6.2离散型随机变量及其分布列 讲义（含答案）

离散型随机变量及分布列
随机变量与离散型随机变量★☆☆
1. 随机变量：一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点ω，都有唯一的实数X(ω)与之对应，我们称X为随机变量.
2．离散型随机变量：可能取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量，通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z；用小写英文字母表示随机变量的取值，例如x，y，z.
【微点拨】离散型随机变量的特征：
(1)可以用数值表示；(2)试验之前可以判断其可能出现的所有值，但不能确定取何值；
(3)试验结果能一一列出．
离散型随机变量的分布列★★★
若离散型随机变量X可能取的不同值为x1，x2，…，xi，…，xn，X取每一个值xi(i＝1，2，…，n)的概率P(X＝xi)＝pi，则表
X x1 x2 … xi … xn
P p1 p2 … pi … pn
称为离散型随机变量X的概率分布列，简称为X的分布列，有时为了表达简单，也用等式P(X＝xi)＝pi，i＝1，2，…，n表示X的分布列．
【性质】pi≥0(i＝1，2，…，n)；②pi＝1．
【微点拨】分布列的性质及其应用
(1)利用分布列中各概率之和为1可求参数的值，此时要注意检验，以保证每个概率值均为非负数．
(2)求随机变量在某个范围内的概率时，根据分布列，将所求范围内各随机变量对应的概率相加即可，其依据是互斥事件的概率加法公式．
两点分布★★★
对于只有两个可能结果的随机试验，用A表示“成功”，表示“失败”，定义X＝如果P(A)＝p，则P()＝1－p，那么X的分布列如表所示．我们称X服从两点分布或0－1分布．
X 0 1
P 1－p p
题型一：随机变量与离散型随机变量的判断及几何意义
1．5件产品中有3件次品，从中任取2件，可作为随机变量的是（ ）
A．取到产品的件数 B．取到正品的概率
C．取到次品的件数 D．取到次品的概率
2．甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，共下三局．用ξ表示甲的得分，则{ξ＝3}表示（ ）
A．甲赢三局
B．甲赢一局
C．甲、乙平局三次
D．甲赢一局输两局或甲、乙平局三次
3．写出下列随机变量可能取的值，并说明这些值所表示的随机试验的结果．
(1)袋中有大小相同的红球10个，白球5个，从袋中每次任取1个球，取后不放回，直到取出的球是白球为止，所需要的取球次数；
(2)从分别标有数字1，2，3，4的4张卡片中任取2张，所取卡片上的数字之和．
变式训练
4．下列叙述中，是离散型随机变量的为（　　）
A．将一枚质地均匀的硬币掷五次，出现正面和反面向上的次数之和
B．某人早晨在车站等出租车的时间
C．连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数
D．袋中有个黑球个红球，任取个，取得一个红球的可能性
5．小王钱夹中只剩下20元、10元、5元和1元的人民币各一张．他决定随机抽出两张用来买晚餐，用表示这两张金额之和，则的可能取值为 ．
6．写出下列随机变量可能取的值，并说明随机变量所取的值表示的随机试验的结果．
(1)一个袋中装有2个白球和5个黑球，从中任取3个，其中所含白球的个数；
(2)一袋中装有5只同样大小的球，编号为1，2，3，4，5现从该袋中随机取出3只球，被取出的最大号码数．
题型二：离散型随机变量分布列的性质及应用
7．设随机变量X的分布列为，，则的值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知离散型随机变量的分布列为
1 2 4 6
0.2 0.1
则下列选项正确的是（ ）
A． B．若，则
C．若，则 D．
9．已知随机变量服从两点分布，且.设，那么等于（ ）
A．0.6 B．0.3 C．0.2 D．0.4
变式训练
10．已知随机变量的分布列为，设，则（ ）
A． B． C． D．
11．已知随机变量X的分布列为（），其中是常数，则（ ）
A． B．
C． D．以上均不正确
12．设随机变量的分布列为，则（ ）
A． B．
C． D．
题型三：求离散型随机变量的分布列
求离散型随机变量X的分布列的步骤（其中）：
第一步：确定随机变量X的可能性取值
第二步：求出相应的概率
第三步：列分布列
13．一袋中装有4个白球和2个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个不放回，取出后记下颜色，若为红色停止，若为白色则继续抽取，停止时从袋中抽取的白球的个数为随机变量，则（ ）
A． B． C． D．
14．一个盒子里放着大小、形状完全相同的1个黑球、2个白球、2个红球，现不放回地随机从盒子中摸球，每次取一个，直到取到黑球为止，记摸到白球的个数为随机变量，则下列说法正确的是（ ）
A． B．
C． D．
15．某公司计划购买2台机器，该种机器使用三年后即被淘汰，机器有一易损零件，在购进机器时，可以额外购买这种零件作为备件，每个200元．在机器使用期间，如果备件不足再购买，则每个500元．现需决策在购买机器时应同时购买几个易损零件，为此搜集并整理了100台这种机器在三年使用期内更换的易损零件数，得下面柱状图：
以这100台机器更换的易损零件数的频率代替1台机器更换的易损零件数发生的概率，记X表示2台机器三年内共需更换的易损零件数，n表示购买2台机器的同时购买的易损零件数．
（1）求X的分布列；
（2）若要求，确定n的最小值；
16．据世界田联官方网站消息，原定于2023年5月13、14日在中国广州举办的世界田联接力赛延期至2025年4月至5月举行.据了解，甲、乙、丙三支队伍将会参加2025年4月至5月在广州举行的米接力的角逐.接力赛分为预赛、半决赛和决赛，只有预赛、半决赛都获胜才能进入决赛.已知甲队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；乙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和；丙队在预赛和半决赛中获胜的概率分别为和.
(1)甲、乙、丙三队中，谁进入决赛的可能性最大；
(2)设甲、乙、丙三队中进入决赛的队伍数为，求的分布列.
变式训练
17．为普及空间站相关知识，某部门组织了空间站模拟编程闯关活动，它是由太空发射 自定义漫游 全尺寸太阳能 空间运输等10个相互独立的程序题目组成.规则是：编写程序能够正常运行即为程序正确.每位参赛者从10个不同的题目中随机选择3个进行编程，全部结束后提交评委测试，若其中2个及以上程序正确即为闯关成功.现已知10个程序中，甲只能正确完成其中6个，乙正确完成每个程序的概率为0.6，每位选手每次编程都互不影响.
(1)求乙闯关成功的概率；
(2)求甲编写程序正确的个数的分布列和期望，并判断甲和乙谁闯关成功的可能性更大.
18．甲盒中有3个黑球，3个白球，乙盒中有4个黑球，2个白球，丙盒中有4个黑球，2个白球，三个盒中的球只有颜色不同，其它均相同，从这三个盒中各取一球.
(1)求“三球中至少有一个为白球”的概率；
(2)设表示所取白球的个数，求的分布列.
19．“绿水青山就是金山银山，坚持人与自然和谐共生”的理念越来越深入人心，现已形成了全民自觉参与，造福百姓的良性循环．据此，某网站推出了关于生态文明建设进展情况的调查，调查数据表明，环境治理和保护问题仍是百姓最为关心的热点．现从参与关注生态文明建设的人群中随机选出100人，并将这100人按年龄分为第1组，第2组，第3组，第4组，如图所示，已知区间，，，上的频率依次成等差数列．
（1）分别求出区间，，上的频率；
（2）现从年龄在及的人群中按分层抽样抽取7人，再从中选4人作为生态文明建设知识宣讲员，用表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，表示抽到作为宣讲员的年龄在的人数，设随机变量，求的分布列．
20．甲 乙两人玩抛骰子的游戏，双方约定：①通过一局“石头 剪刀 布”决定谁先抛骰子，获胜者先抛掷骰子，②每次抛两粒骰子，如果抛的两粒骰子点数和大于9，那么继续抛；否则对方抛.已知“石头 剪刀 布”甲获胜的概率为.
(1)求第2次抛郑骰子的人是甲的概率；
(2)记前3次抛骰子过程中甲抛骰子的次数为，求的分布列.
21．在某次数学考试中，共有四道填空题，每道题5分.已知某同学在此次考试中，在前两道题中，每道题答对的概率均为，答错的概率均为；对于第三道题，答对和答错的概率均为；对于最后一道题，答对的概率为，答错的概率为.
(1)求该同学在本次考试中填空题部分得分不低于15分的概率；
(2)设该同学在本次考试中，填空题部分的总得分为，求的分布列.
22．甲、乙、丙三人进行乒乓球单打比赛，约定：随机选择两人打第一局，获胜者与第三人进行下一局的比赛，先获胜两局者为优胜者，比赛结束．已知每局比赛均无平局，且甲赢乙的概率为，甲赢丙的概率为，乙赢丙的概率为．
(1)若甲、乙两人打第一局，求比赛局数的概率分布列；
(2)求甲成为优胜者的概率；
(3)为保护甲的比赛热情，由甲确定第一局的比赛双方，请你以甲成为优胜者的概率大为依据，帮助甲进行决策．
参考答案：
1．C
【分析】根据随机变量的定义可知.
【详解】对于A，5件产品中有3件次品，从中任取2件，取到产品的件数是一个常量不是变量，
BD也是一个定值，而C中取到次品的件数可能为0、1、2是随机变量.
故选：C
2．D
【分析】根据题意，结合比赛得分规则，分析甲得3分的情况，即可求解.
【详解】由题意知，甲、乙两人下象棋，赢了得3分，平局得1分，输了得0分，
其中甲得3分，有两种情况：
甲赢一局输两局，甲得分为3分；
甲、乙平局三次，甲得分为3分.
所以{ξ＝3}表示甲赢一局输两局或甲、乙平局三次.
故选：D.
3．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）设所需的取球次数为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果可得答案；
（2）设所取卡片上的数字之和为X，求出X的取值及所表示的随机试验的结果．.
【详解】（1）设所需的取球次数为X，则X＝1，2，3，4，…，10，11，
表示前次取到的均是红球，第i次取到白球，这里i＝1，2，3，4，…，11；
（2）设所取卡片上的数字之和为X，则X＝3，4，5，6，7.
表示“取出标有1，2的两张卡片”；
表示“取出标有1，3的两张卡片”；
表示“取出标有2，3或1，4的两张卡片”；
表示“取出标有2，4的两张卡片”；
表示“取出标有3，4的两张卡片”．
4．C
【分析】根据离散型随机变量定义依次判断各个选项即可.
【详解】对于A，掷硬币只有正面向上和反面向上两种结果，则掷五次，出现正面和反面向上的次数之和为，是常量，A错误；
对于B，等出租车的事件是随机变量，但无法一一列出，不是离散型随机变量，B错误；
对于C，连续不断地射击，首次命中目标所需要的次数是有限个或可列举的无限多个，是离散型随机变量，C正确；
对于D，事件发生的可能性不是随机变量，D错误.
故选：C.
5．6，11，15，21，25，30
【分析】根据题意，结合表示两张金额之和，即可求得的可能取值，得到答案.
【详解】由题意，随机变量的可能取值为6，11，15，21，25，30.
其中，表示“抽到的是1元和5元”；
表示“抽到的是1元和10元”；
表示“抽到的是5元和10元”；
表示“抽到的是1元和20元”；
表示“抽到的是5元和20元”；
表示“抽到的是10元和20元”．
故答案为：6，11，15，21，25，30.
6．(1)答案见解析
(2)答案见解析
【分析】（1）先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果；
（2）表示取出球的最大号码，先分析的可取值，然后分析每个取值对应的结果．
【详解】（1）可取0，1，2，
，表示取出的3个球中有0个白球，个黑球，
，表示取出的3个球中有1个白球，个黑球，
，表示取出的3个球中有2个白球，个黑球．
（2）可取3，4，5，
，表示取出的3个球的编号为1，2，3；
，表示取出的3个球的编号为1，2，4或1，3，4或2，3，4；
，表示取出的3个球的编号为1，2，5或1，3，5或1，4，5或2，3，5或2，4，5或3，4，5．
7．A
【分析】由分布列中所有概率和为1求解．
【详解】由题意，．
故选：A．
8．ABD
【分析】根据分布列的性质，以及概率的定义与互斥事件概率的加法公式，逐项判定，即可求解.
【详解】对于A中，由分布列的性质，可得，解得，所以A正确；
对于B中，若，可得，则，故B正确；
对于C中，由概率的定义知，所以C不正确；
对于D中，由，，则，所以D正确．
故选：ABD.
9．D
【分析】根据变量间的关系，转化为，由两点分步求解.
【详解】当时，由，
所以.
故选：D
10．A
【分析】根据离散型随机变量分布列的性质，求得参数值，结合互斥事件的概率公式，可得答案.
【详解】由题意，则，解得，
.
故选：A.
11．ABC
【分析】根据分布列的性质，列出方程求得，结合选项，逐项判定，即可求解.
【详解】根据题意，随机变量的分布列为，
则，解得，
则.
故选：ABC.
12．AB
【分析】利用随机变量分布列的概率和为，计算出值，判断出A正确；由且，可求出选项B，C，D中的的值，并分别计算出其概率．
【详解】由题意，得，解得，故A正确；
，故B正确；
易知，故C错误；，故D错误；
故选：AB．
13．A
【分析】由题意，令表示前k个球为白球，第个球为红球，此时，再进行计算即可求解．
【详解】令表示前k个球为白球，第个球为红球，
此时，
则．
故选：A．
14．CD
【分析】A选项，分析出所包含的情况，从而得到，BC选项，分析出所包含的情况，求出，D选项，利用的所有可能有，利用对立事件的概率公式求出.
【详解】A选项，，分为第一次即取到黑球，
或第一次摸到红球，第二次摸到黑球，
或前两次均摸到红球，第三次摸到黑球，
故，A错误；
BC选项，，即第一次摸到白球，第二次摸到黑球，
或前两次一次摸到红球，一次摸到白球，第三次摸到黑球，
或前三次有两次摸到红球，一次摸到白球，第四次摸到黑球，
故，B错误，C正确；
D选项，的所有可能有，
故，D正确.
故选：CD
15．（1）见解析.
（2）见解析.
（3）见解析.
【分析】（1）由已知得X的可能取值为16，17，18，19，20，21，22，分别求出相应的概率，由此能求出X的分布列；（2）由X的分布列求出P（X≤18）=，P（X≤19）=．由此能确定满足P（X≤n）≥0．5中n的最小值；（3）购买零件所用费用含两部分，一部分为购买零件的费用，另一部分为备件不足时额外购买的费用，分别求出n=19时，费用的期望和当n=20时，费用的期望，从而得到买19个更合适．
【详解】（1）由柱状图并以频率代替概率可得，一台机器在三年内需更换的易损零件数为8，9，10，11的概率分别为0．2，0．4，0．2，0．2，从而
；
；
；
；
；
；
．
所以的分布列为
16 17 18 19 20 21 22
（2）由（1）知，，故的最小值为19．
16．(1)甲进入决赛的可能性最大
(2)分布列见解析
【详解】（1）解：由题意，甲队进入决赛的概率为，
乙队进入决赛的概率为，
丙队进入决赛的概率为，
显然甲队进入决赛的概率最大，所以甲进入决赛的可能性最大.
（2）解：由（1）可知：甲、乙、丙三队进入决赛的概率分别为，，，
随机变量的可能取值为0，1，2，3，
可得，
，
，
所以的分布列为：
0 1 2 3
17．(1)0.648
(2)分布列见解析，期望为，甲比乙闯关成功的概率要大.
【详解】（1）记事件A为“乙闯关成功”，乙正确完成每个程序的概率为0.6，
则
（2）甲编写程序正确的个数的可能取值为，
，
故X的分布列为：
0 1 2 3
甲闯关成功的概率，故甲比乙闯关成功的概率要大.
18．(1)(2)分布列见解析
【详解】（1）记甲、乙、丙盒中取一球为白球事件分别为，三球中至少有一球为白球记为事件，
则；；.
；
（2）由题意可知，随机变量的可能取值为0，1，2，3.
，
，
，
.
所以，随机变量的分布列如下：
0 1 2 3
19．（1）0.1，0.2，0.3；（2）分布列见解析；．
【分析】（1）通过所给的频率，求出其余频率之和，借助前三个频率成等差数列可分别求出对应的频率；（2）分别求出当时，，当，或，时，，当，，，找到的所有可能取值后，借助排列组合知识求解即可．
【详解】（1），，上的频率之和为，
且前三个频率成等差数列（设公差为），故上的频率为，
从而，解得.
故区间，，上的频率分别为0.1，0.2，0.3.
（2）由题意知组抽取3人，组抽取4人，
当时，，
当，或，时，，
当，，，
所以的所有取值为0，2，4，
所以，，，
所求分布列为
0 2 4
.
20．(1);
(2)分布列见解析，.
【分析】（1）先分甲还是乙抛骰子，列出两次投骰子点数大于9的基本事件数即可；（2）三次抛骰子的机会，故的所有可能取值为，分别列出每个概率后得到分布列.
【详解】（1）抛掷两粒骰子点数和大于9的情形有：共6种
情形一：第一次抛骰子为甲，
情形二：第一次抛骰子为乙，
第二次抛骰子的人是甲的概率
（2）的所有可能取值为
的分布列如下：
0 1 2 3
21．(1)；
【详解】（1）设“第题答对”为事件，设“得分不低于15分”为事件B，
则P(B)=
=
=；
（2）易知的取值可能为0，5，10，15，20，
，
=；
=
=；
=；
；
则的分布列为：
0 5 10 15 20
22．(1)答案见解析
(2)
(3)甲参加第一局比赛成为优胜者的概率大
【详解】（1）比赛局数的可能取值为2，3，4．