7.4 平行线的性质 课件（共27张PPT）

(共27张PPT)
北师大版 数学 八年级上册
第七章 平行线的证明
4 平行线的性质
学习目标
1.理解并掌握平行线的性质公理和定理．（重点）
2.能熟练运用平行线的性质进行简单的推理证明．（难点）
复习回顾
文字叙述 符号语言 图形
相等， 两直线平行. ∵ (已知), ∴a∥b
_ __相等, 两直线平行. ∵ (已知), ∴a∥b _________互补, 两直线平行. ∵ (已知), ∴a∥b 同位角
内错角
同旁内角
∠1=∠2
∠3=∠2
∠2+∠4=180°
a
b
c
1
2
4
3
平行线的判定
一、创设情境，引入新知
在上一节课中,我们证明了有关平行线的判定定理,那么对于平行线的性质,又怎么证明呢 能运用上节课积累的方法进行证明吗 今天这节课我们一起再来试一试证明它们.
思考：反过来,如果两条直线平行,同位角、内错角、同旁内角各有什么关系呢
两条直线平行,同位角相等.
两条直线平行,内错角相等.
两条直线平行,同旁内角互补.
平行线的性质
二、自主合作，探究新知
探究：平行线的性质
定理 两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
问题1：你能作出相关的图形，并根据所作的图形写出已知、求证吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
已知，如图，直线AB∥CD,∠1和∠2是直线AB、CD被直线EF截出的同位角.
求证：∠1=∠2.
符号语言
文字语言
两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
你能证明这个性质定理吗？
二、自主合作，探究新知
证明：假设∠1 ≠ ∠2，那么我们可以过点M作直线GH，使∠EMH= ∠2，如图所示.
根据“同位角相等，两直线平行”，可知GH ∥ CD.
又因为AB ∥ CD，这样经过点M存在两条直线AB和GH都与直线CD平行.
这与基本事实“过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行”相矛盾.
这说明∠1 ≠ ∠2的假设不成立，所以∠1 =∠2.
如果∠1 ≠ ∠2，AB与CD的位置关系会怎样呢？
G
H
问题2：你能说说证明的思路吗？
A
B
C
D
E
F
M
N
1
2
这种证明方法叫做反证法.
二、自主合作，探究新知
平行线的性质定理1：两条平行线被第三条直线所截，同位角相等.
简述为：两直线平行，同位角相等.
b
1
2
a
c
∴∠1=∠2（两直线平行，同位角相等）
∵a∥b（已知）
应用格式:
知识要点
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的内错角.
求证： ∠1=∠2.
1
2
b
c
3
a
二、自主合作，探究新知
定理 两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
证明：∵a∥b(已知)，
∴∠2＝∠3(两条直线平行，同位角相等)
∵∠1＝∠3(对顶角相等)，
∴∠1=∠2(等量代换) .
利用上面的定理，我们可以证明：
二、自主合作，探究新知
平行线的性质定理2：两条平行线被第三条直线所截，内错角相等.
简述为：两直线平行，内错角相等.
知识要点
应用格式:
∴∠1=∠2（两直线平行，内错角相等）
∵a∥b（已知）
1
2
b
c
a
已知：直线a∥b，∠1和∠2是直线a，b被直线c截出的同旁内角.
求证： ∠1+∠2=180°.
1
2
b
c
3
a
二、自主合作，探究新知
证明：∵a∥b (已知)
∴∠2＝∠3 (两条直线平行，同位角相等)
∵∠1+∠3 =180° (平角的定义)
∴∠1+∠2=180 ° (等量代换) .
定理 两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
类似地，还可以证明：
二、自主合作，探究新知
平行线的性质定理3：两条平行线被第三条直线所截，同旁内角互补.
简述为：两直线平行，同旁内角互补.
知识要点
∴∠1+∠2=180°（两直线平行，同旁内角互补）
∵a∥b（已知）
应用格式:
1
2
b
c
a
例 已知：如图，直线a,b,c被直线d所截，且b∥a,c∥a.
求证：b∥c.
二、自主合作，探究新知
证明：∵b∥a（已知），
∴∠2=∠1（两直线平行，同位角相等），
∵c∥a（已知），
∴∠3=∠1（两直线平行，同位角相等），
∴∠2=∠3（等量代换），
∴b∥c（同位角相等，两直线平行）.
二、自主合作，探究新知
知识要点
定理：平行于同一条直线的两条直线平行.
∴b∥c（平行于同一条直线的两条直线平行）
∵b∥a,c∥a，（已知）
应用格式:
一般地，我们有如下的定理：
平行线的传递性.
二、自主合作，探究新知
议一议：完成一个命题的证明，需要哪些主要环节？与同伴进行交流.
命题证明的步骤：
(1)弄清题设和结论；
(2)根据题意画出相应的图形；
(3)根据题设和结论写出已知,求证；
(4)分析证明思路,写出证明过程.
A
D
C
B
例1：如图所示，已知四边形ABCD 中， AB∥CD， AD∥BC,试问∠A与∠C，∠B与∠D 的大小关系如何？
二、自主合作，探究新知
典型例题
解：∠A= ∠ C, ∠B=∠D
理由：∵AB∥CD （已知 ）
∴∠B+∠C=180°（两直线平行，同旁内角互补 ）
又 ∵ AD∥BC （已知）
∴∠C+∠D=180°（ 两直线平行，同旁内角互补 ）
∴∠ B=∠D （ 同角的补角相等 ）
同理 ∠A=∠C
二、自主合作，探究新知
想一想：平行线的性质定理与判定定理在条件和结论方面有什么关系？
两直线平行
性质
判定
平行线的性质
平行线的判定
同位角相等
内错角相等
同旁内角互补
线的关系
条件
角的关系
结论
角的关系
条件
线的关系
结论
例2：如图，已知DE∥BC,CD平分∠ACB,∠AED=80°,求∠EDC的度数.
A
E
D
C
B
二、自主合作，探究新知
典型例题
证明：∵ DE∥BC（已知）,∠AED=80°，
∴ ∠ACB=∠AED=80°（两直线平行，同位角相等）
∵ CD平分∠ACB（已知）,
∴∠DCB=∠ACB=40°（角平分线的性质）
∵ DE∥BC（已知）,
∴ ∠EDC=∠DCB=40°（两直线平行，内错角相等）
1.如图，直线a ∥b,直线c与a,b相交， ∠1＝65°，则∠2＝（ ）.
A. 115° B. 65° C. 35° D. 25°
a
b
2
1
c
3
三、即学即练，应用知识
B
2.如图，AB∥CD，∠CDE=∠140°，则∠A的度数为（ ）.
A. 140° B. 60° C. 50° D. 40°
A
D
C
B
E
140°
D
3.如图，已知∠1＝70°，如果CD∥BE，那么∠B的度数为 .
4.如图，在△ABC中，∠B＝40°，过点C作CD∥AB，∠ACD＝65°，则∠ACB的度数为 .
三、即学即练，应用知识
110°
75°
5.已知：如图，AD∥BC，∠ABD=∠D.
求证：BD平分∠ABC.
A
B
C
D
三、即学即练，应用知识
证明：∵ AD∥BC（已知）,
∴ ∠DBC=∠D（两直线平行，内错角相等）.
又∵ ∠ABD=∠D（已知）,
∴ ∠DBC= ∠ABD（等量代换）,
∴ BD平分∠ABC（角平分线的定义）.
四、课堂小结
平行线的性质
平行线的传递性：平行于同一条直线的两条直线平行.
两直线平行，同位角相等.
两直线平行，内错角相等.
两直线平行，同旁内角互补.
平行线的性质定理
1.下列图形中，由AB∥CD，能得到∠1=∠2的是( )
五、当堂达标检测
B
2.如图，AB∥CD，直线l交AB于点E，交CD于点F，若∠2＝80°，则∠1等于( ) A．120° B．110° C．100° D．80°
C
4.如图所示，将一直角三角板与两边平行的纸条放置在一起，给出下列结论:①∠1=∠2；②∠3=∠4；③∠4+ ∠2=180°；④∠5+ ∠4=180°其中正确的是 （填序号）.
3.如图，AB∥CD，∠1＝58°，FG平分∠EFD，则∠FGB的度数等于 .
五、当堂达标检测
151°
①②④
解: ∠A =∠D.理由：
∵ AB∥DE( 　)
∴∠A=_______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D= ( )
∴∠A=∠D ( )
5.（1）如图1,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
P
F
C
E
B
A
D
图1
五、当堂达标检测
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPE
两直线平行,同位角相等
等量代换
解: ∠A+∠D=180o. 理由：
∵ AB∥DE( 　)
∴∠A= ______ ( )
∵AC∥DF( )
∴∠D+ _______=180o ( )
∴∠A+∠D=180o（ ）
（2）如图2,若AB∥DE ,　AC∥DF，请说出∠A和∠D之间的数量关系，并说明理由.
图2
F
C
E
B
A
D
P
五、当堂达标检测
已知
∠CPD
两直线平行,同位角相等
已知
∠CPD
两直线平行,同旁内角互补
等量代换
6.如图，在 ABC中，CE⊥AB于点E，DF⊥AB于点F，AC//ED，CE是∠ACB的平分线，则∠EDF=∠BDF，请说明理由.
五、当堂达标检测
解：∵CE⊥AB， DF⊥AB（已知）
∴DF//CE（同位角相等，两直线平行）
∴∠BDF=∠1（两直线平行，同位角相等）
∠EDF=∠3（两直线平行，内错角相等）
∵ED//AC（已知），
∴∠3=∠2（两直线平行，内错角相等）
∴∠EDF=∠2（等量代换）
又∵CE平分∠ACB（已知）
∴∠1=∠2（角平分线的定义）
∴∠BDF=∠EDF（等量代换）.
∴∠DFB=∠CEB=90°（垂直的定义）
教材习题7.5.　　　　
六、布置作业