安徽省芜湖市名校2023-2024学年高二上学期12月测试数学试题（PDF版含答案）

安师大附中2023-2024学年高二第一学期12月测试
数学试题
2023.12.20
1．若直线mx y 2m 1 0与直线 x my 1 0平行，则实数m的取值为（ ）
A．1或 1 B． 1 C．1 D． 0
2．在正三棱锥 P ABC中，PA AB 4，点D，E分别是棱 PC，AB的中点，则 AD PE
（ ）
A．-2 B．-4 C．-8 D．-10
3 ．若方程 x2 y2 4 y k 0表示一个圆，则 k的取值范围是（ ）
A． (0, 4) B． ( , 4) C． ( 2,4) D． (4, )
4．已知 Sn为等差数列 an 的前 n项和， a7 2a9 a17 24，则 S20 （ ）
A．240 B．60 C．180 D．120
5 AB x
2 y2
．设 是椭圆 2 2 1（a b 0）的长轴，若把 AB一百等分，过每个分点作
a b
A B的垂线，交椭圆的上半部分于 P1、P2、… 、P99 ，F1为椭圆的左焦点，则
| F1A | | F1P1 | | F1P2 | | F1P99 | | F1B |的值是（ ）
A．98a B．99a C．100a D．101a
6．直三棱柱 ABC - A1B1C1中， ABC 90 ，AB BC AA1 1，E，F，G分别为 AA 1，
AB， AC的中点，则（ ）
A． EF BC1
B．VA V1 C1EF B C1EF
C EF C G 3． 与 1 所成角的余弦值为
6
D 2．点 G到平面 AFC1的距离为
2
7．已知 F1,F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 F1PF
π
2 ，则3
椭圆和双曲线的离心率乘积的最小值为（ ）
A 3 B 2． ．
2 2
C 6 3． D．
2 3
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
8．已知抛物线 C：y2 2x的焦点为 F，准线为 l，过 F的直线交抛物线 C于 A，B两点，
AF的 中垂线分别交 l与 x轴于 D，E两点（D，E在 AB的两侧）.若四边形 ADFE为菱
形，则 AB （ ）
16 8 4
A． B． C． D．23 3 3
9．已 知m R ，曲线C： (m 1)x 2 (3 m)y 2 (m 1)(3 m) ，则（ ）
A．当m 3时，C是 x轴
B． 当1 m 3时，C是椭圆
C．当m 1时，C是双曲线，焦点在 x轴上
D． 当m 3时，C是双曲线，焦点在 y轴上
10．设 数列 a 的前 n S项和为 S ， n 1 Sn n n 1，S1 32，则下列说法正确的是（ ）n 1 n
A ． an 是等差数列 B． S3， S6 S3， S9 S6成等差数列，公差为 9
C ．当 n 16或 n 17时， Sn取得最大值 D． Sn 0时， n的最大值为 32
π
11 ．如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 平面 ABCD，PB与底面 ABCD所成的角为 ，
4
ABC BAD π底面 ABCD为直角梯形， , AD 2,PA BC 1，点 E为棱 PD上一点，
2

满足 PE PD 0 1 ，下列结论正确的是（ ）
A ．平面 PAC 平面 PCD；
B ．点 P到直线CD的距离 3；
1
C 2 5．当 = 时，异面直线CE与 AB所成角的余弦值为 ；
2 5
D 5．点 A到平面 PCD的距离为 .
2
2 2x y12． 实数 x, y满足 x 1 （y 2）2 1，则 z x2 y2 取值可能是（ ）.
4 11
A． B．1 C． D．3
5 5
13. 已知数列 an 的前 n项和为 S 2n 2n n 1，则数列 an 的通项公式为 .
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
y214. 已知抛物线 2px ( p 0)的焦点为 F，过 F 的直线交抛物线于 A，B 两点（A 在 x 轴
上方） ，延长 BO 交抛物线的准线于点 C，若 | AF | 3 | BF |, | AC | 3，则抛物线的方程
为 .
15．下列五个正方体图形中，l是正方体的一条对角线，点M ，N，P分别为其所在棱
的中 点，能得出 l 平面MNP的图形的序号是 ．（写出所有符合要求的图的序号）
16 x
2 y2
．已知椭圆 1，过点 P 0,2 的直线 l与椭圆交于不同的两点 A、B，O为坐
4 2
标 原点，若点 O在以 AB为直径的圆外，则直线 l的斜率 k的取值范围为 ．
17． 记 Sn为等差数列 an 的前 n项和，已知 a3 18， S2 5a6 .
(1) 求 an 的通项公式；
(2) 求 Sn的最小值.
2
18 ．已知T为圆M ： x 2 y2 16上任一点，N 2,0 ，MQ MT ， [0,1]，

且 满足 QT QN TN 0 .
(1) 求动点Q的轨迹 的方程；
(2)过点 P(0,1)的直线与轨迹 相交于A , B两点，是否存在与点 P不同的定点 R，使
RA PA

RB PB 恒成立？若存在，求出点
R 的坐标；若不存在，请说明理由.
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
19．如图，在三棱柱 ABC - A1B1C1中，AC BC，四边形 ABB1A1是菱形， ABB1 60 ，

点 D 在棱CC1上，且CD CC1 ．
(1) 若 AD B1C，证明：平面 AB1C 平面 ABD．
(2) 若 AB B1C 2AC，是否存在实数 ，使得平面 AB1C与平面 ABD
所成角的余弦值
1
是 ？若存在，求出 的值；若不存在，请说明理由．
7
20． 已知公差大于 0的等差数列{an}的前 n项和 Sn，且满足： a3 a4 117,a2 a5 22 .
(1) 求数列{an}的通项公式 an ；
{b S(2) 若数列 nn}是等差数列，且bn ，求非零常数 c；n c
64b
(3) 若（2）中的{bn}
n
的前 n项和Tn，求证： 2Tn 3bn 1 (n 9)b .n 1
2 2
21 x y．已知椭圆 E : 2 2 1(a b 0)经过点C(0,1)
2
，且离心率为 ，过椭圆右焦点为
a b 2
F ， 的直线 l与 E交于 A,B两点，点M 的坐标为 (2,0) .
(1)求椭圆 E的方程；
(2)设 O为坐标原点，证明： OMA OMB
x2 y2
22 .已知椭圆 1 a b 0 的右焦点F 的坐标为 1,0 2，离心率 e ．
a2 b2 2
(1)求 椭圆的方程；
(2)设点 P 、Q为椭圆上位于第一象限的两个动点，满足PF QF ，C 为 PQ的中点，线
段 PQ的垂直平分线分别交 x 轴、 y 轴于 A 、 B 两点．
（ⅰ ）求证： A 为 BC 的中点；
S△ABO 3
（ⅱ）若 （ S 为三角形的面积），求直线 PQ的方程．
S△BCF 5
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12 月数学参考答案
一.选择题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C B D D B A B
二.不定项 选择
题号 9 10 11 12
答案 CD AC ABC BC
三、填空题
2 n 1 2 2 2
13. a 14． = 3 n 15. ①③⑤ 16. 2, , 2
4n 1n 2
2 2
四、解答 题
17.（1） 解：设等差数列 an 的公差为d ，
a1 2d 18
由 a3 18， S2 5a6，可得 ，解得 a1 24,d 3
2a
，
1 d 5(a1 5d)
所以 数列 an 的通项公式为 an a1 n 1 d 3n 27 .
（2） 解：由（1）知 d 3，可得数列 an 为递增数列，且 a9 3 9 27 0，
所以 当1 n 8,n N 时， an 0；当n 9 时， a9 0；当 n 10,n N 时， an 0，
所以 ，当 n 8或9时， S S S
9(a1 a9)
n取得最小值，即 8 9 108，2
所以 Sn 108，故 Sn的最小值为 108 .
218. （1）圆M ： x 2 y 2 16，圆心M 2,0 ，半径为 4，因为N 2,0 ，
则 MN 2 2，

因为MQ MT ， [0,1]，则Q在线段TM 上，即 QT QM 4，

又因为 QT QN TN 0，所以 QN QT ，即 QN QM 4 2 2 MN ，
所 以动点Q的轨迹 是以M ,N为焦点，长轴长为 4的椭圆，
x2 y2
设 椭圆方程为 2 2 1 a b 0 ，则 2a 4， 2c 2 2，则 a 2， c 2，a b
2 x2 2
所 以b2 a2
y
c2 22 2 2，则动点Q的轨迹 的方程为 1.4 2
（2 ）设过点 P(0,1)的直线为 l，
当 l 平行于 x轴时，直线与椭圆相交于 A,B两点，如果存在点 R满足条件，
| RC | | PC |
则有 1，即 RC RD ，所以 R点在 y R| RD | | PD | 轴上，可设 的坐标为 0, y0 ；
当 l垂直于 x轴时，直线与椭圆相交于 A,B两点， A 0, 2 ,B 0, 2 ,如果存在点 R满
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
| RA | | PA | | y 2 | 2 1
足条件，则有 0 y 1 y 2| RB | | PB | ，即 ，解得 或| y 2 | 2 1 0 0
，
0

所以若存在不同于点 P的定点 R满足条件，则点 R的坐标为 0,2 ，
当 l不平行于 x轴时且不垂直于 x轴时，设直线 l方程为 y kx 1， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y kx 1

联立 x 2 y2 ，得 1 2k 2 x2 4kx 2 0 ，
1 4 2
4k 2
因为直线 l恒过椭圆内定点 P 0,1 ，故 0恒成立， x1 x2 , x x ，
1 2k 2 1 2 1 2k 2
又因为点 B关于 y轴的对称点 B 的坐标为 x2 , y2 ，
k y1 2 kx1 1 1 y 2 kx 1 1又 RA k k 2 2 k x x x ， RB x x ， 1 1 1 2 2 x2
4k
2
则 k RA kRB 2k
x1 x 2 2k 1 2k
x x 2
0，
1 2
1 2k
2
RA RA x PA
所以 kRA k
1
RB ，则 R, A,B 三点共线，所以 RB RB x ，2 PB
RA PA
综上，存 在与点 P不同的定点 R，使 R 0,2 RB PB 恒成立，且 .
19. （1） 证明：取 AB的中点 O，连接OB1，OC．
因为 四边形 ABB1A1是菱形，且 ABB1 60 ，所以 AB1 BB1．
因为 O为 AB的中点，所以 AB OB1．
因为 AC BC，且 O为 AB的中点，所以 AB⊥OC．
因为OB1，OC 平面OB1C，且OB1 OC O ，所以 AB⊥平面OB 1C．
因为 B1C 平面OB1C，所以 AB B1C．
因为 AD B1C，AB， AD 平面 ABD．且 AB AD A，所以 B1C 平面 ABD．
因为 B1C 平面 AB1C，所以平面 AB1C 平面 ABD．
（2）因为 AB 2AC 2BC，所以 AB2 AC2 BC2，所以 AC⊥BC．
1
因为 O是 AB的中点，所以OC AB．
2
因为四边形 ABB1A1是菱形，且∠ ABB1 60 ，所以 ABB1是等边三角形．
3
因为 O是 AB的中点，所以OB1 AB．2
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
因为OB21 OA
2 AB2 OB21 OC
2 B1C
2
，所以 AB B1C，则 OB，OC，OB1两两垂直，

故以 O为 原点，OB，OC，OB1的方向分别为 x，y，z轴的正方向建立如图所示的空
间直角坐标系．

设 AB 2，则 A 1,0,0 ，B 1,0,0 ，C 0,1,0 ，A1 2,0, 3 ，B1 0,0, 3 ，故 AC 1,1,0 ，
uuur
AB 2 ,0,0 ， AB1 1,0, 3 ， BC 1,1, 0 ， AA1 ( 1,0, 3) .

因为CD CC1 AA1 ,0, 3 ，所以D ,1, 3 ，所以 AD 1 ,1, 3 ．

设平面 AB1C的法向量为 n x1, y1, z1 ，
n·AC x y 0
则
1 1
，令 x1 3，得 n 3, 3, 1 ．
n·AB1 x1 3z1 0

设平面 ABD的法向量为m x2 , y2 ,z2 ，

m·A B 2x2 0
则 ，令 z2 1，得m 0, 3 , 1 ． m·AD (1 )x 2 y 2 3 z 2 0

n m 1 3 1
设平面 AB1C与平面 ABD所成的角为 ，则 cos cos n,m ，
n m 7 3 2 1 7
解得
1 1 1 1
或 ，故存在 或 ，使得平面 AB C与平面 ABD所成角的余弦值2 5 2 5 1
1
是 ．
7
20．（1）解：由等差数列{an}满足： a3 a4 117,a2 a5 22 ，
因为 a3 a 2 4 a2 a5 22，可得 a3,a4是方程 x 22x 117 0的两个实根，
又因为 d 0，可得 a3 a4，解得a3 9,a4 13 ，
a1 2d 9
所以 ，解得 a1 1,d 4，所以数列 an 的通项公式为 an 4n 3 .
a 1 3d 13
n(1 4n 3)
2 2（ ）解 ：由（1）知 an 4n 3，所以 Sn 2n n，2
b Sn 2n
2 n 1 6 15
可得 n ，所以b1 ,b ,b ，n c n c 1 c 2 2 c 3 3 c
因为 b 2 n 是等差数列，所以 2b2 b1 b3，可得的 2c c 0，
c 1 1解得 或 c = 0，又因为 c 0，所以 c .2 2
b 2n
2 n
3 2 2n（ ）解：由（ ）得 n n ， 1
2
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
当 n 2时， 2Tn 3b
2 2
n 1 2(n n) 3(2n 2) 2(n 1) 4 4，
当且仅当 n 1时，等号成立，
64bn 64 2n 64 4
又由 ( n 9)bn 1 (n 9) 2(n 1) n 9 10 ，当且仅当 n 3时，等号成立，
n
所以 2T
64bn
n 3bn 1 .
(n 9)bn 1
221. 1 E : x
2 y2
．（ ）解：由椭圆 2 2 1(a b 0)经过点C(0,1)
2
，且离心率为 ，
a b 2
可得 b 1
c 2
， ，又因为 a2 b2 c2，解得 a 2，
a 2
x2
所以 椭圆方程为 y
2 1 .
2
（2）解：当 l与 x轴重合时， OMA OMB 0o .
当 l与 x轴垂直时，OM 为 AB的垂直平分线，所以 OMA OMB ，
当 l与 x 轴不重合也不垂直时，设 l的方程为 y k x 1 k 0 ， A x1, y1 ,B x2 , y2 ，
y y
则 x1 2, x2 2，直线MA、MB
1 2
的斜率之和为 kMA kMB x ，1 2 x2 2
2kx x 3k x x 4k
由 y 1 kx1 k , y2 kx2 k
1 2 1 2
，可得 kMA kMB x 2 x ， 2
1 2
y k x 1 2 2 2 2
联立 方程组 x2 2 ，整理得 2k 1 x 4k x 2k 2 0，
y 1
2
4k 2 2k 2 2
所以 x1 x2 2 , x1x2 2 ，2k 1 2k 1
3 3 3
2kx x 3k x x 4k 4k 4k 12k 8k 4k则 1 2 1 2 2 0，2k 1
从而 kMA kMB 0 ，故MA、MB的倾斜角互补，所以 OMA OMB，
综上可得， OMA OMB .
x2 y2
22.（Ⅰ）Q 椭圆 1 a b 0 的右焦点F 的坐标为 1,0 ，
a2 b2
c 2
c 1，又离心率e , a 2,b 1，
a 2
x2
椭圆的方程为 y2 1；
2
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}
（Ⅱ）（ⅰ）依题意，设直线 PQ方程为 y kx m,k 0,m 0，
y kx m
联立 2 2 ，消去 y ，得 (2k
2 1)x2 4kmx 2m2 2 0，
x 2y 2
16k2m2 8(m2 1)(2k2 1) 8(2k2 m2 1) 0，
2 m24km 1
设 P(x 1, y1)，Q (x2 , y2)，则 x ，1 x2 , x2 1 x2
2k 1 2k
2 1
x x
设 PQ中点C(x , y )，则 x 1 2
2km
0 0 0 ，
2 2k 2 1
m 2km m
y0 kx0 m ，即C 点坐标为 ( , ），
2k 2 1 2k 2 1 2k 2 1
m 1 2km
线段PQ的垂直平分线 AB 方程为 y (x )，
2k 2 1 k 2k 2 1
km m
令 y 0，得 A( ,0)，令 x 0，得B(0, )，
2k 2 1 2k 2 1
xB xc yB yQ xA , yA
c ， A为BC 中点；
2 2
（ⅱ）由（ⅰ）得 A为 BC 中点，
S S | AO | x 3 6
ABO ABO A , xA ，
S BCF 2S ABF 2 | AF | 2 1 xA 5 11
uuur uuur
Q PF QF, PF QF (1 x1)(1 x2) y1y2
(1 k 2)x1x2 (mk 1)(x1 x2) m
2 1
2(k 2 1)(m2 1) 4mk(mk 1) (m2 1)(2k 2 1)
0，
2k 2 1
1 3m2
整理得3m2 1 4km 0，即 k ，
4m
1 3m2
km 2m24 (1 3m
2 ) 6
又Q xA 2 ，
2k 2 1 1 3m 2 22 (1 3m ) 8m
2 11
2( ) 1
4m
2 1
整理得6m4 17m2 3 0，解得m2 3或m （舍去），
6
1 9 2 3
Q m 0, m 3,k ，此时 ，
4 3 3
2 3
直线PQ方程为 y x 3 .
3
{#{QQABLYgAggCoAAJAABgCEQXoCAKQkAGACIoGgBAMIAIBwBFABAA=}#}