18.1.2 第3课时 三角形的中位线 课件 (共26张PPT)人教版数学八年级下册

(共26张PPT)
第十八章 平行四边形
三角形的中位线
如图,将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割 这个问题与三角形的中位线有关,学完本节课就可以解决这个问题.
情境导入
思考：
1. 一个三角形有几条中位线？自己试着画一画．
探究点1 三角形的中位线的概念
概念：像DE这样，连接三角形两边中点的线段 叫做三角形中位线
探索新知
如图,在△ABC中,D ,E分别是AB,AC的中点,连接DE.
A
C
D
E
B
一个三角形有三条中位线
思考：
2. 三角形的中位线和中线一样吗 有什么区别
探究点1 三角形的中位线的概念
概念：像DE这样，连接三角形两边中点的线段 叫做三角形中位线
探索新知
如图,在△ABC中,D ,E分别是AB,AC的中点,连接DE.
A
C
D
E
B
不一样.三角形的中位线是连接三角形两边中点的线段,而中线是连接三角形的顶点与其对边中点的线段.
在纸上画一个三角形,记作△ABC,分别取AB, AC边的中点D, E,连接DE.
1. 借助量角器测量∠ADE 与∠B 的大小,并猜想DE与BC之间的位置关系．
探究点2 三角形的中位线定理
探索新知
A
C
D
E
B
∠ADE=∠B,由同位角相等,两直线平行,猜想DE∥BC.
在纸上画一个三角形,记作△ABC,分别取AB, AC边的中点D, E,连接DE.
2. 用直尺分别测量DE与BC的长,它们之间存在怎样的数量关系
探究点2 三角形的中位线定理
探索新知
A
C
D
E
B
DE= BC.
下面我们一起来验证DE与BC之间存在的位置关系和数量关系.
A
B
C
D
E
中位线
倍长
构造全等三角形
平行四边形
作等长延长线
得线段相等、角相等
得线段相等、平行
F
点击查看证明过程
探索新知
如图, D, E分别是△ABC的边AB, AC的中点.
求证：DE∥BC,且DE= BC.
证明：如图，延长DE到F，使EF=DE，连接CF.
在△ADE和△CFE中，
∵AE=CE，∠1=∠2，DE=FE,
∴△ADE≌△CFE.
∴∠A=∠ECF,AD=CF.
∴CF∥AB.
∵BD=AD, ∴CF=BD.
∴四边形DBCF是平行四边形
（一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）
∴DF∥BC（平行四边形的定义），
DF=BC（平行四边形的对边相等）.
∴ DE∥BC，DE= BC.
A
B
C
D
E
F
探索新知
三角形的中位线平行于三角形的第三边，并且等于第三边的一半.
三角形中位线定理
A
B
C
D
E
归纳总结
几何语言： 在△ABC中
∵点D,E分别为AB，AC的中点，
∴DE BC
12.5
对应训练
5.5
4
3
E
F
A
C
D
B
1. 如图, D, E, F分别是△ABC各边的中点, 且AB=11cm, BC=8cm, AC=6cm, 则DE= cm, DF= 　cm, EF= cm, △DEF的周长是 cm．
25
对应训练
2. 如图, 有一块等边三角形空地ABC, E, F分别是边AB, AC的中点, 量得EF=5m. 若用篱笆围成四边形BCFE, 则所需篱笆的长度是 m.
证明：∵D,E分别是AC,AB的中点,
∴DE是△ABC的中位线.
∴DE∥BC,BC=2DE.
∵CF=3BF, ∴BC=2BF. ∴DE＝BF.
又DE∥BF, ∴四边形DEFB是平行四边形.
例题精析
例： 如图, 在△ABC中, D, E分别是AC, AB 的中点,点F是CB延长线上的一点,且CF=3BF, 连接DB, EF, CE.求证：四边形DEFB是平行四边形．
B
E
A
C
F
D
解：能在图中画出3个平行四边形.
如图，连接DE,EF,FD,
则 BEFD, DECF, DEFA即为所画的3个平行四边形.
对应训练
1. 如图, 在△ABC中, D, E, F分别是, AB, BC, CA 的中点.以这些点为顶点，在图中，你能画出多少个平行四边形？为什么？
B
E
A
C
F
D
A
B
C
D
E
方法1：分别取AC, BC的中点D, E, 连接DE, 并量出DE的长，则AB=2DE（依据：三角形中位线定理）.
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？
对应训练
A
B
C
D
E
方法2：可分别延长AC和BC到D, E, 使 DC=BC ，EC=AC, 连接DE, 量出DE的距离，即得AB的距离，AB=DE（依据：三角形全等）.
2.如图，A, B两点被池塘隔开，在 A, B外选一点C，连接 AC和 BC, 怎样测出 A, B两点间的距离？根据是什么？
对应训练
3. 如图,将任意一个三角形形状的蛋糕平均分给四个小朋友,要求每人分得的形状和大小必须完全相同,该如何切割
对应训练
解:沿三角形的三条中位线切割即可.如图,点D,E,F分别是AB,AC,BC的中点,根据三角形的中位线定理,易证△ADE≌△DBF≌△EFC≌△FED.
4.如图,在 ABCD中,E是AD的中点,点F在BA的延长线上,且AF= AB. 连接EF,BD.
（1）请用无刻度的直尺作出△ABD中
与AB平行的中位线EG(不写作法,保留
作图痕迹)；
（2）在（1）的基础上,判断四边形
AGEF的形状,并说明理由.
对应训练
A
F
B
C
D
E
解:（1）如图,EG即为所求．
（2）四边形AGEF是平行四边形．
理由如下：
∵EG是△ABD的中位线,
∴EG∥AB,EG= AB．
又AF= AB,∴EG=AF．
又EG∥AF,
∴四边形AGEF是平行四边形．
对应训练
A
F
B
C
D
E
G
知识结构
课堂总结
三角形的中位线定理
平行四边形的性质及判定
三角形全等
内容及图形
数学符号表示
应用：位置、数量
1. 如图， ABCD的对角线AC, BD相交于点O, 且E, F, G, H分别是AO, BO, DO的中点. 求证：四边形EFGH是平行四边形.
课后练习
E
F
B
A
C
D
G
H
O
证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴ AO=CO, BO=DO.
又E, F, G, H分别是AO, BO,
CO, DO的中点，
∴EO=GO, FO=HO.
∴四边形EFGH是平行四边形.
2. 如图,A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC, ∠ABC与∠B'有什么关系？线段AB'与线段AC' 呢？为什么？
B
A
C
A'
C'
B'
解：∠ABC=∠B',AB'=AC'.
理由：∵A'B'∥BA, B'C'∥CB, C'A'∥AC,
∴ 四边形ABCB'、四边形ABA'C、四边形C'BCA都是平行四边形，
∴∠ABC=∠B',且AB'=BC, AC'=BC,
∴AB'=AC'.
3. 如图,在△ABC中，BD,CE分别是边AC,AB上的中线，BD与CE相交于点O. BO与OD的长度有什么关系 BC边上的中线是否一定过点O 为什么 （提示：分别作BO,CO的中点M,N,连接ED,EM,MN,ND.)
E
O
B
A
C
D
M
N
E
O
B
A
C
D
M
N
解：（1）BO=2OD;
（2）BC边上的中线一定过点O.
证明：（1）作BO的中点M,CO的中点N,连接ED，EM,MN,ND.∵ED是△ABC的中位线，∴ED∥BC，且ED= BC.又MN是△OBC的中位线，∴MN∥BC,且MN= BC.∴ED MN.∴四边形EMND是平行四边形.∴OM=OD.又OM= BO,∴BO=2OD.
（2）三角形三边的中线交于一点.
4. 如图，任意画一个四边形，以四边的中点为顶点组成一个新四
边形，这个新四边形的形状有什么特征？请证明你的结论.
方法总结：连接两点构造中位线及应用
证明：如图，连接AC.
∵在△ABC中，E,F分别为AB,BC中点,
∴ EF AC.
∵在△ADC中，H,G分别为AD,DC中点，
∴HG AC, ∴EF GH,
∴四边形EFGH为平行四边形.
5. 如图，在△ABC中，AB>AC，在AB上取一点D，连接BC、AD的中点 E，F的直线交CA的延长线于点G.若AF=AG，求证:BD=AC.
方法总结：先添加辅助线，再构造中位线
中点
构造中位线
平行线
角相等
点击查看证明过程
拓展提升
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拓展提升
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