湖北省春晖教育集团2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含解析）

绝密★启用前
春晖教育集团2023年秋季学期12月月考
高一数学
考试范围：必修一第一章到第四章4.4对数函数；考试时间：120分钟；考试满分：150分
注意事项：
1.答卷前，考生务必将自己的姓名 准考证号填写在答题卡上.
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效.
3.考试结束后，答题卡交回.
一 单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.函数的值域是（ ）
A. B. C. D.
2.设全集为，集合，则（ ）
A. B.
C. D.
3.设，则“”是“”的（ ）
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
4.设，且，则（ ）
A. B.
C. D.
5.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
6.古希腊时期，人们认为最美人体的头顶至肚脐的长度与肚脐至足底的长度之比是（称为黄金分割比例），著名的“断臂维纳斯”便是如此.此外，最美人体的头顶至咽喉的长度与咽喉至肚脐的长度之比也是.若某人满足上述两个黄金分割比例，且腿长为，头顶至脖子下端的长度为，则其身高可能是（ ）
A. B. C. D.
7.已知，则的大小关系为（ ）
A. B.
C. D.
8.若直角坐标系内两点满足：（1）点都在图象上，（2）点关于原点对称，则称点对是函数的一个“和谐点对”，与可看作一个“和谐点对”，已知函数，则的“和谐点对”有（ ）
A.1个 B.2个 C.3个 D.4个
二 多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.下列各组函数中表示同一个函数的是（ ）
A.
B.
C.
D.
10.若不等式的解集是，则下列说法正确的是（ ）
A.且
B.
C.
D.不等式的解集是
11.已知实数满足，下列选项中正确的是（ ）
A. B.
C. D.
12.已知函数，则（ ）
A.的定义域是
B.是偶函数
C.是单调增函数
D.若，则，或
三 填空题（本大题共4小题，共20分）
13.设函数，则__________.
14.若幂函数在上单调递减，则__________.
15.若且，则的最小值为__________.
16.对任意的，不等式恒成立，求正实数的取值范围是__________.（其中是自然对数的底数）
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.（本小题12分）
计算：
（1）；
（2）
18.（本小题12分）
已知集合.
（1）分别求；
（2）已知集合，若，求实数的取值范围.
19.（本小题12分）
已知函数定义在上的奇函数，当时，.
（1）求函数的解析式；
（2）解关于的不等式.
20.（本小题12分）
已知函数为偶函数.
（1）求的值，并证明在上单调递增；
（2）求满足的的取值范围.
21.（本小题12分）
流感是由流感病毒引起的一种急性呼吸道传染病，冬天空气干燥 寒冷，大多数人喜欢待在较为密闭的空间里，而这样的空间空气流通性不强，有利于流感病毒的传播.为了预防流感，某学校决定对教室用药熏消毒法进行消毒，已知药物释放过程中，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）与时间（单位：小时）成正比例；药物释放完毕后，与的函数关系式为（为常数），如图所示，
（1）求从药物释放开始，室内每立方米空气中的含药量（单位：毫克）与时间（单位：小时）的函数关系式；
（2）实验表明，当室内每立方米空气中药物含量不超过0.125毫克时对人体无害，求从药物释放开始，同学们至少要经过多少分钟方可进入教室.
22.（本小题10分）
定义在上的函数，当时，且对任意的，有.
（1）求的值；
（2）求证：对任意，都有；
（3）解不等式.
春晖教育集团2023年秋季学期12月月考
高一数学-参考答案与解析
一、单选题（本大题共8小题，共40分.在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.【答案】D
【解答】解：因为函数的对称轴为，所以是函数的单调增区间，所以函数的最小值为3，所以值域为.即值域为.
故选.
2.【答案】B
【解答】解：因为，所以，
所以.
故选.
3.【答案】A
【解答】
解：由，解得或，
故“”是“”的充分不必要条件，
故选：.
4.【答案】D
【解答】
解：.当时，不成立；.根据不等式性质，，则不成立；
.取，则不成立；.根据幂函数为增函数，成立.
故选.
5.【答案】B
【解答】
解：根据题意，，其定义域为，
有，是偶函数，排除，
在区间上，，必有，排除，
故选：.
6.【答案】B
【解答】解：如下图所示，
依据题意可知：，
①肚脐到足底的距离大于腿长，即，
，所以，
②头顶至脖子下端长度为，即，
，
，
所以，
综上，
结合选项可得其身高可能是.
7.【答案】A
【解答】
解：，
，
.
故选.
8.【答案】B
【解答】
解：根据题意，“和谐点对”定义可知，
只需作出函数的图象关于原点对称的图象，即，
看它与函数交点个数即可，如图：
观察图象可得，它们的交点个数是2，
即的“和谐点对”有2个.
故选：.
二 多选题（本大题共4小题，共20分.在每小题有多项符合题目要求）
9.【答案】AB
【解答】
解：对于，因为所以正确；
对于，两函数的定义域 对应关系均一致，所以是同一个函数，所以正确；
对于，两函数定义域为的定义域为，定义域不同，所以错误；对于，两函数的定义域为的定义域为，定义域不同，所以错误.故答案选：.
10.【答案】ACD
【解答】解：不等式的解集是，
则对应的方程的两根为-2和1，
，且，
故，且，
故，故正确；
，故错误；
，故正确；
故，即的解集是，故正确.
故选.
11.【答案】ACD
【解答】
解：由题意，，
则，即，故正确；
，故错误；
因为，而，
所以，故正确；
，故正确.
故选：ACD.
12.【答案】AC
【解答】
解：函数的定义域满足，解得，
则的定义域是，故正确；
所以，且，
故是非奇非偶函数，故不正确；
由于函数，
由复合函数单调性可得在上为单调增函数，
又函数，
由复合函数单调性可得在上为单调增函数，
所以是单调增函数，故正确；
由是上的单调增函数，且，
所以可得：
，
所以，解得或，故不正确.
故选：.
三 填空题（本大题共4小题，共20分）
13.【答案】12
【解答】
解：函数，则，
又，则.
故答案为：12.
14.【答案】-1
【解答】
解：由函数为幂函数，可得，解得或，
时，函数为，其在上单调递减，符合题意；
时，函数为，其在上单调递增，不符合题意.
故，
故答案为-1.
15.【答案】
【解答】
解：，
当且仅当且，即时取等.
故答案为.
16.【答案】
【解答】
解：对任意的，不等式恒成立，
令，此函数为定义域上的递增函数，
令，此函数为定义域上的递减函数，
若要满足恒成立，即恒成立，
结合复合函数单调性可知：
在上递增，在上递减.
在上递增，在上递减，
图象可知和有两个交点，，
可得正实数的取值范围是.
四 解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.【答案】解：
（2）
18.【答案】解：（1）因为集合，即，
，即.
所以，
又，
以；
（2）因为，
所以，
①当时，，此时；
②当时，由得，
即
综上，的取值范围为.
19.【答案】解：（1）根据题意，设，则，
则，
又由为奇函数，则，
故；
（2）根据题意，由（1）的结论，；
若，必有或，
变形可得：或，
解可得：或，
故不等式的解集为.
20.【答案】解：（1）函数为偶函数，可得，
即，化为，对任意恒成立，
解得，
所以，
证明：设，
由，可得，则，
所以，即，
则在上单调递增；
（2）不等式即为，
因为在上单调递增，
所以，即，
由可得；由可得，
所以原不等式的解集为.
21.【答案】解：（1）当时，设，
由图可知，当时，，即，
把点代入得：解得：，
所以
.
（2）由题意得，即，
解得：（小时），即（分），
故为了不使人身体受到药物伤害，同学们至少要经过66分钟方可进入教室
22.【答案】解：（1）令，
得，
因为，
所以，
可得；
（2）当时，，
当时，，
当时，，
所以，
因为，
所以，
综上所述：对任意，都有；
（3）令，得，
任取，且，
则，
所以，
所以，
所以在上单调递增，
由可得，
可得：，
解得：，
所以原不等式的解集为.