安徽省江南十校2023-2024学年高一上学期12月分科诊断模拟联考数学试题（含答案）

2023年“江南十校”高一分科诊断摸底联考
数学试卷
注意事项：
1.本试卷总分为150分，数学考试总时间为120分钟；
2.本试卷包括“试题卷”和“答题卷”，请务必在“答题卷”上答题，在“试题卷”上答题无效；
3.考生作答时，请将自己的姓名、准考证号填写在答题卷的相应位置。
第I卷 选择题部分（共60分）
一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分.每小题给出的四个选项中，只有一个选项符合要求.
1.下列关系中，正确的是（ ）
A. B.
C. D.
2.设命题：，，则“命题的否定”是（ ）
A.， B.，
C.， D.，
3.“，”恒成立的一个充分不必要条件是（ ）
A. B. C. D.
4.已知，，下列不等式一定成立的是（ ）
A. B. C. D.
5.如图是杭州2023年第19届亚运会会徽，名为“潮涌”，形象象征着新时代中国特色社会主义大潮的涌动和发展.如图是会徽的几何图形，设弧长度是，弧长度是，几何图形面积为，扇形面积为，若，则（ ）
A.9 B.8 C.4 D.3
6.函数的图象大致为（ ）
A. B.
C. D.
7.已知，，，则（ ）
A. B. C. D.
8.已知函数，则不等式的解集为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对得5分，部分选对得2分，有选错的得0分.
9.下列命题中正确的有（ ）
A.是幂函数，且在单调递减，则
B.的单调递增区间是
C.的定义域为，则
D.的值域是
10.下列选项中，结果为正数的有（ ）
A. B. C. D.
11.已知正数，满足，则（ ）
A.的最小值为 B.的最小值为
C.的最小值为 D.的最小值为10
12.高斯是德国的著名数学家、物理学家、天文学家和大地测量学家。他被认为是历史上最重要的数学家之一，有“数学王子”的美誉。高斯函数，表示不超过的最大整数，如，，则（ ）
A.的值域是
B.方程有无数组解
C.是单调函数
D.方程有3个根
第II卷 非选择题部分（共90分）
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13.函数的定义域是，则的定义域是______.
14.已知，则______.
15.若对恒成立，则的最大值为______.
16.，若有六个根，则实数的取值范围是______.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17.（本题10分）
已知，且为第二象限角
（1）求，；
（2）求.
18.（本题12分）
已知集合，集合
（1）若，求和；
（2）若，求实数的取值范围.
19.（本题12分）
已知函数是上的奇函数
（1）求，的值；
（2）判断并证明在上的单调性.
20.（本题12分）
某乡镇响应“打造生态旅游”的号召，因地制宜的将该镇打造成“生态水果特色小镇”.经调研发现：某珍惜水果树的单株产量（单位：千克）与施用肥料（单位：千克）满足如下关系：肥料成本投入为元，其它成本投入（如培育管理、施肥等人工费）元.已知这种水果的市场售价大约21元/千克，且销售畅通供不应求，记该水果单株利润为（单位：元）
（1）写出单株利润（元）关于施用肥料（千克）的关系式；
（2）当施用肥料为多少千克时，该水果单株利润最大？最大利润是多少？
21.（本题12分）
已知定义在上的函数满足，
（1）求，并证明为奇函数；
（2）若是上的单调递增函数，且，解不等式：.
22.（本题12分）
若在上的值域是的子集，则称函数在上是封闭的.
（1）若在上是封闭的，求实数的取值范围；
（2）若在上是封闭的，求实数的最大值.
数学答案
一、单选题
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 A D C D B A B C
二、多选题
9.AD 10.AB 11.ACD 12.ABD
详解
1.A略，2.D略
3.C ，，则充分不必要条件选C
4.D
A.令，，，，A错误
B.令，，，B错误
C.时不符合
D.正确
5.B
设，，则，则
∴，故
6.A
排除CD，又，故选A
7.B
，，
，
8.法1
令，则
法2.
是偶函数，且在上单调递增，
∴关于对称，且在上单调递增，则
故选C
二、多选题
题号 9 10 11 12
答案 AD AB ACD ABD
详解
9.AD
A.是幂函数，则，得或，又在单减，∴，
B.且，所以单增区间是，故B错误
C.定义域为，则或，故C错误
D.令，∴，故D正确
10.AB
A.，∴正确
又，∴，，故B正确，C错误
D.，∴，故D错误
11.ACD
，或
当时取等，故A正确；
故B错误；
，
当时取等，故C正确；
，
，当，时取等，故D正确
12.ABD
A正确；
当，，时故B正确；
当时，此时故C错误；
∴可取，0，1，2，分别代入得，，，故D正确，也可画图。
三、填空题
13. 14.1012 15. 16.
详解
13.由题意可得，有，即有，解得
所以的定义域为.
14.令，则，
所以
15.令
由对恒成立，
知：，即得
故
又，故（当且仅当时取等）
所以的最大值为
16.令，结合的图象知：有两不等的根，，且，问题转化为在上有两解问题，记
则有
所以的取值范围是
四、解答题
17.（1）由得
代入得
又为第二象限角
∴
（2）由，
再由（1）可知，原式
18.（1）当时，，
所以，
所以
（2）当时，即，即，满足
当时，即，由得
或，得或
综上，
19.（1）由是上的奇函数，所以，得
又恒成立，
所以，即，
（2）是上的递增函数
证明如下：由（1）知，，在上任取，
不妨令，则，因为，所以，所以，
所以是上单调递增函数
20.（1）由题意可知
（2）当时，，
此时，的最大值为
当时，
当即时有最大值540元
因为，所以当施肥量为4千克时，利润最大，
最大利润是540元
21.（1）令，得
令，得，所以
即，所以是奇函数
（2）因为，
所以原不等式等价于，
又，所以，
即，
又是上的递增函数，所以，
原不等式的解集为
22.（1）函数开口向上，对称轴是
当时，，
则有，得
当时，有（舍去）
综上，的取值范围是
（2）当时，有
解得，
所以
当时，，
所以
即（舍去）
综上，的最大值是