2023 学年第一学期金华卓越联盟 12 月阶段联考
高二年级数学试题
考生须知：
1．本卷共 4 页满分 150 分，考试时间 120 分钟；
2．答题前，在答题卷指定区域填写班级、学号和姓名；考场号、座位号写在指定位置；
3．所有答案必须写在答题纸上，写在试卷上无效；
4．考试结束后，只需上交答题纸。
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．准线方程为 y 2的抛物线的标准方程是（ ）
A． x2 4y B． x2 4y C． x2 8y D． x2 8y
2．直线 x 2ay 1 0和直线 (3a 1)x ay 1 0垂直，则 a =（ ）
1 1
A．1 B． C 1．1或 D．1或
2 2 2
3．已知在等比数列{an}中， a4 a8 16,则a6 的值是（ ）
A．4 B．-4 C．±4 D．16
4．如图，在三棱台 ABC A1B1C1中，且 AB 2A1B1，设
AB a,AC b,AA1 c ，点 D在棱 B1C1上，满足 B1D 2DC1 ，
若 AD xa yb zc，则（ ）
x 1 , y 1 , z 1 x 1 , y 1 1A． B． , z
6 3 6 3 2
1 1 1 1
C． x , y , z 1 D． x , y , z 1
3 6 3 6 2
5．已知等差数列{an}的前 n项和为 Sn，且 S2022 0,S2023 0，则下列说法错误的是（ ）
A． a1012 0 B． a1011 0 C．数列{an}是递减数列 D．{Sn}中 S1010最大
6．已知圆C 21 : x 2ax y
2 0(a 0)，直线 l : x 3y 0，圆C1上恰有 3个点到直线 l的距离等
于 1，则圆C1与圆C2 : (x 1)
2 (y 2)2 1的位置关系是（ ）
A．内切 B．相交 C．外切 D．相离
高二数学学科 试题 第 1 页（共 4 页）
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2 2
7．已知圆C： x2 y 4 2 1上有一动点 P，双曲线M : x y 1的左焦点为 F ，且双曲线的右
9 7
支上有一动点Q，则 | PQ | |QF |的最小值为（ ）
A． 4 2 1 B． 4 2 5 C． 4 2 7 D． 4 2 5
8．阅读材料：空间直角坐标系O xyz中，过点 P x0 , y0 , z0 且一个法向量为 n a,b,c 的平面 的
方程为 a x x0 b y y0 c z z0 0，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 的方程为
x y 2z 1，点Q(3, 1,1)，则点Q到平面 距离为（ ）
A 5 6 6 5 102 102． B． C． D．
6 2 102 34
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．已知 a ( 2,2,2),b (1,2, 1) ，则下列说法正确的是（ ）
A． a b ( 1,4,1) B． a//b C． a 3 b D． cos a,a 2b
3
10．已知直线 l :mx (m 2)y 2m 2 0(m R)，圆C : (x 1)2 (y 2)2 25，点 P为圆C上的任意
一点，下列说法正确的是（ ）
A．直线 l恒过定点（1，1） B．直线 l与圆C恒有两个公共点
C l C 2．直线 被圆 截得最短弦长为 2 6 D．当m 1时，点 P到直线 l距离最大值是 5
2
11 {a } {b } a 1 a 1 a 1．已知数列 n ， n 满足 1 2 3 a n bn (n N
)， Sn是{an}的前 n项和，下列说2 3 n
法正确的是（ ）
n2 3n
A． 若 an n
2 n， 则bn B．若bn n，则{an}为等差数列2
C． 若bn n 1，则{an}为等差数列 D．若bn 2
n，则 Sn (n 1) 2
n 2
12．已知抛物线C : y2 4x的焦点为 F ，准线 l与 x轴交于点M，过M的直线 l与抛物线C相交于
A(x1, y1),B(x2 , y2 )两点，点D是点 A关于 x轴的对称点，则下列说法正确的是（ ）
A． y1y2 4 B． 4 | AF | | BF |的最小值为 10
C． B,F ,D三点共线 D．MB MD 0
高二数学学科 试题 第 2 页（共 4 页）
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三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13．在空间直角坐标系O xyz中，已知点M (3, 1,4)， N(2,1,5)，则 |MN | ▲ ．
14．过点 (0,0)作圆 C: x2 y2 4y 3 0的两条切线，切点为 A、B，则劣弧长 AB = ▲ ．
15．如图，已知正方形 A0B0C0D0的边长为2，分别取边
D0A0 , A0B0 ,B0C0 ,C0D0 的中点 A1,B1,C1,D1 ，并连接形成正方形
A1B1C1D1，继续取边 D1A1 , A1B1 ,B1C1 ,C1D1的中点 A2 ,B2 ,C2 ,D2 ，
并连接形成正方形 A2B2C2D2，继续取边 D2A2 , A2B2 ,B2C2 ,C2D2
的中点 A3 ,B3 ,C3 ,D3 ，并连接形成正方形 A3B3C3D3 ，……，依
此类推；记 A0A1B1的面积为 a1， A1A2B2 的面积为 a2 ，……，
依此类推， An 1A
nBn (n N )的面积为 an，
a a a a 1023若 1 2 3 n ，则 n ▲ ．1024
2
16 x y
2
．设 F1 、 F2 是椭圆C : 2 2 1(a b 0) 的左、右焦点，点 P,Q为椭圆C 上的两点，且满足a b
PF2Q 60
， PF1 2QF2 ，则椭圆C的离心率为 ▲ ．
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分 10分）如图，在长方体 ABCD A1B1C1D1中，
AB 2,AD 3,AA1 4 ，点 E,F分别为棱 AB,DD1的中点，
（1）求证：C1F 平面 BCF ；
（2）求直线C1F与平面DEC1所成角的正弦值．
18 1 1．（本题满分 12分）已知数列{an}满足 a1 1，点 ( , )(n N
)在直线 2x y 1 0上．
an an 1
1 1（ ）求证：数列{ 1}是等比数列，并求出{a }的通项公式；
a nn
1 1
（2）求满足 an 的 n的取值构成的集合．63 5
高二数学学科 试题 第 3 页（共 4 页）
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19．（本题满分 12分）已知动点 P与两个定点 A(1,0),B(4,0)的距离的比是 2．
（1）求动点 P的轨迹C的方程；
（2）直线 l过点（2，1），且被曲线C截得的弦长为 2 3，求直线 l的方程．
20．（本题满分 12分）已知等差数列{an}前 n项和为 Sn，满足 a3 3,S4 10．数列{bn}满足 b1 2，
bn 1 2a n 1 ,n N *．
bn an
（1）求数列{an}，{bn}的通项公式；
n
（2）设数列{c } c ( 1) (3n 2)n 满足 n ,n N
*，求数列{c
a b n
}的前 n项和Tn．
n n 1
21．（本题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，PA 底面 ABCD，
底面 ABCD为正方形， AB PA 2， E,F 分别为 PB,PD的中点．
（1）求平面CEF与底面 ABCD所成角的余弦值；
（2）求平面CEF与四棱锥 P ABCD表面的交线围成的图形的周长．
22 5．（本题满分12分）已知双曲线C的中心为坐标原点，上顶点为（0，2），离心率为 ．
2
（1）求双曲线C的渐近线方程；
（2）记双曲线C的上、下顶点为 A1,A2 ，P为直线 y 1上一点，直线 PA1与双曲线C交于另一点M，
直线 PA2与双曲线C交于另一点N，求证：直线MN过定点，并求出定点坐标．
高二数学学科 试题 第 4 页（共 4 页）
{#{QQABLYAAggiIAABAABgCAQl4CEAQkBGAAKoGxBAEMAABQBFABAA=}#}2023 学年第一学期金华卓越联盟 12 月阶段联考
高二年级数学参考答案
命题人：东阳二中 吕夏雯 陆琳琳； 审题人：汤溪中学 张拥军
一、选择题：本题共 8 小题，每小题 5分，共 40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
p
1 2．D【解析】 2 p 4 ,又抛物线开口向下,所以抛物线的方程为 x 8y，D正确.
2
2．C【解析】 (3a 1) 1 2a ( a) 0 a 1或a 1 ，C正确.
2
3 C 2． 【解析】 a4 a8 a6 16, a6 4，C正确.
4．A【解析】 AD AA1 A
1
1D， A1D A B
2
1 1 A1C1， AD AA
1 2
1 A1B1 AC3 3 3 3 1 1
1 1 1
又 A1B1 a, A1C
1
1 b, AA1 c , AD a b c，A正确.2 2 6 3
5 2022(a a )．D【解析】 S 1 20222022 1011(a1011 a2 1012
) 0 a1011 a1012 0
S 2023(a1 a 2023)2023 2023a1012 0 a1012 0 ,则 a1011 02
所以数列 an 单调递减, Sn 中 S1011最大．D正确.
a
6．B【解析】圆上 3个点到直线的距离是 1,则圆心到直线的距离应是 a 1, a 1 ,则 a 2，
2
圆C1的圆心为(2,0),半径是 2,圆C2的圆心为 (1, 2) ,半径是 1,则 C1C2 3 ,所以两圆的位置关系是
相交．B正确.
7．D【解析】圆心 C(0,4) ，取双曲线的左焦点 F2 (4,0)， | PQ | ≥ |QC | 1， |QF | = 6 |QF2 |，则
| PQ | |QF | ≥ |QC | 1 (6 |QF2 |) |QC | |QF2 | 5 ≥ |CF2 | 5 4 2 5
∴ | PQ | |QF |的最小值为 4 2 5 ,D正确.
高二数学学科 参考答案 第 1 页（共 7 页）
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8．A【解析】平面 的法向量 n (1, 1,2) ,在平面 上任取一点 A(-1,0,1),则QA ( 4,1,0)，
QA n
d 5 5 6 .A正确.
n 6 6
二、选择题：本题共 4 小题，每小题 5分，共 20 分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题
目要求的.全部选对的得 5 分，部分选对的得 2 分，有选错的得 0 分.
9．ACD【解析】 a b ( 1,4,1) ,选项 A正确， a b ,选项 B错误；
( 2) 1 2 2 2 ( 1) 0 a b 选项 C正确；
a 2b ( 4, 12 3 2,4) cos a,a 2b ,选项 D正确，正确答案是 A.C.D
2 3 6 3
10．ABD【解析】直线 l :m(x y 2) 2y 2 0 ,所以恒过定点(1,1).选项 A正确；
因为定点(1,1)在圆C内,所以直线 l与圆C恒有两个公共点.选项 B正确；
l被圆C截得的最短弦长 2 25 1 4 6 ,选项 C错误；
当m 1时, l : x y 0 1 2,点 P到直线 l的距离的最大值是 5 5 ,选项 D正确.
2 2
正确答案是 A.B.D
1 2
11．ABD【解析】当 a n2n n a n 1
(2 n 1)n n 3n
，则 n ，所以 bn ，选项 A正确；n 2 2
已知 a 1 a 1 11 2 a3 a n n ，当 n 1时， a1 1，2 3 n
1 1 1 1
当 n 2时，a1 a2 a3 a n 1 n 1，则 an 1， an n（ n 1时也成立），所以{an}2 3 n 1 n
为等差数列，选项 B正确；
1 1 1
已知 a1 a2 a3 a n n 1，当 n 1时， a1 2，2 3 n
1 1 1 1
当 n 2时， a1 a2 a3 a n 1 n ，则 an 1， an n（ n 1时不成立），所以{a }不2 3 n 1 n n
是等差数列，选项 C不正确；
1 1 1
已知 a1 a
n
2 a3 a n 2 ，当 n 1时， a1 2，2 3 n
1 1 1 1
当 n 2时， a a a a 2n 1，则 a 2n 1 n 11 2 3 n 1 n ， an n 2 （ n 1时不成立），所2 3 n 1 n
高二数学学科 参考答案 第 2 页（共 7 页）
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2,n 1
以 a n n 1 ；
n 2 ,n 2
当 n 1时， S1 2，
n 1时， a1 2， S 2 2 2
1
n 3 2
2 n 2 n 1
2Sn 2 2 2 2
2 (n 1) 2 n 1 n 2 n
S 2 0 22 23 2 n 1 n 2 n 2 4(1 2
n 2 )
n n 2
n (1 n) 2 n 2
1 2
所以 S (n 1) 2nn 2， n 1时也成立，选项 D正确.
正确答案是 A.B.D
12 ． CD 【 解 析 】 设 直 线 l : x my 1 ， 联 立 方 程 组
y 2 4x y y 4m
, y2 4my 4 0
1 2
，则 ,
x my 1 y1y2 4
选项 A不正确；
y2 y2
x1x
1 2
2 1，所以 4 | AF | | BF | 4(x 1) x 1 4x x 5 2 4x x 5 94 4 1 2 1 2 1 2
，
当且仅当 x2 4x1 2时等号成立，所以 4 | AF | | BF |的最小值为 9，选项 B不正确；
y 2 4x y y 4m
D(x1, y1)，设 l : x ny t ，联立方程组 , y2 4ny 4t 0
1 2
，则 ,所以 t 1，
x ny t y1y2 4t
即直线 BD过点 F，选项 C正确；
对于 D选项，MB (x2 1, y2 ),MD (x1 1, y1),
MB MD x1x2 x1 x2 1 y1y2 1 4m
2 2 1 4 4m 2 4 0 ，选项 D正确.
正确答案是 C.D
三、填空题：本题共 4 小题，每题 5 分，共 20 分.
13． 6【解析】MN ( 1,2,1), |MN | 1 4 1 6 ．
14 2 ． 【解析】圆C: x2 (y 2)2 1，
3
COB COA , ACB 2 ,故劣弧长A B 2 .
6 3 3
15 10 1 1． 【解析】由题意可知三角形的面积构成首项为 ，公比为 的
2 2
高二数学学科 参考答案 第 3 页（共 7 页）
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1 (1 (1 )n )
等比数列， a a 1 10231 2 a3 a 2 2n 1 n , n 10．
1 1 2 1024
2
16 21． 【解析】如图，过 F1作 F1M QF2 ，连接MF2 ，因为 PF1 2QF2 ，9
所以 F 1PF2 PF2Q 60 ，设 |QF2 | t,则
| PF1 | 2t,|MF1 | t,| PF2 | 2a 2t,|MF2 | 2a t ，
在 PMF2 中， | PM |
2 | PF |22 | PM || PF
2
2 | |MF2 | ，
即 9t 2 4a2 8at 10 8 4t 2 6at 6t 2 4a2 4at t 2 ，化简得 5a 9t， | PF1 | a,| PF2 | a，9 9
2c 100 64 80所以 t 2 21 c 21 a ，所以离心率 ．
9 9 a 9
四、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．【解析】（1）方法一：因为 F 是DD1的中点，所以 D1F D1C1 FD DC 2, D1FC1和 FDC 是
等腰直角三角形，所以 D1FC1 CFD 45
，
∴C1F CF，………………………………………………………………………………1分
因为 BC 平面CDD1C1，C1F 平面CDD1C1，所以 BC C1F，………………………3分
BC,CF 平面 BCF1∴C1F 平面 BCF ………………………………………………………4分
方法二：以 D为原点，DA所在直线为 x轴，DC所在直线为 y轴，DD1所在直线为 z轴建立空间直
角坐标系，……………………………………………………………………………1分
C(0,3,0),B(2,3,0),F (0,0,2),C1(0,2,4),CB (2,0,0),CF (0, 2,2),C1F (0, 2, 2)，…3分
所以C1F CF 4 4 0,C1F CB 0, ∴C1F 平面 BCF ；………………………4分
z
（2）DE (3,1,0),DC1 (0,2,4) ，设平面DEC1的法向量为 n (x, y, z)，
DE n 3x y 0
则 ，所以取 n (2, 6,3)，…………………………7分
DC1 n 2y 4z 0
又C1F (0, 2, 2)，…………………………………………………………8分
|C
sin cos C1F ,n 1
F n | 6 3 2 ．
|C1F || n | 7 2 2 14 y
x
高二数学学科 参考答案 第 4 页（共 7 页）
{#{QQABLYAAggiIAABAABgCAQl4CEAQkBGAAKoGxBAEMAABQBFABAA=}#}
3 2
直线C1F与平面DEC1所成角的正弦值为 ．…………………10分14
1 2
1 2
1 2 a a18．【解析】（1）由已知得 1， n 1 n 2，………………………2分
an 1 an 1 1 1 1
an an
1
且 1 2 0，………………………………………………………………………………3分
a1
1
所以数列{ 1}是等比数列，………………………………………………………………4分
an
1
1 2n , 1则an n ；…………………………………………………………………6分an 2 1
1 1 1 1 1
（2）因为 a n n
63 n
，所以 n ,5 2 1 63, 6 2 64, ………………9分5 63 2 1 5
得 log2 6 n 6 ，又因为 n N
，所以 n的取值构成的集合是{3,4,5,6}．…………………12分
19．【解析】（1）设点 P(x, y)，则 (x 1)2 y2 2 (x 4)2 y2 ，………………………1分
化简得 x2 y2 10x 21 0，所以动点 P的轨迹C的方程为 (x 5)2 y2 4；……………5分
（2）由（1）可知点 P的轨迹C是以（5,0）为圆心，2为半径的圆，可计算得圆心（5,0）到直线 l的
距离 d 4 3 1，…………………………………………………………………………………7分
①当直线 l的斜率不存在时，圆心到直线 l的距离是 3，不符合条件，…………………8分
②当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y 1 k(x 2)，即 kx y 2k 1 0，
| 3k 1| 3
所以 d 1，化简得 9k 2 6k 1 k 2 1，解得 k 0或k ，…………………10分
k 2 1 4
所以直线 l的方程是 y 1或3x 4y 10 0．………………………………………………12分
a 2d 3
20．【解析】（1）设数列{a 1n}的公差为 d ， ，…………………………2分
4a1 6d 10
解得 a1 1,d 1, an n.………………………………………………………………4分
bn 1
b
n 1 2(n 1)
b b
, n 1 2，且 1 2，所以{ n}是等比数列，…………………6分
b bn n n 1 n
n
高二数学学科 参考答案 第 5 页（共 7 页）
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b
n 2n , bn n 2n…………………………………………………………………8分n
（也可用累乘法求{bn}的通项公式）
（2） c ( 1)
n (3n 2) ( 1)n ( 1 1 ) ( 1)
n ( 1)n 1
n ，……………………10分n(n 1) 2n 1 n 2n (n+1) 2n 1 n 2n (n+1) 2n 1
T 1 1 n ( 1)
n 1 ……………………………………………12分
2 (n 1) 2n 1
21．【解析】（1）以A为原点，以AB所在直线为x轴，AD所在直线为y轴，AP所在直线为z轴建立空
间直角坐标系，………………………1分
平面 ABCD的法向量为m (0,0,1)，
C(2,2,0),E(1,0,1),F (0,1,1),CE ( 1, 2,1),EF ( 1,1,0) ，设平面CEF的法向量为 n (x, y, z)，所以
CE n x 2y z 0
，所以取 n (1,1,3)，………………………3分
EF n x y 0
所以 cos m,n m n 3 3 11 ，………………………………………………5分
|m || n | 11 11
3 11
所以平面CEF与底面 ABCD所成角的余弦值为 ；………………………………6分
11
（2）由对称性可知平面CEF与棱PA交于一点，………………………………………7分
设交点Q(0,0,t)，QE (1,0,1 t)，QE n 1 3 3t 0, t 4 ，………………………9分
3 z
QE QF 10 ,………………………………………………10分
3
Q
又CE CF 6 ,…………………………………………………11分
2 10
所以围成的图形的周长为 2 6 .…………………………12分
3
y
x
2 2
22．【解析】（1 y x）设双曲线方程为 1 a 0,b 0 ，由上顶点坐标可知2 2 a 2，a b
高二数学学科 参考答案 第 6 页（共 7 页）
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则由 e c 5 可得 c 5，b c2 a2 1，………………………………2分
a 2
双曲线的渐近线方程为 y 2x .……………………………………………………4分
（2）由(1)可得 A1 0,2 , A2 0, 2 ，设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，
设直线MN的方程为 y kx m，
y2 2
与 x 1 2联立可得 k 4 x2 2kmx m2 4 0 2 2，且 16(k 4 m ) 0，
4
2
则 x x 2km1 2 2 ,x1x
m 4
，…………………………………………………………6分
k 4 2 k 2 4
2 2
∴ y y 8m ,y y 4(k m )1 2 2 1 2 k 4 k 2 4
P(t,1) k 1 3设 ，∴ A P ， kA P ，1 t 2 t
∴ kA P 3kA P 3kMA , kMA kMA 4,得k2 1 1 1 2 MA k2 NA 12……………………………8分2
y1 2 y
2
2 2 12 4k 4m
2 16m 4k 2 16 2
， 2 12
(m 2)
，化简得 2 3，…11分x1 x2 m 4 m 4
解得m 4，所以直线 MN过定点 (0,4) . ………………………………………………12分
高二数学学科 参考答案 第 7 页（共 7 页）
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