四川省成都市郫都区重点中学2023-2024学年高一上学期12月月考数学试题（含答案）

四川省成都市郫都区第四中学2023-2024学年
高一上学期12月月考数学试题
（考试总分：150 分 考试时长： 120 分钟）
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.集合,则( )
A. B. C. D.
2.已知命题,则命题的否定为( )
A. B.
C. D.
3.若函数在上是单调函数,则的取值范围是( )
A. B. C. D.
4.已知函数在下列区间中,包含零点的区间是( )
A. B. C. D.
5.著名数学家华罗庚先生曾经说过,“数缺形时少直观,形少数时难入微,数形结合百般好,隔离分家万事休”,如函数的图像大致是( )
A. B.
C. D.
6.已知,则的大小关系为( )
A. B. C. D.
7.已知函数满足对任意的都有,则实数的取值范围为( )
A. B. C. D.
8.定义在上的偶函数在区间上单调递减,且,则不等式的解集为( )
A. B.
C. D.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.下列各组函数中,两个函数是同一函数的有( )
A. B.
C. D.
10.设,某学生用二分法求方程的近似解(精确度为0.1,列出了它的对应值表如右表:
若依据此表格中的数据,则得到符合要求的方程的近似解可以为( )
A.1.31 B.1.38 C.1.43 D.1.44
11.已知都是正实数,且.则下列不等式成立的有( )
A. B. C. D.
12.定义在上的偶函数满足:,且对于任意,若函数,则下列说法正确的是( )
A.在上单调递增
B.
C.在上单调递减
D.若正数满足,则
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.已知函数的图像恒过定点,则点的坐标为__________.
14.函数的定义域为__________.
15.已知函数,则__________.
16.为了衡量星星的明暗程度,古希腊天文学家喜帕恰斯在公元前二世纪首先提出了星等这个概念.星等的数值越小,星星就越亮;星等的数值越大它的光就越暗.到了1850年,由于光度计在天体光度测量的应用,英国天文学家普森又提出了亮度的概念,天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足,其中星等为的星的亮度为.已知“心宿二”的星等是1.00,“天津四”的星等是1.25,则“心宿二”的亮度大约是“天津四”的__________.倍.(当较小时,)
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）化简求值(需要写出计算过程).
(1);
(2).
18.（12分）已知集合,不等式的解集为集合.
(1)当时,求;
(2)设命题,命题,若是的充分不必要条件,求实数的取值范围.
19.（12分）科学实验中,实验员将某种染料倒入装有水的透明水桶,想测试染料的扩散效果,染料在水桶中扩散的速度是先快后慢,1秒后染料扩散的体积是秒后染料扩散的体积是,染料扩散的体积与时间(单位:秒)的关系有两种函数模型可供选择:①,②,其中均为常数.
(1)试判断哪个函数模型更合适,并求出该模型的解析式;
(2)若染料扩散的体积达到,至少需要多少秒.
20.（12分）已知函数.
(1)在坐标系下画出函数的图象;
(2)求使方程的实数解个数分别为时的相应取值范围.
21.（12分）已知关于的不等式的解集为或.
(1)求的值;
(2)若,解关于的不等式.
22.（12分）已知函数.
(1)判断函数的奇偶性,并说明理由;
(2)判断函数在上的单调性,并用单调性定义证明;
(3)若对任意恒成立,求的取值范围.
答案
一、 单选题 （本题共计8小题，总分40分）
1.【答案】C
2.【答案】D
3.【答案】B
4.【答案】B
5.【答案】D
6.【答案】D
7.【答案】C
8.【答案】A
【解析】因为定义在上的偶函数在区间上单调递减,所以在上单调增,又,所以可化为,得,解得:或,同理可得的解:,由可得或,解得:或,则不等式的解集为.
二、 多选题 （本题共计4小题，总分20分）
9.【答案】BD
10.【答案】BC
11.【答案】ACD
12.【答案】ABD
【解析】对于任意,
所以,所以在上单调递增,故选项A正确;因为的定义域为,所以,所以为奇函数,所以,由在上单调递增,所以,故选项B正确;
对于任意,
,
因为,所以,所以,所以在上单调递增,故选项C错误;
,即,又,所以,因为在上单调递增,所以,解得,即,故选项D正确.
三、 填空题 （本题共计4小题，总分20分）
13.【答案】
14.【答案】
15.【答案】6
【解析】由,
得
,
所以.故答案为:6.
16.【答案】1.257
【解析】由题意,
.
四、 解答题 （本题共计6小题，总分70分）
17.（10分）(1)原式
;
(2)原式
.
18.（12分）(1)∵,即,,
,,
(2)∵是的充分不必要条件,∴,
,,
,
∴的取值范围是.
19.（12分）(1)因为函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越快,
函数中,随的增长而增长,且增长的速度也越来越慢,
根据染料扩散的速度是先快后慢,所以选第二个模型更合适,即,由题意可得:,解得:,
所以该模型的解析式为:,
(2)由(1)知:,
由题意知:,也即,
则有,
∴至少需要4秒.
20.（12分）(1)
(2)方程的实数解个数函数与图象交点个数
∴个数为1时,的取值范围为;
个数为2时,的取值范围为或;
个数为3时,的取值范围为.
21.（12分）(1)关于的不等式的解集为或
即方程的根为,,解得;
(2)由(1)得关于的不等式,即,
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为;
当时,不等式的解集为.
22.（12分）(1),易知的定义域为,关于原点对称,
又,
,
是奇函数.
(2)设,且,
又,且,
,,
,
,
,即,
在上单调递增.
(3),
,
是奇函数,
,
是增函数,
,
,
令,
,
易知.