反比例函数的图象与性质

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反比例函数的图象与性质
1、 基础知识
【反比例函数】
1．定义：形如叫做反比例函数。
2．反比例函数中，自变量可以取不为0的任何实数，与的值是一一对应的，它们的积总是等于常数。
3．要确定反比例函数的解析式，只需要一个条件用待定系数法求出的值就可。
【反比例函数的图像与性质】
1．反比例函数的图象是双曲线：
2．反比例函数的性质：
反比例函数的图象总是关于原点对称的，以坐标轴为渐近线的双曲线，它的位置和性质受的符号影响：
（1）当时，它的图象位于第一、三象限。（如上左图），在每一个象限内，都是下降的。在每个象限内，随的增大而减小。
（2）当时，它的图象位于第二、四象限。（如上右图），在每一个象限内，都是上升的。在每个象限内，随的增大而增大。
3．比例系数k的几何意义
结论：过反比例函数图象上一点作两
坐标轴的垂线，由这点和两垂足以及
原点构成的矩形面积为|k|。
二、精选例题
（一）填空
1．矩形的面积为20，设其长为，宽为，则与的关系式为__________。
2．若是反比例函数，则的值为______。
3．若反比例函数中，当=－2时，=则其函数关系式为__________。
4．若是一个反比例函数，且=－2时，函数的对应值为－4，则其函数关系式为__________。
5．函数，当=______时，是反比例函数，且在时，随的增大而减小。
6．若反比例函数的图象过点（2，－2）与，则=______，函数关系式为__________；当时，的对应值为______。
7．反比例函数的图象位于______象限，在每一个象限内当的值越来越大时，其函数对应值__________。
8．若函数的图象双曲线位于二、四象限时，则的取值范围是__________。
9．函数的图象中，当时，函数值随的增大而减小，则的取值范围是__________。
10．若A是反比例函数图象上第二限的一点，A到轴的距离为4，到原点的距离为5，则反比例函数的关系式为__________。
11．若函数的函数值随的增大而减小，则函数的函数值在时，随的增大而______，且其图象位于______象限。
12．如果点在函数的图象上，则其图象在______象限内。
13．双曲线的两个分支分别在第______象限，其函数值在每一象限内随的增大而______。
14．已知点P是反比例函数的图象在第二象限内的一点，经过P点作轴、轴的垂线，垂足分别为M、N，若矩形OMPN的面积为5，则=______。
（二）解答题
1．若函数是反比例函数。
（1）求出其解析式；
（2）分别求出当时函数的对应值，和时的对应值。
2．若是的正比例函数，是的反比例函数，则是的什么函数，请说明理由。
3．已知一次函数与反比例函数，在时，其函数的对应值都为1。
（1）求反比例函数的解析式；
（2）若一次函数与反比例函数还有另一组相同的对应值，请再求出这一组值。
4．已知反比例函数与一次函数的图象相交于A、B两点，求：
（1）A、B两点的坐标；
（2）若O为坐标原点，求△AOB的面积。
5．如图，△ABC中，∠ABC=90°，点B、C在轴上，点A是直线与双曲线在第一象限内交点，O为坐标原点，若△AOB的面积为3。
（1）求的值，并写出直线与双曲线的解析式；
（2）求△ABC的面积。
6．已知点（1，3）在函数的图象上，矩形ABCD的边BC在轴上，E是对角线BD的中点，函数的图象又经过A、E两点，点E的横坐标为，解答下列问题：
（1）求的值；
（2）求点C的横坐标（用含的式子表示）；
（3）当∠ABD=45°时，求的值。
7．某地上年度的电费价格是0.8元每度，年用电量是1亿度，本年度计划将电价调至0.55~0.75元之间。经测算，若电价调至元，则本年度新增用电量（亿度）与（）（元）成反比例，又当时，
（1）求与的函数关系式；
（2）若每度电的成本价为0.3元，则电价调至多少元时，本年度电力部门的收益将比上年度增加20%。
[收益=用电量×（实际电价－成本价）]
8．已知C、D是双曲线在第一象限内的分支上的两点，直线CD分别交轴、轴于A、B两点，设C、D的坐标分别为、，过C与D分别作轴的垂线交于G、H。
（1）求证： ；
（2）若，，求双曲线与直线CD的解析式。
[课后作业] 反比例函数的图象与性质
一．选择题：
1．某乡的粮食产量为（为常数）万斤，
设该乡平均每人占有粮食为万斤，人口
数为，则与的函数图象为（ ）
2．反比例函数的图象两支分布在二、四两象限，则点M在（ ）
A．第一象限； B．第二象限；C．第三象限； D．第四象限。
3．已知双曲线在第二、四象限，则直线一定不经过（ ）
A．第一象限； B．第二象限；C．第三象限； D．第四象限。
4．反比例函数的图象上，坐标为整数的点的个数是（ ）个。
A．4； B．6； C．8； D．10。
5．已知反比例函数的图象过点P，则化简的结果是（ ）
A．； B．；C．； D．。
6．已知P为函数的图象上的点，且P点与原点的距离为3，则符合条件的点的个数是（ ）
A．0个；B．2个；C．4个；D．无数个。
7．如图，A、C是函数的图象上任意两个点，过A作轴的垂线，垂足是B，过C作轴的垂线，垂足为D，设Rt△AOB的面积为，Rt△COD的面积为，则（ ）
A．； B．；C．； D．无法确定。
8．若，则与在同一直角坐标系中的大致图象是（ ）
二、已知一次函数和反比例函数（≠0）
（1）满足什么条件时这两个函数在同一坐标系XOY中图象有两个公共交点。
（2）设（1）中的两个公共点为A、B，则∠AOB是锐角还是钝角。
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