云南省下关重点中学2023-2024学年高一上学期段考（二）数学试题（含解析）

下关重点中学2023~2024学年高一年级上学期段考（二）
数学试卷
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．第Ⅰ卷第1页至第2页，第Ⅱ卷第3页至第4页．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．满分150分，考试用时120分钟．
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
注意事项：
1．答题前，考生务必用黑色碳素笔将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号在答题卡上填写清楚．
2．每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．在试题卷上作答无效．
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
1．若集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．设,则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数的定义域是，则函数的定义域为（ ）
A． B． C． D．
4．设函数,则函数的零点所在的区间为（ ）
A． B． C． D．
5．函数的部分图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
6．素数也叫质数，部分素数可写成“”的形式（n是素数），法国数学家马丁·梅森就是研究素数的数学家中成就很高的一位，因此后人将“”形式（n是素数）的素数称为梅森素数．2018年底发现的第51个梅森素数是,它是目前最大的梅森素数．已知第8个梅森素数为,第9个梅森素数为,则约等于（参考：在很大的条件下；）（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
7．函数的单调递增区间为（ ）
A． B． C．和 D．和
8．已知函数，则（ ）
A． B． C．4 D．2
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．已知集合,则（ ）
A．集合A有8个子集 B．集合B中有6个元素
C． D．
10．已知不等式的解集为或，则（ ）
A．
B．
C．不等式的解集为
D．不等式的解集为
11．下列结论中，正确的结论有（ ）
A．如果,那么取得最大值时x的值为
B．如果,那么的最小值为6
C．函数的最小值为2
D．如果,且，那么的最小值为
12．若函数,则（ ）
A． B．
C．在上是增函数 D．为偶函数
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
注意事项：
第Ⅱ卷用黑色碳素笔在答题卡上各题的答题区域内作答，在试题卷上作答无效．
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
13．已知,则__________．
14．已知函数，则其值域为__________．
15．已知关于x的方程在上有两个不同的实数解，则实数m的取值范围为__________．
16．已知函数为上的偶函数，且对的都有恒成立，则使成立的x的取值范围为__________．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
设全集,已知集合．
（Ⅰ）若,求;
（Ⅱ）若，求实数a的取值范围．
18．（本小题满分12分）
已知函数（,且）．
（Ⅰ）若函数的图象过点，求实数a的值；
（Ⅱ）若,当时，求函数的取值范围；
（Ⅲ）求关于x的不等式的解集．
19．（本小题满分12分）
已知函数（,且）的图象过点．
（Ⅰ）求实数a的值；
（Ⅱ）解关于x的不等式．
20．（本小题满分12分）
中共中央政治局会议中明确提出支持新能源汽车加快发展．发展新能源汽车是我国从汽车大国迈向汽车强国的必由之路，是推动绿色发展的战略举措．2023年某企业计划引进新能源汽车生产设备，通过市场分析，全年需投入固定成本2500万元，每生产x（百辆），需另投入成本（万元），且由市场调研知，若每辆车售价5万元，且当年内生产的车辆能在当年全部销售完．
（Ⅰ）求出2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式；
（Ⅱ）当2023年的年产量为多少百辆时，企业所获利润最大？并求出最大利润．
21．（本小题满分12分）
已知函数的最小值为，最小正周期为．
（Ⅰ）求实数的值；
（Ⅱ）当时，求函数的值域．
22．（本小题满分12分）
设函数的定义域是，且对任意的正实数x,y都有恒成立，当时，．
（Ⅰ）判断并证明函数在上的单调性；
（Ⅱ）若,求不等式的解集．
数学参考答案
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题所给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 B C D B B C C C
【解析】
1．或，则,故选B．
2．由题得,所以,故选C．
3．因为函数的定义域为，所以，所以函数的定义域为,所以，解得，所以函数的定义域为，故选D．
4．根据题意可得,因此函数在区间上有零点，易知在定义域上是增函数，所以函数有且仅有一个零点，零点所在的区间是，故选B．
5．定义域为，设，则，故函数为偶函数，图象关于y轴对称，故舍去A,C；当时，,故,故B正确，故选B．
6．因为两数远远大于1，所以的值约等于，设,则,即,因此有,因为,以，即约等于9，故选C．
7．对于函数,令,解得且，所以函数的定义域为,又函数，所以在上单调递增，在上单调递减，又函数在定义域上单调递减，根据复合函数的单调性，可知的单调递增区间为和，故选C．
8．,故选C．
二、多项选择题（本大题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
题号 9 10 11 12
答案 AC BCD ABD ABD
【解析】
9．集合A有3个元素，有个子集，A项正确；,有5个元素，B项错误；,C项正确；由于,故错误，D项错误，故选AC．
10．因为不等式的解集为或，则,且关于x的方程的两根分别为,4，由根与系数的关系可得，所以,对于A,,A错误；对于B,不在不等式的解集内，令,则有,B正确；对于C,,该不等式的解集为,C正确；对于D,不等式，即为，化简可得，解得，因此，不等式的解集为，D正确，故选BCD．
11．对于A,:，且，∴当时，有最大值，即取得最大值时x的值为，A正确；对于B,,，且,则，当且仅当，即时，等号成立，即的最小值是6，B正确；对于C,，令,则，由对勾函数性质知在上单调递增，的最小值为，C错误；对于D,,且，，当且仅当,即时等号成立，即最小值为,D正确，故选ABD．
22．因为恒成立，所以A选项正确；因为,所以,B选项正确；则,故为偶函数，D选项正确；对于，因为在上单调递增，故函数在上单调递减，而是单调增函数，所以根据复合函数的单调性可得在上是减函数，C选项错误，故选ABD．
第Ⅱ卷（非选择题，共90分）
三、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）
题号 13 14 15 16
答案 6
【解析】
13．．
14．设,则，解析式为,函数在上单调递减，在上单调递增，所以函数的最小值为，最大值为,所以函数的值域是．
15．由题意得：，因为，所以，画出函数图象如下：
要想保证有两个不的实数解，则只需与函数图象有两个交点，显然，解得：．
16．函数为上的偶函数，故关于对称，且对的都有恒成立，故在上单调递减，在上单调递增，要使成立，需满足,解得：或，故x的取值范围为或．
四、解答题（共70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
17．（本小题满分10分）
解：（Ⅰ）因为,所以，
或
所以或． （5分）
（Ⅱ）,
若，
所以
所以，
则实数a的取值范围为． （10分）
18．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得,故． （2分）
（Ⅱ）当时，,当时，,
由指数函数性质可得在上单调递减，故． （6分）
（Ⅲ）由题意可得不等式,
当时，由得,原不等式的解集为；
当时，由得，原不等式的解集为． （12分）
19．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题设条件可知，,
即,解得,
． （5分）
（Ⅱ）的定义域为,并在其定义域内单调递增，
，
解得,
∴不等式的解集为． （12分）
20．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意知利润收入-总成本，
所以利润
故2023年的利润（万元）关于年产量x（百辆）的函数关系式为
（6分）
（Ⅱ）当时，,
故当时，;
当时，，
当且仅当，即时取得等号，
综上所述，当产量为100（百辆）时，取得最大利润，最大利润为2100万元． （12分）
21．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）因为函数的最小值为，最小正周期为，
所以,
所以． （5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）可得，
因为，
所以，
于是，
所以．
所以函数的值域为． （12分）
22．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）在上为增函数．
设，则，
即,
,故,即,
故在上为增函数． （5分）
（Ⅱ）由得：,
,
所以
解得，
所以不等式的解集为． （12分）