正确；
对于B，∵，
∴以为邻边的平行四边形为矩形且和是这个矩形的两条对角线长，
∴，故B正确；
对于C，∵，
∴，的方向相同，
∴由投影向量的定义可知，在方向上的投影向量为，故C正确，
对于D，当，同向共线时，满足存在实数λ使得，
但，故D错误．
故选：ABC．
（多选）16．在△ABC中，M是BC的中点．若，，则||＝（　　）
A．|| B．|| C． D．
【解答】解：根据题意，在△ABC中，M是BC的中点．
则（）（），
故||||，则A错误，B正确；
对于C，||，C正确，
对于D，||，D错误；
故选：BC．
（多选）17．已知向量，满足，，则与的夹角可以为（　　）
A． B． C． D．
【解答】解：因为，则，且，
则，
所以，即，则，又因为，
即，
设与的夹角为θ，则，
即，
且，则，
所以，则与的夹角可以为，．
故选：AB．
（多选）18．已知，是夹角为的单位向量，，，下列结论正确的是（　　）
A．
B．⊥
C． ，
D．在上的投影向量为
【解答】解：∵，是夹角为的单位向量，，，∴，
，
．
．
∴cos，则．
在上的投影向量为．
综上可知，AC正确．
故选：AC．
三．填空题（共6小题）
19．已知向量，的夹角为60°，||＝2，||＝1，则|2|＝　2　．
【解答】解：【解法一】向量，的夹角为60°，且||＝2，||＝1，
∴4 4
＝22+4×2×1×cos60°+4×12
＝12，
∴|2|＝2．
20．已知单位向量，的夹角为45°，k与垂直，则k＝　　．
【解答】解：∵向量，为单位向量，且，的夹角为45°，
∴，
又k与垂直，
∴（），
即，则k．
故答案为：．
21．已知，为单位向量，且 0，若2，则cos，　　．
【解答】解：22，
∵（2）2＝4459，
∴||＝3，
∴cos，．
故答案为：
22．若向量，满足||＝3，||＝5， 1，则||＝　　．
【解答】解：由题意，可得，
因为||＝3， 1，所以，
所以．
23．已知向量，||＝1，||＝||＝2，则 　　．
【解答】解：方法1：由得或或，
∴（）2＝（）2或（）2＝（）2或（）2＝（）2，
又∵||＝1，||＝||＝2，∴5+2 4，5+24，8+21，
∴ ， ， ，∴ ．
故答案为：．
方法2： ．
故答案为：．
24．设向量，的夹角的余弦值为，且||＝1，||＝3，则（2） 　11　．
【解答】解：由题意可得，
则．
故答案为：11．
四．解答题（共8小题）
25．如图，在△ABC中，AB＝2，AC＝3，∠BAC＝60°，，．
（1）求CD的长；
（2）求的值．
【解答】解：（1）∵，
∴，
∴，
∴，即CD的长为；
（2），
∴．
26．已知||＝4，||＝3，（） （2）＝﹣31．
（1）求与的夹角θ；
（2）求||的值．
【解答】解：（1）||＝4，||＝3，（） （2）＝﹣31．
所以31，即32﹣81﹣3 31，所以6，
cos，，，∈[0，π]，
可得，
（2）||．
27．已知向量与的夹角为，且，．
（1）若与共线，求k；
（2）求，；
（3）求与的夹角的余弦值．
【解答】解：（1）∵与共线，且，
∴根据共线向量基本定理：存在λ，使，
∴根据平面向量基本定理得：，解得k；
（2）由已知，得，；
（3）设与的夹角为α，则，
因此，与的夹角的余弦值为．
28．如图，M，N分别是△ABC的边BC，AB上的点，且，，AM交CN于P．
（1）若，求x﹣y的值；
（2）若AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，求的值．
【解答】解：（1）因为（）；
∴x，y x﹣y；
（2）过点N作ND∥BC交AP于D；
则AD＝DM；DNBMMCMC；
∴DPPM；
∴APAM；
∴ （） （）（3））（2 3）；
∵AB＝4，AC＝3，∠BAC＝60°，
∴（32+2×3×4×cos60°﹣3×42）．
29．已知||，||＝1，与的夹角为45°．
（1）求在方向上的投影；
（2）求|2|的值；
（3）若向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，求实数λ的取值范围．
【解答】解：（1）在方向上的投影为||cos45°1；
（2） || || cos45°11，
|2|22+4 42＝2+4+4＝10，
则|2|；
（3）向量（2λ）与（λ3）的夹角是锐角，
可得（2λ） （λ3）＞0，且（2λ）与（λ3）不共线，
即为2λ2+3λ2﹣（6+λ2） 0，
即有7λ﹣（6+λ2）＞0，解得1＜λ＜6，
由（2λ）与（λ3）共线，可得2 （﹣3）＝﹣λ λ，
解得λ＝±，
则实数λ的取值范围为（1，）∪（，6）．
30．已知||＝4，||＝8，与夹角是120°．
（1）求的值及||的值；
（2）当k为何值时，？
【解答】解：（1）cos120°16．
||4．
（2）∵，∴ 0，
∴16k﹣128+（2k﹣1）×（﹣16）＝0，
化为k＝﹣7．
∴当k＝﹣7值时，．
31．如图，已知△ABC中，D为BC的中点，AEEC，AD，BE交于点F，设，．
（1）用，分别表示向量，；
（2）若t，求实数t的值．
【解答】解：（1）由题意，D为BC的中点，且，
∵2，∴2，∴22；
（2）∵tt，∴（2﹣t），
∵2，，共线，∴，∴t．
32．如图，在四边形ABCD中，AD＝4，AB＝2．
（1）若△ABC为等边三角形，且AD∥BC，E是CD的中点，求；
（2）若AC＝AB，cos，，求||．
【解答】解：（1）因为△ABC为等边三角形，且AD∥BC，所以∠DAB＝120°．
又AD＝2AB，所以AD＝2BC，因为E是CD的中点，
所以：， ．
又，所以， ．
， ＝11．
（2）解法：（一）因为AB＝AC，AB＝2，所以：AC＝2．因为：，
所以：．所以：．
又4．
所以：．
所以：．
故：．
课后作业
一、单选题
1．如图，四边形是平行四边形，点分别为的中点，若以向量为基底表示向量，则下列结论正确的是（ ）

A． B．
C． D．
【详解】点分别为的中点，
，
，
，
，
，
故选：C
2．在中，点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，若，则（ ）
A．1 B． C． D．-1
【详解】点是边上靠近点的三等分点，点是的中点，如图所示，
所以.
故选：B.
3．在中，点为边的中点．记，，则（ ）
A． B． C． D．
【详解】 因为点D为边的中点，所以，
.
故选：D.
4．已知向量，那么等于（ ）
A． B． C． D．
【详解】，
故选：C.
5．如图，在平行四边形中，是的中点，和相交于点．记，则（ ）

A． B． C． D．
【详解】平行四边形中，是的中点，
因为，所以，
所以，
则.
故选：A.
6．若是内一点，，则是的（ ）
A．内心 B．外心 C．垂心 D．重心
【详解】取线段的中点，连接，则，而，

因此，即三点共线，线段是的中线，且是靠近中点的三等分点，
所以是的重心.
故选：D
7．在等腰梯形ABCD中，AB=CD=2，，则在上的投影的数量为（ ）
A． B． C． D．
【详解】过点作，且，
所以四边形是平行四边形，则，且，，
所以是等边三角形，所以与所成角为，
所以在上的投影的数量为.

故选：B
8．在平行四边形ABCD中， ，则 （ ）
A．2 B． C． D．4
【详解】在平行四边形ABCD中，如图所示：

因为，所以是的中点，即，
，,
因为，所以，
因此，.
故选：A.
9．已知非零向量与满足在上的投影向量为，则与的夹角为（ ）
A． B． C． D．
【详解】在上的投影向量为,
所以，，整理可得，
所以，，.
又，所以有. 因为，所以.
故选：C.
10．设非零向量，满足且，则，的夹角大小为（ ）
A． B． C． D．
【详解】设，的夹角为，由，得，
即．
因为，所以不妨设，则，
所以，解得．
因为，所以．
故选：C．
11．若，，且，则（ ）
A． B．6 C．3 D．
【详解】因为，所以，
由得，
即，
即，
因为，所以，所以.
故选：B
12．如图，在平面四边形中，E，F分别为和的中点，那么（ ）

A． B．
C． D．
【详解】因为
又，
所以，
即
故选：C
二、多选题
13．已知正方形的边长为2，向量，满足，，则（ ）
A． B．
C．在上的投影向量的模为 D．
【详解】对于A，由已知可得，
在正方形中可得，故A错误；
对于B，，故B正确；
对于C，在上的投影向量的模为，故C错误；
对于D，，
又与均不是零向量，所以，故D正确.
故选：BD.
14．已知向量满足，，且，则（ ）
A． B．
C．与的夹角为 D．与的夹角为
【详解】由，得，即，又
所以，所以，故A正确；
因为，所以与不垂直，故B错误；
，又，所以与的夹角为，故C正确，D错误.
故选：AC.
15．已知向量满足且，则下列结论正确的是（ ）
A． B． C． D．
【详解】由题意向量满足且，
则，即，C正确；
，A错误；
，B正确；
因为，而，故，故D错误，
故选：BC
16．向量是近代数学中重要和基本的概念之一，它既是代数研究对象，也是几何研究对象，是沟通代数与几何的桥梁.若向量，满足，，则（ ）
A． B．与的夹角为
C． D．在上的投影向量为
【详解】，,
，解得，故A错误；
，，
由于，与的夹角为，故B正确；
，故C错误；
在上的投影向量为，故D正确,
故选：BD.
三、填空题
17．已知非零向量满足，且，则 .
【详解】如图所示，设，，
则，以OA，OB为邻边作平行四边形OACB，则，
由于，故，
所以是直角三角形，，从而OA⊥OB，所以平行四边形OACB是矩形，
根据矩形的对角线相等得，即.
18．已知向量，满足，，，的夹角为150°，则与的夹角为 .
【详解】因为，与的夹角为，所以，
所以，
得，又，所以，
又因为，所以.
故答案为：.
19．已知平面向量满足，且，则向量与的夹角为 .
【详解】由，得，即，
因为，所以，
所以，又，
所以向量与的夹角为150°.
故答案为：150°
20．在中，，．设，则的取值范围为 ．
【详解】在中，由，，得，
则，
又，则有，
所以.
21．已知向量满足，则 ．
【详解】由题意，
，所以，
22．如图所示，在中，，是上的一点，若，则实数的值为 ．
【详解】∵是上的一点，
设，又 ，
则
．
∴，，
解得，．
四、解答题
23．已知是两个不共线的向量，为单位向量，.
(1)若__________，求；在①；②两个条件中任选一个填在__________上，并作答.
(2)是否存在实数，使得与共线，若存在求出；若不存在，说明理由，
【详解】（1）选①
由，得，即，
由，得，
因为，所以，
选②
由，即，
由，，得，
所以，
（2）若与共线，
则存在实数，使得
由向量是两个不共线，即
也即，显然不存在实数.
24．已知平面向量、，若，，.
(1)求向量、的夹角；
(2)若且，求.
【详解】（1）解：因为，则
，所以，，
又因为，因此，，即向量、的夹角为.
（2）解：因为且，则
，解得，
因此.
25．已知两个非零向量，，且，．
（1）求，的夹角；
（2）若，求（）的最小值．
【详解】（1）由题意，，可得，
又，则，即，
∴，又，∴.
（2），由（1）且，知：，，
∴且，故当时，有.
26．已知向量，满足，，且夹角为120°．
（1）求；
（2）若，且，求实数的值．
【详解】（1）设，的夹角为，
∵，∴
．
（2）∵，∴．，
，，解得．
27．已知向量是两个不共线的向量，.
（1）若三点共线，求实数的值；
（2）若的夹角是，且，求实数的值.
【详解】解：（1）因为三点共线，所以有，
即.
则有
所以解得
（2）因为的夹角是，所以，
又，
且.
所以，
解得.
28．已知向量与的夹角为，，.
（1）求；
（2）若和垂直，求实数的值.
【详解】解：（1），将，代入上式得.
（2）因为和垂直，所以，
展开可得.
将，.代入上，解得.