15.3 等腰三角形 第1课时 课件(共21张PPT) 沪科版八年级上册数学

(共21张PPT)
第十五章 轴对称图形与等腰三角形
15.3 等腰三角形
第1课时 等腰三角形的性质
1.掌握等腰三角形的两条性质定理及推论；
2.理解等腰三角形“三线合一”的特性；
3.运用等腰三角形的性质及其推论进行有关证明和计算.
一、学习目标
二、新课导入
等腰三角形
三、概念剖析
有两条边相等的三角形叫做等腰三角形.
等腰三角形中，相等的两边叫做腰，另一边叫做底边，两腰的夹角叫做顶角，腰和底边的夹角叫做底角.
（一）等腰三角形的定义及相关概念
A
C
B
腰
腰
底边
顶角
底角
底角
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质及其推论
等腰三角形是轴对称图形，
∠B=∠C，
等腰三角形的两底角相等.
性质1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质及其推论
∠BAD=∠CAD，AD为顶角平分线
∠ADB=∠ADC=90°，AD为底边上的高线
BD=CD，AD为底边上的中线
等腰三角形的顶角平分线、底边上的中线、底边上的高互相重合
性质2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.简称“三线合一”.
三、概念剖析
（二）等腰三角形的性质及其推论
想一想：我们都知道，等边三角形是特殊的等腰三角形.根据等腰三角形的性质可得，等边三角形有什么性质？
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
A
B
C
例1：如图，在△ABC中，AB=AD=DC，∠BAD=26°，求∠B和∠C的度数.
四、典型例题
解：∵AB=AD=DC，
∴ ∠B=∠ADB，∠C=∠DAC.
设∠C=x，则∠DAC=x，
∠B=∠ADB=∠C+∠DAC=2x.
在△ABC中，根据三角形内角和定理得2x+x+26°+x=180°，
解得x=38.5°.
∴∠C=x=38.5°，∠B=2x=77°.
四、典型例题
等腰三角形的性质定理1:等腰三角形的两底角相等,即等边对等角.
归纳：
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.
1.如图，在△ABC中，AB=AC，过点A作AD∥BC，若∠1=70°，则∠BAC的大小为（　　）
A．40° B．30°
C．70° D．50°
A
【当堂检测】
解：∵AD∥BC，∴∠C=∠1=70°，
∵AB=AC，∴∠B=∠C=70°，
∴∠BAC=180°-∠B-∠C=40°.
【当堂检测】
2.等腰三角形的一个内角是50°，求这个三角形的底角的度数.
解：当50°的角是底角时，三角形的底角就是50°；
当50°的角是顶角时，两底角相等，根据三角形的内角和定理可得底角是65°.
∴这个三角形的底角的度数是50°或65°.
【当堂检测】
解：在△ABC中，∵AB=AC，
∴∠B=∠C（等边对等角）.
又∵∠BAC=100 ，
3.已知：如图，房屋的顶角∠BAC=100 , 过屋顶A的立柱AD⊥BC , 屋椽AB=AC. 求顶架上∠B、∠C、∠BAD、∠CAD的度数.
又∵AD⊥BC，
∴∠BAD=∠CAD（等腰三角形顶角的平分线与底边上的高互相重合）.
∴∠BAD=∠CAD=50°.
A
B
D
C
∴∠B=∠C= (180°－∠BAC)=40°(三角形内角和定理).
例2：已知：△ABC 中，AB=AC,
求证：∠B=∠C .
∴△ABD ≌ △ACD（SSS）.
∴∠B=∠C.
证法1：作底边BC边上的中线AD.
在△ABD与△ACD中：
四、典型例题
应用格式：
∵AB=AC（已知）
∴∠B=∠C（等边对等角）
A
B
C
D
AB=AC（已知），
BD=DC（作图），
AD=AD（公共边），
∴△ABD ≌ △ACD（SAS），
∴∠B＝∠C.
证法2：作顶角∠BAC的平分线AD，交BC于点D.
∵AD平分∠BAC ，
∴∠1＝∠2.
在△ABD与△ACD中，
四、典型例题
AB＝AC（已知），
∠1＝∠2（已证），
AD＝AD（公共边），
A
B
C
D
(
(
1
2
∴ Rt△ABD ≌ Rt△ACD（HL），
∴ ∠B＝∠C.
证法3：作底边BC的高AD，交BC于点D.
∵AD⊥BC，
∴∠ADB ＝∠ADC＝90°.
在Rt△ABD与Rt△ACD中，
四、典型例题
AB＝AC（已知），
AD＝AD（公共边），
A
B
C
D
归纳：
四、典型例题
等腰三角形的性质定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边.
由此可知，等腰三角形的角平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.
4.如图，在△ABC中，AB=AC，D是BC边上的中点，∠B=30°，求∠BAD和∠ADC的度数.
解：∵AB=AC，D是BC边上的中点，
∴∠C=∠B=30°，
∠BAD=∠DAC，∠ADC=90°.
∴∠BAC=180°-30°-30°=120°.
【当堂检测】
A
B
C
D
【当堂检测】
5.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
点拨：在等腰三角形有关计算或证明中，有时需要添加辅助线，其顶角平分线、底边上的高、底边上的中线是常见的辅助线．
图②
图①
【当堂检测】
5.如图，点D、E在△ABC的边BC上，AB＝AC.
(1)若AD＝AE，求证：BD＝CE；
证明：(1)如图①，过A作AG⊥BC于G.
∵AB＝AC，AD＝AE，
∴BG＝CG，DG＝EG，
∴BG-DG＝CG-EG，
∴BD＝CE；
图①
G
【当堂检测】
(2)若BD＝CE，F为DE的中点，如图②，求证：AF⊥BC.
证明：(2)∵BD＝CE，F为DE的中点，
∴BD＋DF＝CE＋EF，
∴BF＝CF.
∵AB＝AC，
∴AF⊥BC.
图②
五、课堂总结
等腰三角形是轴对称图形，底边上的中线所在的直线是它的对称轴.
等腰三角形
定理1：等腰三角形的两底角相等，简称“等边对等角”.
定理2：等腰三角形顶角的平分线垂直平分底边,即等腰三角形的角平分线、底边上的中线和底边上的高“三线合一”.
推论：等边三角形三个内角相等，每一个内角都等于60°.