15.4 角的平分线 第1课时 课件(共21张PPT) 沪科版八年级上册数学

(共21张PPT)
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.4 角的平分线
第1课时 角平分线的性质与尺规作图
1.知道角是轴对称图形,掌握角平分线的尺规作法并会证明它的正确性；
2.掌握过一点作已知直线垂线的尺规作法，角平分线定理及其逆定理；
3.能利用角平分线定理及其逆定理解决几何图形中的问题.
一、学习目标
二、新课导入
要在S区建一个集贸市场，使它到公路，铁路距离相等且离公路，铁路的交叉处500米，应建在何处？（比例尺 1：20 000）
S
Ｏ
公路
铁路
三、概念剖析
一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线.
（一）角平分线的概念
O
B
C
A
1
2
三、概念剖析
（二）角平分线与垂线的做法
尺规作图：
已知∠AOB.求作：∠AOB的平分线.
作法：1.以点O为圆心，任意长为半径作圆弧，与角的两边分别交于M、N两点；
A
B
N
M
P
O
2.分别以M、N为圆心，大于 的长为半径作弧，两条圆弧交于∠AOB内一点P；
3.作射线OP，OP就是所求作的射线.
三、概念剖析
想一想：为什么OP是角平分线呢？
已知：OM=ON，MP=NP.
求证：OP平分∠AOB.
证明：在△OMP和△ONP中，
OM=ON，
MP=NP，
OP=OP，
B
A
N
M
P
Ｏ
∴ △OMP≌ △ONP,（SSS）
∴∠MOP=∠NOP,
即OP平分∠AOB.
三、概念剖析
如何过一点P作已知直线l的垂线呢？
(1)当点P在直线l上.
①在直线l上点P的两旁分别截取线段PA，PB，使PA=PB；
·
P
A
B
C
l
②分别以A，B 为圆心 以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C，P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
三、概念剖析
(2)当点P在直线l外.
①以点P为圆心，以大于点P到直线l的距离的线段长为半径画弧，交直线l于点A，B；
②分别以A，B 为圆心 以大于 AB的长为半径画弧，两弧相交于点C；
③过点C， P作直线CP，则直线CP为所求作的直线.
·
P
A
B
C
l
例1：已知：如图，∠AOC=∠BOC,点P在OC上，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D，E.求证：PD=PE.
四、典型例题
证明：∵ PD⊥OA，PE⊥OB（已知）,
∴∠PDO=∠PEO=90 （垂直的定义）.
在△PDO和△PEO中，
D
P
E
A
O
B
C
∠PDO=∠PEO，
∠AOC=∠BOC，
OP=OP，
∴△PDO△PEO（AAS），
∴PD=PE（全等三角形的对应边相等）.
四、典型例题
角平分线的性质定理:角平分线上的点到角两边的距离相等.
归纳：
定理应用所具备的条件：
（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
定理的作用:证明线段相等.
应用格式：∵OP是∠AOB的平分线，
PD⊥OA,PE⊥OB，
∴PD=PE
1.用尺规作图作一个已知角的平分线的示意图如图所示，则能说明∠AOC=∠BOC的依据是（ ）
A.SSS B.ASA
C.AAS D.角平分线上的点到角两边的距离相等
A
【当堂检测】
分析：连接MC、NC，根据SSS证明△ONC ≌ △OMC，即可得出答案.
A
B
M
N
C
O
【当堂检测】
×
2.判断正误，并说明理由：
（1）如图，P在射线OC上，PE⊥OA，PF⊥OB，则PE=PF.
解：错误，缺少∠AOP=∠BOP，无法得到PE=PF.
A
O
B
P
E
F
【当堂检测】
解：错误，缺少PE⊥OA，PF⊥OB，无法得到PE=PF.
2.判断正误，并说明理由：
（2）如图，P是∠AOB的平分线OC上的一点，E、F分别在OA、OB上，则PE=PF.
×
A
O
B
P
E
F
总结：定理应用所具备的条件：（1）角的平分线；（2）点在该平分线上；（3）垂直距离.
【当堂检测】
√
2.判断正误，并说明理由：
（3）如图，在∠AOB的平分线OC上任取一点P，若P到OA的距离为3cm，则P到OB的距离为3cm.
A
O
B
P
E
解：作PF⊥OB交OB于点F，
由题意得，PE⊥OA，PE=3，
∵P在∠AOB的平分线上，且PE⊥OA，PF⊥OB，
∴PE=PF=3.
∴P到OB的距离为3cm.
F
【当堂检测】
3.△ABC中, ∠C=90°,AD平分∠CAB,且BC=8,BD=5,则点D到AB的距离是 .
3
解：∵AD是∠CAB的平分线，
DC⊥AC,DE⊥AB，
∴DC=DE
又∵BC=8,BD=5，
∴DE=DC=BC-BD=8-5=3
A
B
C
D
E
思考：交换角的平分线的性质中的已知和结论，你能得到什么结论，这个新结论正确吗？
四、典型例题
角的平分线上的点到角的两边的距离相等.
逆
命
题
思考：这个结论正确吗？
角的内部到角的两边距离相等的点在角的平分线上．
P
A
O
B
C
D
E
例2：已知：如图，PD⊥OA，PE⊥OB，垂足分别是D、E，PD=PE.求证：点P在∠AOB的角平分线上.
证明：作射线OP，
∵PD⊥OA,PE⊥OB.
∴∠PDO=∠PEO=90°，
在Rt△PDO和Rt△PEO中，
OP=OP（公共边），
PD=PE（已知 ），
∴Rt△PDO ≌ Rt△PEO（ HL）.
∴∠AOP=∠BOP（全等三角形的对应角相等）.
∴点P在∠AOB的平分线上.
四、典型例题
B
A
D
O
P
E
定理：角的内部到角的两边的距离相等的点在角的平分线上.
四、典型例题
应用所具备的条件：（1）位置关系：点在角的内部；（2）数量关系：该点到角两边的距离相等.
定理的作用：判断点是否在角平分线上.
归纳：
P
A
O
B
C
D
E
应用格式：∵ PD⊥OA,PE⊥OB，PD=PE.
∴点P在∠AOB的平分线上.
【当堂检测】
解：∵DE⊥AB，DF⊥BG，DE=DF.
∴点D在∠ABG的平分线上.
∵∠EBD=180°-∠DEB-∠EDB=180°-90°-60°=30°
∴∠EBF=2∠EBD=60°
由BD=BD，DE=DF，可证Rt△BDE ≌ Rt△BDF（ HL），
∴BE=BF
4.如图，DE⊥AB，DF⊥BG，垂足分别是E，F，DE=DF， ∠EDB=60°，则∠EBF= °，BE= .
60
BF
E
B
D
F
A
C
G
角的平分线
【当堂检测】
5.如图，在△ABC中，∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，且AC=6cm，那么线段BE是△ABC的　　　 ，AE+DE=　　　cm.
6
A
B
C
E
D
1
2
解：∵∠1=∠2
∴线段BE是△ABC的角平分线.
∵∠C=90°，DE⊥AB，∠1=∠2，
∴ED=EC，
∴AE+DE=AE+EC=AC=6cm.
五、课堂总结
1.角平分线上的点到这个角的两边距离相等.
角平分线的性质与尺规作图
2.角的内部到角两边距离相等的点在角的平分线上．
角平分线的作法：尺规作图