2023-2024学年江苏省淮安市重点高中高二上学期12月联考数学试题（含解析)

2023-2024学年江苏省淮安市重点高中高二上学期12月联考数学试题
一、单选题（本大题共8小题，共40分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
1.若直线与直线垂直，则实数的值为( )
A. 或 B. C. 或 D.
2.已知等差数列的前项和为，前项和为，则前项和为( )
A. B. C. D.
3.若双曲线为等轴双曲线，其焦点在轴上，则实数( )
A. B. C. D.
4.在直角坐标平面内，点到直线的距离为，点到直线的距离为，则满足条件的直线的条数为( )
A. B. C. D.
5.如图所示，矩形的一边在轴上，另两个顶点，在函数的图像上．若点的坐标为，矩形的周长记为，则( )
A. B. C. D.
6.已知等比数列的前项和为，数列的前项和为，若，，则( )
A. B. C. D.
7.已知为椭圆：的右焦点，为上一点，为圆：上一点，则的最大值为
A. B. C. D.
8.高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号．为了纪念数学家高斯，人们把函数，称为“高斯函数”，其中表示不超过的最大整数，如，若数列的通项公式为，则的前项的和为( )
A. B. C. D.
二、多选题（本大题共4小题，共20分。在每小题有多项符合题目要求）
9.已知是圆上一点，则下列选项正确的是( )
A. 的最大值是
B. 的最大值是
C. 过点作圆的切线，则切线方程为
D. 过点作圆的切线，则切线方程为
10.分形几何学是一门以不规则几何形态为研究对象的几何学，分形几何具有自身相似性，从它的任何一个局部经过放大，都可以得到一个和整体全等的图形．如下图的雪花曲线，将一个边长为的正三角形的每条边三等分，以中间一段为边向形外作正三角形，并擦去中间一段，得图，如此继续下去，得图，记为第个图形的边长，记为第个图形的周长，为的前项和，则下列选项正确的是( )
A. 数列是为首项，为公比的等比数列
B. 数列是为首项，为公比的等比数列
C. 若，为中的不同两项，且，则最小值是
D. 若恒成立，则的最小值为
11.过抛物线的焦点作直线交抛物线于两点，为线段的中点，则下列选项正确的是( )
A. 以线段为直径的圆与直线相交
B. 以线段为直径的圆与轴相切
C. 当时，
D. 当直线的倾斜角为时，为线段的一个三等分点
12.设是无穷数列，若存在正整数，使得对任意，均有，则称是“间隔递增数列”，是数列的“间隔数”下列选项正确的是( )
A. 公比大于的等比数列一定是间隔递增数列
B. 已知，则数列是间隔递增数列
C. 已知，则数列是间隔递增数列且最小间隔数是
D. 已知，若数列是间隔递增数列且最小间隔数是，则
三、填空题（本大题共4小题，共20分）
13.已知数列满足，且其前项和满足，请写出一个符合上述条件的数列的通项公式 ．
14.设抛物线的焦点为，准线与轴交于，过抛物线上一点作的垂线，垂足为若，与相交于点，且点是的重心，则点到轴的距离为____________．
15.过双曲线右焦点的直线交两渐近线于，两点，，为坐标原点，且内切圆半径为，则双曲线的离心率为____________．
16.在如图所示的三角形数阵中，用表示第行第个数，已知，且当时，除第行中的第个数和第个数外，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两个数之和．即若，则正整数的最小值为___________．
四、解答题（本大题共6小题，共70分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17.本小题分
已知数列为等差数列，公差为，；数列为各项均为正数的等比数列，，．
求数列和的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
已知双曲线的实轴长为，左右焦点为，直线经过点，且与双曲线交于两点．当直线与轴垂直时，．
求双曲线的标准方程；
若直线的倾斜角为，求的面积．
19.本小题分
在下列三个条件：数列的任意相邻两项均不相等，且数列为常数列，，中，任选一个补充在横线上，并回答下面问题．
已知数列的前项和为，___________．
求数列的通项公式和前项和；
设，数列的前项和记为，证明：．
20.本小题分
已知是抛物线的焦点，过点直线交抛物线于两点．若，直线、直线分别交抛物线于两点．
求证：直线恒过定点；
若直线的斜率存在且分别为，求的最小值．
21.本小题分
已知等差数列的各项都是正整数，且其前项和为，若数列也是等差数列．
求数列的通项公式；
设，试问是否存在正整数，其中，使成等比数列？若存在，求出所有满足条件的数组；若不存在，请说明理由．
22.本小题分
在平面直角坐标系中，、、三点共线，且，当、分别在轴和轴上运动时，动点的轨迹为曲线．
求曲线的方程；
若过点且斜率分别为的两条直线与曲线分别交于点、，、，并满足，求的值．
答案和解析
1.【答案】
【解析】【分析】
本题考查两直线垂直的判定，属于基础题．
利用直线与直线垂直的系数关系直接求解．
【解答】
解：由题意得．
解得或．
故选：．
2.【答案】
【解析】【分析】
本题主要考查等差数列前项和的性质．
根据等差数列前项和的性质：若数列是等差数列，其前项和为，
则也成等差数列，解答即可．
【解答】
解：设等差数列的前项和为，
则，
根据等差数列前项和的性质成等差数列，
所以，
即，解得：．
3.【答案】
【解析】【分析】
本题考查双曲线的标准方程，考查等轴双曲线的概念，属于基础题．
依题意，根据，解之即得．
【解答】
解：因为双曲线为交点在轴上的等轴双曲线，
所以，解之，得：．
故选D．
4.【答案】
【解析】【分析】
本题考查圆的公切线的有关知识，以及点到直线的距离，属于基础题．
有已知可得直线与以点为圆心，为半径的圆相切，与以点为圆心，为半径的圆相切，计算可得，据此可得圆与圆外切，从而可得圆与圆有条公切线，．
【解答】
解：因点到直线的距离等于，则直线与以点为圆心，为半径的圆相切，
同理直线与以点为圆心，为半径的圆相切，
因此直线是圆与圆的公切线，
而，
即圆与圆外切，则圆与圆有条公切线，
所以满足条件的直线有条．
5.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的应用、等差数列的求和公式，考查分析推理与运算能力，属于中档题．
依题意，可求得，从而可求得；继而可求得的值．
【解答】
解：点的坐标，
顶点，在函数的图象上，
；
依题意知，，
，
．
故选A．
6.【答案】
【解析】【分析】
本题考查等比数列的性质以及求和，属于中档题．
由题意得出，求得或，而，即可求解．
【解答】
解：设等比数列的首项为，公比为，
由于，，
所以
解得：或
数列为首项，公比为的等比数列，
则．
故选C．
7.【答案】
【解析】【分析】
本题考查椭圆的概念及其几何性质，考查等价转化思想，属于中档题．
设为椭圆的左焦点，利用椭圆概念，将转化为，又，推出，而，得出，求出，得到的最大值．
【解答】
解：如图所示，，，，，，，
设为椭圆的左焦点，则，连接，，，，的延长线交椭圆于点，的延长线交圆于点，则
，
当且仅当点与点重合且点与点重合时，等号成立，
所以的最大值为，选项D正确．
8.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的新定义问题、根据数列的递推公式求通项公式、错位相减法求和、等比数列的前项和公式，属于中档题．
根据新定义，分段求出的值，再利用错位相减法，即可求出结果．
【解答】
解：因为，
当时，，
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，；
当时，，
所以的前项的和为：
，
设，
则，
两式相减，得
，
所以，
所以．
故选B．
9.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与圆位置关系的应用，考查化归与转化思想，考查运算求解能力，是中档题．
设，即，由圆心到直线的距离等于半径列式求得，即可判断选项A与；判断点在圆上，求出该点与圆心连线所在直线的斜率，从而可得过点作圆的切线斜率，再由直线方程的点斜式求得切线方程，即可判断选项C与．
【解答】
解：由，得．
圆心坐标为，半径．
对于、，设，即，
由圆心到直线的距离等于半径，得，
解得，即，，故A正确，B错误；
对于、，点在圆上，
过点与圆心连续所在直线的斜率，
由过点作圆的切线的斜率，
则切线方程为，即，
故C错误，D正确．
故选：．
10.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的函数特征，考查等比数列的概念与性质，通项公式与求和公式，考查基本不等式，属于较难题．
根据从第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的 ，即可判断；根据下一个图形的边长是上一个图边长的 ，边数是上一个图形的倍，即可判断；因为数列 为等比数列，依题意若，则，于是利用基本不等式应用中的乘“”法，求的最小值，注意验证“”成立的条件，即可判断；利用等比数列的求和公式求出，判断可得，构造函数，其中，分析函数的单调性，求出其值域，即可求出，至此可知，，再进一步即可判断．
【解答】
解：对于，由题意可知，从第个图形起，每一个图形的边长均为上一个图形边长的 ，
所以数列 是为首项， 为公比的等比数列，所以A正确；
对于，由题意可知，下一个图形的边长是上一个图边长的 ，边数是上一个图形的倍，
则周长之间的关系为 ，
所以数列 是首项为，公比为 的等比数列，所以B错误；
对于，因为数列 为等比数列，依题意若，则，于是
，
因为，，所以其中“”不能成立，C错误；
对于，由已知，，
所以，构造函数其中
令，则，，
所以，所以函数，为增函数，于是，所以
因为不等式恒成立，所以，，
因此，，D正确．
故选AD．
11.【答案】
【解析】【分析】
本题考查直线与抛物线的位置关系的综合应用，涉及抛物线的定义以及弦长等，属于较难题．
求得抛物线的焦点和准线方程，设，，在准线上的射影为，，，由抛物线的定义和中位线定理、直线和圆的位置关系，即可判断；先判断以为直径的圆与轴相切，可判断；由时，，结合韦达定理和抛物线焦点弦长公式即可求得，进而判断；联立直线与抛物线方程，求出，的长度，可判断
【解答】
解：的焦点，准线方程为，
设，，在准线上的射影为，，，
由，，
，
可得线段为直径的圆与准线相切，
所以与直线相交，
故选项A正确；
当直线斜率大于时，如上图，设，
则中点到轴距离为，
所以以为直径的圆与轴相切，则以为直径的圆与轴相离，所以B错误；
时，设，，，
设直线的方程为，
联立，可得，
可得，，
，
故，
，
将代入得，
则，
则，
故选项C正确；
当直线的倾斜角为时，直线的方程为代入抛物线得，，
，
所以，则为线段的一个四等分点，故D错误，
故选：．
12.【答案】
【解析】【分析】本题主要考查数列的新定义，还考查了运算求解的能力，属于中档题．
根据间隔递增数列的定义求解．
【解答】解： ，
因为，所以当时，，故错误；
B.，
令，在单调递增，则，解得，故正确；
C.，
当为奇数时，，存在成立，
当为偶数时，，存在成立，
综上：是间隔递增数列且最小间隔数是，故正确；
D.若是间隔递增数列且最小间隔数是，则
，成立，
则，对于成立，
即，对于成立，
所以，
所以 ，故正确．
故选：．
13.【答案】答案不唯一
【解析】【分析】
本题主要考查的是数列的函数特性，数列的通项公式，为中档题．
据题意，分析可得数列为各项为负的递增数列，再结合数列的函数特性可得答案．
【解答】解：数列的前项和为，且，，
所以数列是递增数列；
又，即，
结合数列是递增数列，可知数列各项为负数，
故数列的通项公式可以是 答案不唯一．
故答案为：答案不唯一．
14.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了抛物线的几何性质，属于中档题．
结合是的中点可得，根据 ，得，再根据抛物线的定义即可求解．
【解答】
解：由题意可知，抛物线准线与轴的交点的坐标为，，如图，
又因为为，的中点，
因为点是的重心，
所以为的三等分点，且，
又因为，所以 ，
则 ，
所以，
不妨设 ， ，
，解得 ，
因为点 ， 在抛物线上，则 ，解得 ，
不妨设点在第一象限，则，
所以根据相似关系可得， ，
易知直线的方程为，
将代入可得．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】【分析】
本题考查了双曲线的简单性质和离心率的求法，考查了运算求解能力，属于基础题．
由题意画出图形，结合图形可得四边形为正方形，根据点到直线的距离可得，再根据，可求得 ，再结合正切函数的定义，即可求出，再根据，即可求出．
【解答】
解：，
双曲线的渐近线方程，如图所示，
设内切圆圆心为，则在平分线上，
过点分别作于点，于，
由得四边形为正方形，
由焦点到渐近线的距离为，
得，
又，
，，
，
，
，
故答案为．
16.【答案】
【解析】【分析】
本题考查数列的递推关系式的应用，通项公式以及数列的性质的应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．
利用已知条件推出数列的递推关系式，然后求解数列的通项公式．然后求解即可．
【解答】
解： ， ，
．
因为若，则，即，
因为函数，单调递增，所以，
所以正整数的最小值为．
17.【答案】解：因为数列为等差数列，公差为，，
所以．
设等比数列的公比为，且．
依题意有，
解得
．
，
．
【解析】本题考查等差数列与等比数列的通项公式及其前项和公式，考查推理能力与计算能力，属于中档题．
利用等差数列与等比数列的通项公式即可得出；
利用等差数列与等比数列的前项和公式即可得出．
18.【答案】解：由题意可知：，
当直线与轴垂直时，将代入，得，，
所以，结合得，
故双曲线的标准方程为．
，，则直线的方程为．
设，，联立，得，
满足且，，
由弦长公式得：
，
点到直线的距离，
所以．
【解析】本题考查了双曲线的标准方程、双曲线中的面积问题，是中档题
先求得，两点坐标可得，故可得的值，故可求双曲线的标准方程；
先由弦长公式求得，再求得点到直线的距离，故可求的面积．
19.【答案】解：若选，则，
所以或，
相邻两项均不相等，，，
即
当为偶数时，；
当为奇数时，．
若选，，
则时，
，
，．
即
当为偶数时，；
当为奇数时，．
若选，可得，，
而，故，
也满足上式，，，，
即
当为偶数时，；
当为奇数时，．
证明：，
．

【解析】本题考查数列的递推关系式及数列的通项公式与前项和公式以及利用裂项相消法求数列的前项和，属于中档题．
选择条件根据数列是常数数列得出数列的通项公式，再对分类求出即可；
选，有与的关系求出再计算
选，有与的关系求出再计算
有得出，利用裂项相消法进行证明即可．
20.【答案】解：设，，，，
设直线，
由方程组，得，故，
由直线与抛物线，得，
故，所以．
同理可得，且．
设直线，
联立直线与抛物线，得，
故，
所以，直线恒过定点．
由斜率公式可得，，
所以，
所以当且仅当时取等号
所以的最小值为．
【解析】本题主要考查了抛物线中的定点问题，考查了直线与抛物线的位置关系．
设，，，，设直线，通过直线、直线与抛物线方程联立，可得可得，且．
设直线，联立直线与抛物线，求得的值，故可求证
结合斜率公式及基本不等式可求的最小值．
21.【答案】解：方法一：在等差数列中，设，
则，得，．
因为等差数列的前三项满足，
所以，
解得或，
由于等差数列各项都是整数，所以公差为整数，
所以，从而，
所以数列的通项公式为
方法二：，
因为是等差数列，故，
所以，
解得或，
由于等差数列各项都是整数，所以公差为整数，
所以，从而，
所以数列的通项公式为
假设存在正整数数组，使，，成等比数列，
则，，成等差数列，而，
于是，
即
易知为方程的一组解．
当，且时，，
故数列为递减数列，
于是，
所以此时方程无正整数解．
综上，存在唯一正整数数组，使，，成等比数列．
【解析】本题主要考查等差数列通项，等差数列前项和，数列的单调性，属于较难题．
方法一：由题意得，求出，进而得数列的通项公式；
方法二；由题意，则，可得，进而得数列的通项公式；
由题意则，，成等差数列，得，为方程的一组解，结合数列的单调性，可得满足条件的数组
22.【答案】解：设，，，
由，，三点共线可得，所以，
又，，所以，
所以，即，
化简得．
设，所在的直线方程为，
由，化简得，
则，
则
，
同理，
由可得，，
化简得，又，故，即．
【解析】本题主要考查的是与椭圆有关的轨迹问题，过两点的斜率，两点间的距离公式，直线与椭圆的位置关系，弦长问题，定值问题，属于难题．
设，，，由，，三点共线可得，结合两点间的距离公式，即可化简得椭圆的标准方程．
设，所在的直线方程为，联立直线与椭圆的方程，根据直线与椭圆的位置关系将分别转化为关于的代数式，进而得到的关系，求得的值．
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