13.2 命题与证明（ 第4课时）课件 23张PPT 沪科版八年级上册数学

(共23张PPT)
13.2.4 三角形内角和定理的证明及推论
第十三章 三角形中的边角关系、命题与证明
13.2 命题与证明
1.经历探究“三角形内角和定理”的证明,知道作辅助线是证明
中的重要方法；(难点)
一、学习目标
2.理解三角形内角和定理的两个推论.(重点)
二、新课导入
回顾：
三角形的内角和等于多少？
三角形内角和等于180°
在前面的课程中，通过拼接我们能发现三角形的三个内角拼到一起
恰好构成一个平角.
但是测量有误差，而且三角形有无数个，我们不可能用上述方法进
行一一验证.那有没有更加合理的方法证明呢？
三、概念剖析
思考：在操作过程中, 我们发现了与边BC 平行的直线l，由此，你又能受到什么启发？你能发现证明“三角形内角和等于180°”的思路吗？
通过添加与底边边平行的直线l，利用平行线的性质和平角的
定义即可证明结论．
A
B
C
l
(一)三角形的内角和的证明
三、概念剖析
已知：△ABC ，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
我们首先要写出写出已知和求证；如下：
如图过A作EF∥BC.
∴∠B=∠2
(两直线平行,内错角相等)
∠C=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∵∠2+∠1+∠BAC=180°
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
F
2
1
E
A
B
C
证法一：
三、概念剖析
证法二：
如图延长BC到D，过C作CE∥BA.
∴∠A=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠B=∠2
(两直线平行,同位角相等)
∵∠1+∠2+∠ACB=180°
∴∠A+∠B+∠BAC=180°（等量代换）
E
2
1
D
A
B
C
三、概念剖析
思路总结：为了证明三个角的和为180°,将三个内角转化为一个平角,这种转化思想是数学中的常用方法.
在这里，为了证明的需要，在原来的图形上添画的线叫做辅助线.
在平面几何里，辅助线通常画成虚线.
E
2
1
D
A
B
C
辅助线
三、概念剖析
问题1：如图，在直角△ABC中， ∠C=90°，你能求出∠A，∠B 的度数
吗？为什么？你能求出∠A +∠B 的度数吗
A
C
B
由三角形内角和定理，得∠A +∠B+∠C=180°,
∵∠C=90°，∴∠A +∠B=180°-90°=90°.
题目中只给出∠C的度数，所以我们无法∠A，∠B
的度数.但可以求出∠A +∠B 的度数.
思考：通过以上的问题，你能得出怎样的结论？
(二)三角形的内角和的推论
三、概念剖析
直角三角形的两个锐角互余．　　
应用格式：在Rt△ABC 中，
∵　∠C =90°，
∴　∠A +∠B =90°．　
推论1：　　
A
C
B
像这样，由基本事实、定理直接得出的真命题叫做推论．　　
结论：在三角形中一个角是90°，根据三角形内角和定理，另外两个角
的和应为90°.　　
问题2 ：如图，∠A +∠B=90°，那么△ABC是直角三角形吗？为什么？
A
C
B
三、概念剖析
△ABC是直角三角形；
在△ABC中，因为 ∠A +∠B +∠C=180°，
又∠A +∠B=90°，所以∠C=90°；
∴△ABC是直角三角形.
那反过来，如果三角形中两个角互余，这个三角形是直角三角形吗？
三、概念剖析
有两个角互余的三角形是直角三角形．　　
应用格式：在△ABC 中，
∵∠A +∠B =90°，
∴△ABC 是直角三角形°．　
这样我们可以得出推论2：　　
A
C
B
四、典型例题
例1.补充证明.已知：△ABC ，求证:∠BAC+∠B+∠C=180°.
如图过A作AE∥BC.
∴∠B=∠1
(两直线平行,内错角相等)
∠EAC+∠C=180°
(两直线平行,同旁内角互补)
∵∠EAC=∠1+∠BAC，∠B=∠1，∠EAC+∠C=180°.
∴∠B+∠C+∠BAC=180°（等量代换）
1
E
A
B
C
证明：
总结：为了证明三个角的和为180°,还可将三个内角转化为同旁内角.
【当堂检测】
1.补充证明.已知：如图，△ABC ，求证:∠A+∠B+∠C=180°.
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
D是BC边上一点，过D作DE∥AB，DF∥AC,分别交AC,AB于点E，F.
证明：
∵DE∥AB,(所作)
∴∠A=∠4，∠B=∠3(两直线平行,同位角相等)
∵DF∥AC,(所作)
∴∠C=∠1，(两直线平行,同位角相等)
∴∠A=∠2（等量代换）
∠2=∠4，(两直线平行,内错角相等)
【当堂检测】
A
B
C
D
E
F
1
2
3
4
∵B,C,D在同一直线(所作)
∴∠A+∠B+∠C=180°(等量代换）
∴∠1+∠2+∠3=180°，
四、典型例题
例2. (1)如图1，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
B
C
A
0
D
解：方法一（利用平行的判定和性质）
∵∠B=∠C=90°，
∴AB∥CD，
∴∠A=∠D.
方法二（利用直角三角形的性质）
∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
四、典型例题
(2)如图，∠B=∠C=90°，AD交BC于点O，∠A与∠D有什么关系？
B
C
A
0
D
解：∵∠B=∠C=90°，
∴∠A+∠AOB=90°，∠D+∠COD=90°.
∵∠AOB=∠COD，
∴∠A=∠D.
四、典型例题
如图，由直角三角形的性质易推得∠A=∠D.
总结：
B
C
A
0
D
B
C
A
0
D
【当堂检测】
2.如图，∠C=∠D=90°，AD交BC于点E．∠CAE与∠DBE有什么关系？为
什么？
解：∠CAE与∠DBE相等．
理由如下：∵在△CAE，△DBE中，∠C=∠D=90°，
∠CEA=∠DEB，
∴∠CAE=90°-∠CEA，∠DBE=90°-∠DEB，
即∠CAE=∠DBE．
A
B
C
E
D
3. 在直角三角形中，一个锐角比另一个锐角的3倍还多10°，求这两个
锐角的度数．
【当堂检测】
解：设另一个锐角为x°，则一个锐角为（3x+10）°，
由题意得，x +（3x+10）=90，
解得x=20，
3x+10=3×20+10=70，
所以，这两个锐角的度数分别为20°，70°．
四、典型例题
例3. 已知：如图所示，△ABC中，∠AFB=135°，∠A、∠B的平分线AD、
BE交于F，试证明△ABC为直角三角形．
A
B
C
F
E
D
证明：∵在△AFB中，∠AFB=135°，(已知)
∴∠FAB+∠FBA=180°-135°=45°(三角形内角和定理)
∵AD、BE平分∠CAB、∠CBA，(已知)
∴∠CAB=2∠FAB，∠CBA=2∠FBA(角平分线的性质)
∴∠CAB+∠CBA=2(∠FAB+∠FBA)=90°，(等量代换)
∴△ABC为直角三角形．(有两个角互余的三角形是直角三角形)
【当堂检测】
4.(1)若∠ACD =∠B，CD ⊥AB，△ACB 为直角三角形吗？为什么？
D
A
B
C
解：△ABC是直角三角形;
∵CD ⊥AB，∠CDA=90°，
∴在Rt△ADC中，∠A+∠ACD=90°；
又∵∠ACD =∠B，
∴∠A+∠B=90°，
∴△ABC为直角三角形．
【当堂检测】
(2)如图，若∠C =90°，∠AED =∠B，△ADE 是直角三角形吗？为什么？
解：△ADE是直角三角形;
∵∠C=90°，
∴在Rt△ABC中，∠A+∠B=90°；
又∵∠AED =∠B，
∴∠A+∠AED=90°，
∴△ADE为直角三角形．
D
E
A
B
C
五、课堂总结
证法
推论
转化为一个平角
或同旁内角互补
三角形的内角和等于180 °
作辅助线
转化思想
推论1：直角三角形的两个锐角互余
推论2：有两个角互余的三角形是直角三角形