15.2 线段的垂直平分线 课件(共22张PPT) 沪科版八年级上册数学
文档属性
| 名称 | 15.2 线段的垂直平分线 课件(共22张PPT) 沪科版八年级上册数学 |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 223.9KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 沪科版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2023-12-21 10:29:00 | ||
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文档简介
(共22张PPT)
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
1.能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线,并能证明它的正确性；
2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3.知道三角形三边的垂直平分线的交点的性质.
一、学习目标
二、新课导入
如图，A、B、C三个村庄合建一所学校，要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
A
B
C
·
·
·
三、概念剖析
怎样作出线段的垂直平分线？有哪几种作法？
方法一：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.
（一）线段垂直平分线的画法
A
B
O
三、概念剖析
方法二：通过折纸可以作出线段的垂直平分线
A
A'
(A’)
O
O
A
A'
直线 就是线段的垂直平分线呢？
三、概念剖析
在方法二的折痕上取任意一点P，连接PA，PB，再折叠，看能得到什么结论？
结论：PA与PB重合,即PA=PB
A
B
P
C
B
三、概念剖析
方法三：用尺规作图
A
B
E
F
O
作法：
2.过E，F两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径（为什么？）画弧交于E，F.
三、概念剖析
（二）线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线PO是线段AB的垂直平分线，直线PO与线段AB交于点O,
求证：PA=PB
A
B
P
O
证明：∵PO垂直平分AB
∴∠POA=∠POB=90°，OA=OB
在△PAO与△PBO中
OP=OP(公共边）
∠POA=∠POB
OA=OB
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴PA=PB
三、概念剖析
线段的垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（定理1）
几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
∵ MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上，
∴PA=PB
N
A
B
P
M
或
C
三、概念剖析
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（定理2）
逆命题
例1：如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
分析：(1)用尺规作图画出线段AB的垂直平分线.
(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质即可证明．
M
N
A
B
l
四、典型例题
四、典型例题
M
N
A
B
l
P
解：(1)如图所示：
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解：(2)在△AMP和△BNP中，
∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
四、典型例题
M
N
A
B
l
P
归纳：
用尺规作线段AB的垂直平分线的步骤：
四、典型例题
2.过E，F两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径，画弧交于E，F.
A
B
E
F
O
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
1.如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
点P为校址.
A
B
C
·
·
·
P
·
解：如图:
【当堂检测】
【当堂检测】
2.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为 .
5
解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA=5．
P
A
B
C
D
【当堂检测】
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35-20＝15(cm).
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例2：已知:如图△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.
∴PA=PB=PC.
A
C
B
M
P
N
M'
N'
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上,点P在线段BC的垂直平分线上(已知)
∴PA=PB ,PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
四、典型例题
总结：在△ABC中,若AB、BC的垂直平分线相交于点P，则点P也在AC的垂直平分线上.
归纳：
四、典型例题
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
线段垂直平分线的判定：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
D
【当堂检测】
4.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A. ∠A的平分线 B. AC边的中线
C. BC边的高线 D. AB边的垂直平分线
解：分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E.
∴DA=DB，EA=EB，
∴点D，E在线段AB的垂直平分线上.
【当堂检测】
5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.
证明：∵AC=BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CD为线段AB的垂直平分线.
又∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
五、课堂总结
画法：尺规作图
线段的垂直平分线
定理1：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等；
定理2：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.2 线段的垂直平分线
1.能够利用尺规作图作一条已知线段的垂直平分线,并能证明它的正确性；
2.理解线段的垂直平分线的性质定理及其逆定理；
3.知道三角形三边的垂直平分线的交点的性质.
一、学习目标
二、新课导入
如图，A、B、C三个村庄合建一所学校，要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
A
B
C
·
·
·
三、概念剖析
怎样作出线段的垂直平分线？有哪几种作法？
方法一：用刻度尺量出线段的中点，再用三角尺过中点画垂线的方法作出线段的垂直平分线.
（一）线段垂直平分线的画法
A
B
O
三、概念剖析
方法二：通过折纸可以作出线段的垂直平分线
A
A'
(A’)
O
O
A
A'
直线 就是线段的垂直平分线呢？
三、概念剖析
在方法二的折痕上取任意一点P，连接PA，PB，再折叠，看能得到什么结论？
结论：PA与PB重合,即PA=PB
A
B
P
C
B
三、概念剖析
方法三：用尺规作图
A
B
E
F
O
作法：
2.过E，F两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径（为什么？）画弧交于E，F.
三、概念剖析
（二）线段垂直平分线的性质
已知：如图，直线PO是线段AB的垂直平分线，直线PO与线段AB交于点O,
求证：PA=PB
A
B
P
O
证明：∵PO垂直平分AB
∴∠POA=∠POB=90°，OA=OB
在△PAO与△PBO中
OP=OP(公共边）
∠POA=∠POB
OA=OB
∴△PAO≌△PBO（SAS）
∴PA=PB
三、概念剖析
线段的垂直平分线的性质定理：
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.（定理1）
几何语言:∵点P在线段AB的垂直平分线上
∴PA=PB
∵ MN⊥AB于C，AC=BC，点P在MN上，
∴PA=PB
N
A
B
P
M
或
C
三、概念剖析
线段的垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等.
到一条线段的两个端点距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.（定理2）
逆命题
例1：如图，已知点A、点B以及直线l.
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
分析：(1)用尺规作图画出线段AB的垂直平分线.
(2)利用全等三角形的判定方法以及利用其性质即可证明．
M
N
A
B
l
四、典型例题
四、典型例题
M
N
A
B
l
P
解：(1)如图所示：
(1)用尺规作图的方法在直线l上求作一点P，使PA＝PB.(保留作图痕迹，不要求写出作法)；
(2)在(1)中所作的图中，若AM＝PN，BN＝PM，求证：∠MAP＝∠NPB.
解：(2)在△AMP和△BNP中，
∵AM=PN，AP＝BP，PM＝BN，
∴△AMP≌△PNB(SSS)，
∴∠MAP＝∠NPB.
四、典型例题
M
N
A
B
l
P
归纳：
用尺规作线段AB的垂直平分线的步骤：
四、典型例题
2.过E，F两点作直线.
则直线EF就是线段AB的垂直平分线.
1.分别以点A，B为圆心，大于 AB为半径，画弧交于E，F.
A
B
E
F
O
线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等.
1.如图,A、B、C三个村庄合建一所学校,要求校址P点距离三个村庄都相等.请你帮助确定校址.
点P为校址.
A
B
C
·
·
·
P
·
解：如图:
【当堂检测】
【当堂检测】
2.如图所示，直线CD是线段AB的垂直平分线，点P为直线CD上的一点，且PA=5，则线段PB的长为 .
5
解：∵直线CD是线段AB的垂直平分线，P为直线CD上的一点，
∴PB=PA=5．
P
A
B
C
D
【当堂检测】
解：∵△DBC的周长为BC＋BD＋CD＝35cm，
又∵DE垂直平分AB，
∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.
∵AC＝AD＋DC＝20cm，
∴BC＝35-20＝15(cm).
3.如图，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足为E，交AC于D，若△DBC的周长为35cm，求BC的长.
方法归纳：利用线段垂直平分线的性质，实现线段之间的相互转化，从而求出未知线段的长．
例2：已知:如图△ABC中,边AB、BC的垂直平分线相交于点P.
求证:PA=PB=PC.
∴PA=PB=PC.
A
C
B
M
P
N
M'
N'
证明: ∵点P在线段AB的垂直平分线上,点P在线段BC的垂直平分线上(已知)
∴PA=PB ,PB=PC(线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等)
四、典型例题
总结：在△ABC中,若AB、BC的垂直平分线相交于点P，则点P也在AC的垂直平分线上.
归纳：
四、典型例题
三角形三边的垂直平分线相交于一点，这点到三角形三个顶点的距离相等.
线段垂直平分线的判定：
到线段两端距离相等的点在线段的垂直平分线上．
作用：判断一个点是否在线段的垂直平分线上.
D
【当堂检测】
4.如图，在△ABC中，分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E，则直线DE是（ ）
A. ∠A的平分线 B. AC边的中线
C. BC边的高线 D. AB边的垂直平分线
解：分别以点A，B为圆心，大于 AB长为半径画弧，两弧分别交于点D，E.
∴DA=DB，EA=EB，
∴点D，E在线段AB的垂直平分线上.
【当堂检测】
5.已知：如图，点C，D是线段AB外的两点，且AC=BC，AD=BD，AB与CD相交于点O.求证：AO=BO.
证明：∵AC=BC，AD=BD，
∴点C和点D在线段AB的垂直平分线上，
∴CD为线段AB的垂直平分线.
又∵AB与CD相交于点O，
∴AO=BO.
五、课堂总结
画法：尺规作图
线段的垂直平分线
定理1：线段的垂直平分线上的点到线段的两端的距离相等；
定理2：到线段的两端距离相等的点在线段的垂直平分线上.