2023-2024学年江苏省苏州市三校高二上学期12月联合调研测试数学试题（含解析)

2023-2024学年江苏省苏州市三校高二上学期12月联合调研测试数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.已知等比数列中，，，则公比( )
A. B. C. D.
2.已知过两点的直线的倾斜角是，则两点间的距离为
( )
A. B. C. D.
3.直线平分圆：，则( )
A. B. C. D.
4.设双曲线的虚轴长为，焦距为，则双曲线的渐近线方程为( )
A. B. C. D.
5.椭圆中以点为中点的弦所在直线斜率为
( )
A. B. C. D.
6.已知，是椭圆：的左、右焦点，若椭圆上存在一点，使得，则椭圆的离心率的取值范围是
( )
A. B. C. D.
7.过动点作圆：的两条切线，切点分别为，，且，则的取值范围是
( )
A. B.
C. D.
8.已知数列满足，设数列满足：，数列的前项和为，若恒成立，则实数的取值范围为
( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.下列说法正确的是( )
A. 直线与两坐标轴围成的三角形的面积是
B. 点关于直线的对称点为
C. 过两点的直线方程为
D. 已知点，向量，过点作以向量为方向向量的直线为，则点到直线的距离为
10.已知椭圆上一点，椭圆的左右焦点分别为，则
( )
A. 若点的横坐标为，则
B. 的最大值为
C. 若为直角，则的面积为
D. 若为钝角，则点的横坐标的取值范围为
11.已知数列满足，，设，记数列的前项和为，数列的前项和为，则
( )
A. B.
C. D.
12.画法几何的创始人法国数学家蒙日发现：在椭圆中，任意两条互相垂直的切线的交点都在同一个圆上，它的圆心是椭圆的中心，半径等于长、短半轴平方和的算术平方根，这个圆就称为椭圆的蒙日圆，其圆方程为已知椭圆的离心率为，点均在椭圆上，直线：，则下列描述正确的为
( )
A. 点与椭圆的蒙日圆上任意一点的距离最小值为
B. 若上恰有一点满足：过作椭圆的两条切线互相垂直，则椭圆的方程为
C. 若上任意一点都满足，则
D. 若，椭圆的蒙日圆上存在点满足，则面积的最大值为
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.在等差数列中，为前项和，，则________．
14.已知点为椭圆：上一点，点，分别为椭圆的左、右焦点，若，则的内切圆半径为 ．
15.已知圆经过，，若点，点是圆上的一个动点，则的最小值为___________．
16.已知双曲线：的左、右焦点分别为，，过点作倾斜角为的直线与的左、右两支分别交于点，，若，则的离心率为 ．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知数列满足：，数列为等比数列．
求数列的通项公式；
求和：．
18.本小题分
已知圆：，直线过原点．
若直线与圆相切，求直线的方程；
若直线与圆交于，两点，当的面积最大时，求直线的方程．
19.本小题分
如图，已知，，，直线．
证明直线经过某一定点，并求此定点坐标；
若直线等分的面积，求直线的一般式方程；
若，李老师站在点用激光笔照出一束光线，依次由反射点为、反射点为反射后，光斑落在点，求入射光线的直线方程．
20.本小题分
已知两定点，，满足条件的点的轨迹是曲线，直线与曲线交于，两个不同的点．
求曲线的方程；
求实数的取值范围；
若，求直线的方程．
21.本小题分
设数列的前项和为，且，数列满足，其中．
证明为等差数列，求数列的通项公式；
求数列的前项和为；
求使不等式，对任意正整数都成立的最大实数的值．
22.本小题分
已知椭圆的中心在坐标原点，两焦点，在轴上，离心率为，点在上，且的周长为．
求椭圆的标准方程；
过点的动直线与相交于，两点，点关于轴的对称点为，直线与轴的交点为，求的面积的最大值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列通项公式中基本量的计算，属于基础题．
直接用等比数列的定义求解．
【解答】
解：由，，
解得．
故选D．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线斜率与倾斜角的关系，以及两点间的距离公式，属于基础题．
利用倾斜角求出 ，然后利用两点间距离公式即可得出答案．
【解答】
解：由题知， ，
解得 ，故 ，
则 两点间的距离为 ．
故选：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线与圆的位置关系，考查转化能力，属于基础题．
直线平分圆，说明直线过圆心，把圆心坐标代入直线方程可得答案．
【解答】
解：圆圆心，
所以，解得．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了双曲线的几何性质，属于基础题．
由题意知，因为双曲线的焦点在轴上，由此可知渐近线方程为．
【解答】
解：由已知得到，
因为双曲线的焦点在轴上，
故渐近线方程为；
故选：．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查了椭圆的性质以及直线与椭圆的关系，考查分析与计算能力，属于中档题．
先设出弦的两端点的坐标，分别代入椭圆方程，两式相减后整理即可求得弦所在的直线的斜率．
【解答】
解：设弦的两端点为，，
代入椭圆得
两式相减得，
即，
即，
又的中点为，
所以
所以，
即，
弦所在的直线的斜率为，
故选A ．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了求椭圆的离心率或取值范围
【解答】
解：设，则，，，，化简得，，整理得，，，
解得．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆的位置关系，属于中档题．
由题意可得，故动点在圆上，表示此圆上的点与坐标原点连线的斜率，设，则直线与圆有公共点，再结合点到直线的距离公式即可求解．
【解答】
解：由题知，圆的圆心为，半径为．
因为，分别为两条切线，的切点，且，
则，所以．
所以动点在圆上，
又表示此圆上的点与坐标原点连线的斜率，设，
则直线与圆有公共点，
由距离公式可得，解得或，
即的取值范围是
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的通项公式的求法，裂项相消法在数列求和中的应用，不等式恒成立问题，属于中档题．
首先利用递推关系式求出数列的通项公式，进一步利用裂项相消法求出数列的前项和，最后分离参数求解即可．
【解答】
解：数列满足
时，，
当时，
得：，即，，
也满足上式，
故；
数列满足：，
则，
由于恒成立，
故恒成立，
即恒成立，
因为在上单调递减，
所以当时，．
故．
故选：．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查直线的方程的应用以及点与直线的对称，属于中档题．
对选项A，根据直线与两坐标轴的交点即可判断A正确；对选项B，首先设出对称点，再解方程组即可判断B正确；对选项C，根据直线两点式公式即可判断C错误；对选项D，由方向向量求出直线方程的斜率，进而求出直线方程，再代入点到直线的距离公式即可判断D正确．
【解答】
解：对选项A，直线，当时，，当时，，
所以与两坐标轴围成的三角形的面积，故A正确；
对选项B，设关于直线的对称点为，
则，解得，即对称点为，故B正确；
对选项C，两点式使用的前提是，，当或时，直线方程无意义，故C错误；
对于，以向量为方向向量的直线的斜率，
则过点的直线的方程为，即，
则点到直线的距离，故D正确．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的长半轴、焦距、圆等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
对于，直接求解点坐标，求两点间距离；对于， 的最大值为；对于，设，则，结合勾股定理列等式，能求出 的面积；对于，所求点在以原点为圆心，为半径的圆内，求出椭圆与该圆的交点横坐标，即可判断求解．
【解答】
解：椭圆上一点，椭圆的左、右焦点分别为，，
椭圆的长半轴，半焦距为，
，，
对于，时，代入椭圆方程得，，故A错误；
对于， 的最大值为，故B正确；
对于，为直角，设，则，
则有，整理得，
的面积为，故C对；
对于，以坐标原点为圆心，为半径作圆，则为圆的直径，
所求点在以原点为圆心，为半径的圆内时，为钝角，
联立，消得，
点的横坐标的取值范围为，故D正确．
故选：．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查根据数列的递推公式求通项公式，分组求和法，属于较难题．
求解形如 的递推关系式求通项公式的问题，可考虑利用配凑法，即配凑为 的形式，再结合等比数列的知识来求得 求关于奇数、偶数有关的数列求和问题，可考虑利用分组求和法来进行求解分析 与 的递推关系，根据数列 的奇数项、偶数项以及分组求和法求得 ．
【解答】
解：依题意， ，选项正确．
，所以选项错误．
当 为偶数时， ，
所以 ，而 ，所以 ，
所以
，所以选项正确．
当 为奇数时， ，
所以 ，而 ，所以 ，
所以
，
所以 ，所以选项正确．
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的蒙日圆，考查直线与圆的位置关系，属于较难题．
求出的蒙日圆方程为：，对选项逐个判断即可．
【解答】解：由离心率且得：，的蒙日圆方程为：，
对于选项A，由于原点到蒙日圆上任意一点的距离都为，到椭圆上任意一点的距离最大值为，
所以上任意一点与的蒙日圆上任意一点的距离最小值为，选项A错误
对于选项B，由蒙日圆的定义可知：直线与蒙日圆：相切，
则圆心到直线的距离为，
所以，则的方程为：，选项B正确
对于选项C，由蒙日圆的定义可知：点应在蒙日圆外，
所以直线与蒙日圆：相离，
则圆心到直线的距离为，所以，故C正确；
对于选项D，椭圆的方程为：，蒙日圆方程为：，
设，则，
设，，则，，
将代入、方程中，
则，，
所以直线的方程为，
将直线的方程与椭圆的方程联立：，
得：，
所以，，所以，
又因为原点到的距离为，
所以，设，
则
因为在递减，在递增
故，故，选项D正确．
13.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列的通项公式、性质以及求和公式，属于基础题．
利用等差数列的通项公式可求得 ，利用等差数列的性质及求和公式即可求解．
【解答】
解：数列 为等差数列，设其公差为，由 ，
，即 ，
．
故答案为．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的定义和焦点三角形问题，属于基础题．
首先求和的值，再求的面积，再利用三角形内切圆的半径表示面积，即可求解．
【解答】
解：因为，，
所以，，
，，则，
等腰边上的高，
所以，
设的内切圆半径为，
则，
所以．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，考查了圆的标准方程问题，考查了最值问题，属于中档题．
用待定系数法求解圆的方程；用向量数量积运算及正弦函数性质求解．
【解答】
解：设圆的标准方程为，
由于圆经过，，，
所以有，解得
所以圆的标准方程为．
设，，为圆上任一点，又，
，，
所以．
当时，取得最小值为．
所以的最小值为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单几何性质，涉及向量的几何应用、双曲线定义的的应用，是较难题．
由已知向量关系可得的平分线与直线垂直，结合双曲线的定义可得、关系，进而可得的离心率．
【解答】
解：依题意，由，
得，
即的平分线与直线垂直，
设的平分线与直线交于点，
则，，
又，所以，
所以，
由题得，，设，，
在中，，，
则，，
由双曲线的定义可得
，
解得，则，
所以在中，，
又，，
所以，
即，整理得，
所以．
故填：．
17.【答案】解：因为，，数列为等比数列，
所以，，则，
即是以为首项，为公比的等比数列，
所以，则．
．

【解析】本题考查等比数列判定和通项公式，以及分组求和法，属于中档题．
首先求出，，即可求出等比数列的通项公式，从而求出的通项公式；
利用分组求和法计算可得．
18.【答案】解：当直线的斜率不存在时，直线为，显然符合直线与圆相切，
当斜率存在时，设直线为，圆的圆心坐标，半径为，
圆心到直线的距离，
由直线与圆相切，则，解得：，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为：或
直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在，
设直线的方程为：，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积最大，
这时，整理得，解得，或，
所以直线的方程：或．
【解析】【分析】
本题考查圆的切线方程，直线与圆的位置关系，属于中档题．
分斜率存在和不存在两种情况讨论，根据圆心到直线的距离等于半径求出直线的方程；
分斜率存在和不存在两种情况讨论，然后设直线的方程，求出圆心到直线的距离和弦长，求出面积的表达式，由二次函数的最大值求出，进而求出斜率．
【解答】
解：当直线的斜率不存在时，直线为，显然符合直线与圆相切，
当斜率存在时，设直线为，圆的圆心坐标，半径为，
圆心到直线的距离，
由直线与圆相切，则，解得：，
所以直线的方程为：，
综上所述，直线的方程为：或
直线的斜率不存在时，直线为与圆相切，不符合题意，故直线斜率必存在，
设直线的方程为：，
圆心到直线的距离，弦长，
所以，
当时，面积最大，
这时，整理得，解得，或，
所以直线的方程：或．
19.【答案】解：直线可化为，
令，解得，故直线经过的定点坐标为；
因为，，，所以，
由题意得直线方程为，
故直线经过的定点在直线上，所以，
设直线与交于点，所以，
即，所以，
设，所以，即，
所以，，所以，
将点坐标代入直线的方程，解得，
所以直线的方程为；
设关于的对称点，关于的对称点，
直线的方程为，即，
直线的方程为，所以
解得，所以，
由题意得四点共线，，由对称性得，
所以入射光线的直线方程为，
所以入射光线的直线方程为：．

【解析】本题考查了直线的一般式方程，直线过定点问题，点、直线间的对称问题，属于困难题．
整理得到，从而得到方程组，求出定点坐标；
求出定点在直线上，且，由得到，设出，由向量比例关系得到点坐标，得到直线方程；
作出辅助线，确定关于和的对称点，得到，由对称性得，写成直线方程．
20.【答案】解：由双曲线的定义可知，曲线是以，，
为焦点的双曲线的左支，，
则，，，
曲线的方程为；
设，，
，
消去，整理得，
又已知直线与双曲线左支交于两点，，
，，
由韦达定理可知：，，
解得：；

丨丨丨丨，
，
由题意可知：，
整理后得，
或，
由，
，
故直线的方程为．
【解析】本题考查双曲线的标准方程，直线与双曲线的位置关系，考查韦达定理，弦长公式的综合应用，考查计算能力，属于较难题．由题意可知：，，由，即可求得曲线的方程；
将直线方程代入双曲线方程，由韦达定理及判别式，即可求得的取值范围；
由题意可知丨丨丨丨，则求得，求得直线的方程为．
21.【答案】解：证明：由，可得，解得，
时，由，可得，
上面两式相减可得，
即有，
则，
可得是首项为、公差为的等差数列，
即有，即；
，
，
，
上面两式相减可得
，
即有；
，
不等式；对任意正整数都成立，
即为恒成立，
即有对任意正整数都成立．
设，，
，
所以当时，单调递增，
，则，
可得的最大值为．
【解析】本题考查数列的递推式和等差数列的定义和通项公式、等比数列的通项公式和求和公式，以及数列的错位相减法求和、数列的单调性的判定和应用，考查转化思想和运算能力、推理能力，属于中档题．
由数列的递推式和等差数列的定义、通项公式，可得所求；
应用数列的错位相减法求和，结合等比数列的求和公式，可得所求和；
求得，由参数分离和构造数列法，判定单调性，可得所求最大值．
22.【答案】解：设椭圆方程为，
因为，，，
解得，，
所以椭圆方程为．
由题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，，
设，，，
与椭圆方程联立，消去得，
所以，即，
由根与系数的关系得
因为直线的方程为，
令，得，
即，
又
，
当，即取等号，
所以的面积存在最大值，最大值是．
【解析】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质，直线与椭圆的位置关系，椭圆中的面积问题，属于较难题．
由椭圆离心率得，由的周长结合椭圆中，，的关系求出，，的值即可得到椭圆方程；
由题意直线的斜率存在且不为，设直线的方程为，与椭圆方程联立，根据弦长公式和韦达定理及基本不等式可求得的面积的最大值．
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