鹤山一中 2023-2024 学年高一第一学期阶段二考试
高一数学答案 2023.12
BBAB DCBA
ACD, AC, BD, BD
1 1
8.令 f (x) = m x = 0 = m x ，显然有 x 0且 x 2且m 0 ，
x+ 2 x+ 2
1 x (x + 2) , x 0
于是有 = x (x + 2) = ，
m x (x + 2) , x ( , 2) ( 2,0)
x (x + 2) , x 0
设 g (x) = x (x + 2) = ，它的图象如
x (x + 2) , x ( , 2) ( 2,0)
下图所示：
1
因此要想函数 f (x) = m x 有三个零点，只需
x + 2
1
0 1 m 1，故选：A
m
x 1
12. f (x) = a 2（ a 0且 a 1） 图像恒过定点为 (1, 1)，与(1, - 2) 不符，A错；
2
1+ 2 =
2 a不等式 ax + 2x+ c 0的解集为 x x 1或 x 2 ，故必有 ，
c 2 =
a
a = 2
解得 ，进而得到 a+ c = 2，故 B正确；
c = 4
9
选项 C， f (x) = x
2 +16 + 6，当且仅当 x2 +16 = 9，方程无解，故等号不可成立，故 C 错
x2 +16
误；
x2 x+2
1 1 u 1选项 D，函数 g (x) = 是复合函数，由 y = ( ) 和
2
u = v 2 ，以及v = x x+ 2，三个函数复
2 2
合而成，故所求函数 g(x)的单调增区间为函数 v的单调递减区间，且要求v 0，而函数v 的单调递减区
1
间为 x ,+
2
，又因为 v 0，故 x x+ 2 0，解得 (x+2)(x 1)≤0，得 2 x 1，综上，
2
1
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
x2 x+2
1函数
1
g (x) = 的单调增区间为 ,1 ，故 D 正确故选：BD
2 2
13. 0. 14 ( , 2)U(1,2)
1 O 1 2700 1 3 3
15. 当O = 2700时, v = log3 = log = log 27 = ,故答案为: .3 3
2 100 2 100 2 2 2
( 1) (
2) ， ≥ 1
16.∵对任意的实数 x1≠x2 都有 ＞0 成立，∴函数 f（x）= { 在 R上单调递
1 2 (4 ) + 2， ＜12
＞1
增，∴ 4 ＞02 ，解得：a∈[4，8），
≥ 4 + 2
{ 2
2
0.5
3
17. 【详解】（ 1 81） 2 2
2 0.75 + 6
4 27
1 2
2 3
9 2 3 1 2 3 3 9 1 9
= + = + =1． ……5 分
4 4 36 3 2 16 36 4
2
1 11 1 1
（2）因为 a2 + a 2 = 3，所以 a + a = a
2 + a 2 2 = 7 ， 所以
2
a2 + a 2 = (a + a 1) 2 = 47，
a3 + a 3 +3 (a + a 1 )(a2 + a 2 1)+3
所以 = = 65． ……10 分
a + a 1 2 a + a 1 2
3
18. 解：（1）根据题意， f (x) = a 在 R 上为增函数，
2x +1
x x
3 3 3(2 1 2 2 )
证明：设 x x ，则 f (x1) f (x2 ) = (a ) (a ) = ， 1 2 x x x x
2 1 +1 2 2 +1 (2 1 +1)(2 2 +1)
3
又由 x1 x ，则2 f (x ) f (x ，则函数1 2 ) 0 f (x) = a 在 R 上为增函数，……6 分
2x +1
3
（2）根据题意，由（1）的结论， f (x) = a 在 R 上为增函数，
2x +1
f ( 1) 0
若函数 f (x)在区间 ( 1,1)上有零点，则有 ，解可得：1 a 2 ，即 a 的取值范围为 (1,2) ．……
f (1) 0
12 分
19.解：(1)由 x 1,3 ，都有不等式 x2 4x m 0成立，
2
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
2 m (x2得 x 4x m 0在 x 1,3 时恒成立，所以 4x) ，
max
因为二次函数 y = x2 4x在 1,2 上单调递减，在 2,3 上单调递增，
且当 x=-1 时，y=5,当 x=3,y=-3.
所以，当 x 1,3 时， y ， ，所以， A = m m 5 . max = 5 m 5 ……6 分
(2)由 x2 3ax+ 2a2 0可得 (x a)(x 2a) 0 .
①当 a 0时，可得 B = x x 2a 或 x a ，
因为 x A是 x B 的充分条件，则 A B，则a 5，此时，a 0；
②当 a 0时，可得 B = x x a 或 x 2a ，
5 5
因为 x A是 x B 的充分条件，则 A B，则2a 5，解得a ，此时0 a≤ .
2 2
5
综上所述，实数 a的取值范围是 a a 0或0 a .……12 分
2
20．（1）由题 f (n) = 95n (10n2 5n) 90 = 10n2 +100n 90 = 10(n 1)(n 9)，
由 f (n) 0得1 n 9，又 n N*，所以该设备从第 2 年开始实现总盈利．……4 分
（2）方案二更合理，理由如下：
2 2
方案一：由（1）知，总盈利额 f (n) = 10n +100n 90 = 10(n 5) +160，
当 n = 5时， f (n)取得最大值 160，此时处理掉设备，则总利润为160+20 =180万元；
f (n) 10n2 +100n 90
方案二：由（1）可得，平均盈利额为 =
n n
9 9 9
= 10 n+ +100 100 20 n = 40 ，当且仅当n = ，即n = 3时等号成立；
n n n
即 n = 3时，平均盈利额最大，此时 f (n) =120，此时处理掉设备，总利润为120+60 =180 万元．综
上，两种方案获利都是 180 万元，但方案二仅需要三年即可，故方案二更合适．…12 分
（ ﹣ ）（ ）
21.解：（1）∵函数 f（x）＝（a2﹣a﹣1）x 1 a 2+a 是幂函数（a∈R），且 f（1）＜f（2），∴a2﹣a﹣1＝
1，且（1﹣a）（2+a）＞0，求得 a＝﹣1，故 f（x）＝x2．……5 分
（2）设存在实数 b，使函数 g（x）＝3﹣f（x）+2bx＝﹣x2+2bx+3 在区间[﹣1，1]上的最大值为 6，由于 g
（x）的图象的对称轴为 x＝b，
3
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
当 b＜﹣1 时，则 g（﹣1）＝﹣1﹣2b+3＝6，求得 b＝﹣2；
当﹣1≤b≤1 时，g（b）＝﹣b2+2b2+3＝6，求得 b＝±√3（舍去）；
当 b＞1 时，则 g（1）＝﹣1+2b+3＝6，求得 b＝2，综上可得，存在 b＝±2，满足条件．…12 分
22.（1）函数 f (x) = ln(x+a)(a R)的图像过点 (1,0)，所以 ln(1+ a) = 0，解得a = 0，
所以函数 f (x)的解析式为 f (x) = ln x . ……2 分
（2）由（1）可知 y = ln x+ ln(2x k) = ln (2x2 kx)， x (1,2) ，
令 ln (2x2 kx) = 0，得 2x2 kx 1= 0，
设 h(x) = 2x2 kx 1，则函数 y = f (x)+ ln(2x k)在区间 (1,2)上有零点，
h(1) =1 k 0 7
等价于函数 y = h(x)在 (1,2)上有零点，所以 ，解得1 k ，
h(2) = 7 2k 0 2
因为 k Z，所以 k 的取值为 2 或 3. ……6 分
1 1
（3）因为m 0且m ，所以m 1且0 1，
m m
因为 g(x) = x2 2e f (x) = x2 2x = (x 1)2 1，
1
所以 g (x)的最大值可能是 g (m)或 g ，
m
1 1 2 1 2
因为 g(m) g 2 2 = m 2m = m 2m
m m
2 m m2 m
1 1 1 (m 1)
2
= m m + 2 = m 0
m m m m
所以 g(x) 2max = g(m) =m 2m，
只需 g(x)max ln(m 1)，即m
2 2m ln(m 1)，
设 h(m) =m2 2m+ ln(m 1)(m 1)， h(m)在 (1,+ )上单调递增，
又 h(2) = 0，∴m2 2m+ ln(m 1) 0，即 h(m) h(2)，所以1 m 2，
所以 m 的取值范围是 (1,2) .……12 分
4
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}鹤山一中 2023-2024 学年度第一学期第二阶段考试
高一数学试卷 2023.12
一、单项选择题：本大题共 8 题，每题 5 分，共 40 分.
1. 集合 A={1，2，3，4}，B={3，4，5，6}，则图中阴影部分表示的集合为（ ）
A． B．{1，2} C．{3，4} D．{5，6}
2.已知a,b R，则“ab = 0”是“a2 +b2 = 0”的（ ）
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件
1
3. 设 a=lg 0.2，b= log3 2，c= 5
2 ，则（ ）
A．a b c B．b c a
C．c a b D．c b a
4. 函数 f (x) = x3 x 5的零点所在的区间是（ ）
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,3) D. (3,4)
2x
5. 函数 f (x) = 的图象大致为（ ）
x2 +1
A. B.
C. D.
6. 给定函数 f（x）＝x+2，g（x）＝4﹣x2，对于 x∈R，用 M（x）表示 f（x），g（x）中的
较小者，记为M（x）＝min{f（x），g（x）}，则 M（x）的最大值为（ ）
A．0 B．1 C．3 D．4
1 1
7. 若3x = 5y = k ，且 + = 2，则 k的值为（ ）
x y
A．2 2 B． 15 C．15 D．225
高一数学共 4 页，第1页
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
1
8. 已.知函数 f (x) = m x 有三个零点，则实数 m的取值范围为（ ） x + 2A. m 1 B. 0 m 1 C 1 m 2 D. m 1 二、多项选择题：本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分. 9. 下列命题中，真命题的是（ ） A． a 1，b 1是ab 1的充分不必要条件 aB．a+b = 0的充要条件是 = 1 b
C．命题“ x R，使得 x2 + x+1 0”的否定是“ x R，都有 x2 + x+1 0”
D．命题“ x R， x2 + x+1 0”的否定是“ x R， x2 + x+1= 0”
10. 下列函数中，既是偶函数，又在 (0,+ )上单调递增的为（ ）
f (x) = x f (x) = x3A. B.
x 1
C. f (x) = 2 D. f (x) =
x2
x + 2, x 1
11.已知函数 f (x) = ，关于函数 f x2 ( )的结论正确的是（ ）
x +3, x 1
A． f (x)的最大值为3 B． f (0) = 2
C．若 f (x) = 1，则 x = 2 D． f (x) 2的解集为 ( ,0) (1,+ )
12.下列说法正确的是（ ）
A. 函数 f (x) = ax 1 2（a 0且a 1）的图像恒过定点(1, - 2)
B. 若不等式ax2 + 2x+ c 0的解集为 x x 1或 x 2 ，则a+ c = 2
f (x) = x2
9
C. 函数 +16 + 的最小值为 6
x2 +16
x2 x+2
1 1 D. 函数 g (x) = 的单调增区间为 ,1
2 2
三、填空题：本大题共 4 题，每题 5 分，共 20 分.
2
13. 已知集合 A = a,1,2b ，B = a ,b,a +b ，若0 A∩B，则b = ___________.
高一数学共 4 页，第2页
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
14.已知偶函数 f (x)在区间 ( ,0 上单调递减，且 f ( 2) = 0，则不等式
(x 1) f (x) 0的解集为__________.
15.大西洋鲑鱼每年都要逆流而上，游回产地产卵.研究鲑鱼的科学家发现鲑鱼的游速可
1 O
以表示为函数v = log3 ，单位是m / s，其中O表示鱼的耗氧量的单位数.当一条鱼
2 100
的耗氧量是 2700 个单位时，它的游速是______ m / s .
， ≥ 1
16. 若函数 f（x）= { 且满足对任意的实数 x1≠x2 都有
(4 ) + 2， ＜1
2
( 1) ( 2)
＞0 成立，则实数 a的取值范围是 .
1 2
四、解答题：本大题共 6 题，第 17 题 10 分，18 至 22 题每题 12 分，共 70 分.
2
0.5
1 8 317.（1）计算：
2 0.75
2 + 6 2 ；
4 27
3
1 1
a + a
3 +3
（2）已知a2 + a 2
= 3，求 的值．a + a 1 2
3
18. 已知函数 f (x) = a ．
2x +1
（1）判断函数 f (x) 的单调性，并证明你的结论；
（2）若函数 f (x) 在区间 ( 1,1)上有零点，求 a的取值范围．
19.已知命题：“ x 1,3 ，都有不等式 x2 4x m 0成立”是真命题.
（1）求实数m 的取值集合A ；
（2）设不等式 x
2 3ax+ 2a2 0(a 0)的解集为 B ，若 x A是 x B 的充分条件，求
实数a的取值范围.
高一数学共 4 页，第3页
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
20. 某企业为了增加工作岗位和增加员工收入，投入 90万元安装了一套新的生产设
备，预计使用该设备后前n(n N*) 2年的支出成本为 (10n 5n)万元，每年的销售收
入 95 万元．设使用该设备前n年的总盈利额为 f (n)万元．
（1）写出 f (n)关于n的函数关系式，并估计该设备从第几年开始盈利；
（2）使用若干年后对该设备处理的方案有两种：
方案一：当总盈利额达到最大值时，该设备以 20万元的价格处理；
方案二：当年平均盈利额达到最大值时，该设备以 60 万元的价格处理；
问哪种方案较为合理？并说明理由．
（ ﹣ ）（ ）
21. 已知函数 f（x）＝（a2﹣a﹣1）x 1 a 2+a 是幂函数（a∈R），且 f（1）＜f（2）．
（1）求函数 f（x）的解析式；
（2）试判断是否存在实数 b，使得函数 g（x）＝3﹣f（x）+2bx在区间[﹣1，1]上的最大
值为 6，若存在，求出 b的值；若不存在，请说明理由．
22.已知函数 f (x) = ln(x+a)(a R)的图象过点 (1,0)， g(x) = x2 2e f (x) .
（1）求函数 f (x)的解析式；
（2）若函数 y = f (x)+ ln(2x k)在区间 (1,2)上有零点，求整数 k的值；
1
（3）设m 0，若对于任意 x ,mm
，都有 g(x) ln(m 1)，求 m的取值范围.
高一数学共 4 页，第4页
{#{QQABJYKEogCgABBAABhCEQGYCACQkBCAACoGRBAMMAIBAQNABAA=}#}
