5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式（1）两角差的余弦公式（共25页ppt）

(共25张PPT)
第5章 三角函数
5.5.1 两角和与差的正弦、余弦和正切公式
1.两角差的余弦公式
人教A版（2019)
教学目标
学习目标 数学素养
1.经历利用单位圆及三角函数的定义推导两角差的余弦公式 的过程； 1.数形结合素养、数学推理素养.
2.掌握两角差的余弦公式，并会用它解决问题. 2.逻辑推理素养.
温故知新
－32°
一、利用单位圆定义任意角的三角函数
y
x
(x,y)
(1,0)
如图，设α是一个任意角, α∈R, 它的终边与单位圆
交于点P(x,y), 则
(1)点P的纵坐标 y 叫α的正弦函数，记作sinα, 即
(2)点P的横坐标 x 叫 α 的余弦函数，记作cosα, 即
(3)点P的纵坐标 与横坐标的比值叫α的正切，记作tanα, 即
思考：单位圆上的点P的坐标如何用α的三角函数表示？
P（cosα, sinα）
温故知新
－32°
二、两点间距离公式
如图，在坐标平面内的任意两点P1(x1, y1), P2(x2, y2),
P1Q=M1M2=|x1–x2|，QP2=N1N2=|y1–y2|，
由勾股定理，可得
P1P22=P1Q2+QP22
=|x1–x2|2+|y1–y2|2
=(x1–x2)2+(y1–y2)2,
由此得到，平面内P1(x1, y1), P2(x2, y2)
两点间距离公式：
温故知新
－32°
前面我们学习了诱导公式，利用它们对三角函数式进行恒等变形，可以达到化简、求值或证明的目的．这种利用公式对三角函数式进行的恒等变形就是三角恒等变换．
观察诱导公式，可以发现它们都是特殊角与任意角α的和 （或差）的三角函数与这个任意角α的三角函数的恒等关系．如
cos(π-α)= - cosα
如果把特殊角π换为任意角β，那么任意角α与β的和 （或差）的三角函数与α，β的三角函数会有什么关系呢？
如果已知任意角α与β的正弦、余弦，能由此推出α+β ，α-β正弦、余弦吗？
新知探究
下面，我们来探究cos(α－β)与角α，β的正弦、 余弦之间的关系.
不妨令．
y
x
o
如图，设单位圆与轴的正半轴相交于点A(1, 0)，以轴非负半轴为始边作角
由三角函数的定义得
它们的终边分别与单位圆相交于点
．
连接A1 P1，AP．若把扇形OAP绕着点O旋转β角，则点A，P分别与点A1 ， P1重合．根据圆的旋转对称性可知，
与重合，从而， 所以AP＝ A1 P1
圆的旋转对称性：
任意一个圆绕着圆心旋转任意角度后，都与原来重合.
新知探究
根据两点间的距离公式，得
即
∴
当α=2kπ＋β (k∈Z)时，容易证明上式仍然成立．
对于任意角,有
此公式给出了任意角α，β的正弦、余弦与其差角α－β的余弦之间的关系，称为差角的余弦公式，简记作Ｃ(α－β).
（Ｃ(α－β)）
新知探究
注意：
(1)公式的特点：
两边的运算符号相反;右边的积的函数同名， 且余弦在前正弦在后.
(2)公式的推导过程：
第1步，标出问题中所涉及到的量；
第2步，利用三角函数定义，写出各点坐标；
第3步，根据圆的旋转对称性，得到AP=A1P1；
第4步，代入两点间的距离公式，得出两角差的余弦公式.
公式要诀：“余余正正符号反”
新知形成
证明：
【例1】利用公式证明：
⑴; ⑵.
⑴
⑵(先由学生板书）
新知形成
解：
【例2】⑴求的值.
方法1：
方法2：
新知形成
解：
【例2】⑵求下列各式值：
① ；②.
①原式=
②原式=
新知形成
解：
【例2】⑶求 的值.
新知形成
给角求值的解法
（1）把非特殊角转化为特殊角的和或差，利用公式直接求值.
（2）在转化过程中，充分利用诱导公式，构造两角和（差）的正（余）弦公式的形式，然后逆用公式求值.
初试身手
1.求下列各式值：
⑴； ⑵
解：
⑴
⑵原式=
新知探求
【例3】已知,是第三象限角，求的值．
解：
由得
又由是第三象限角,得
则.
.
新知探求
【例4】 ⑴已知,求的值；
⑵已知,求的值．
解：
∴
又∵,∴,
∴,
,
⑴∵, ∴.
.
新知探求
【例4】 ⑴已知,求的值；
⑵已知,求的值．
解：
∴
∴,
∴
⑵∵
则.
新知探求
给值求值问题的解题方法:
(1)已知某些角的三角函数值, 求另外一些角的三角函数值时, 要注意观察已知角与所求表达式中角的关系, 然后进行拆角与凑角.
(2)由于和、差角与单角是相对的,因此解题过程中可以根据需要灵活地进行拆角或凑角.
常见角的变换:
①α=(α-β)+β; ②α=+;
③2α=(α+β)+(α-β); ④2β=(α+β)-(α-β).
初试身手
2.⑴已知,求的值;
⑵已知,求的值.
解：
⑴∵,∴
.
∴
∴
初试身手
2.⑴已知,求的值;
⑵已知,求的值.
解：
⑵∵,∴
.
∴
∴
又∵,∴
∴
课堂小结
1.两角差的余弦公式C(α-β)是怎样的，公式有何特点，是如何证明的
2.在运算两角差的余弦公式时，注意哪些问题，你能举例说明吗？
①同角三角函数间的关系中平方关系的正确运用，特别是开方时正负的取舍.
②角的变换问题(配角). 如:用已知条件中的角将未知结论中的角表示出来(已知表未知);将一般角用特殊角表示出来(已知表未知).
作业布置
作业：P228 习题5.5 第1,2,3题.
补充：
1.求下列各式的值：
⑴; ⑵.
2.已知为第三象限角，且,求的值.
尽情享受学习数学的快乐吧！
我们下节课再见！
谢谢
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