广东省汕头市潮阳区河溪中学2023-2024学年高二上学期第四学月考试数学试题（PDF版含答案）

\ B p 5p= 或 ......6 分
6 6
Q a> b A B B p\ > \ = ......7 分
6
\C A B p= p- - = ......8 分
2
1
∴△ABC的面积为 SDABC = ab sinC
1
= × 2 3 ×2= 2 3 ......10 分
2 2
1
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18.（1）解法 1：
x2 y2
当焦点在 x轴上时，设双曲线 W的标准方程为 2 - 2 =1(a> 0,b> 0)a b
ì c = 2 a ì a2 2 2
依题意得í c2 = a2
= 6
+b2 此时， x y解得í 双曲线 W的标准方程为 - =1..3 分

2
16 10 b = 6
6 6
- =1
a
2 b2
y2 x2
当焦点在 y轴上时，设双曲线 W的标准方程为
a2
- =1(a> 0,b> 0)
b2
ì

c = 2
a

依题意得í c2 = a2 +b2 无解
10 16 2 - 2 =1
a b
2 2
综上所述， x y双曲线 W的标准方程为 - =1......5 分
6 6
2 e x2 2解法 ：因为 2，所以可设双曲线方程为 y 0 ．
因为过点 P(4, 10)，所以16 10 ，即 6．
x2 y2
所以双曲线方程为 x2 y2 6，即 1......5 分
6 6
x2 y2
（2）解：椭圆 E的焦点在 x轴上，设椭圆 E的标准方程为 2 + 2 =1(a> b> 0)a b
c2 y2 y2 c2x b
2 b2
令 =-c,代入椭圆方程得 +
a2 b2
=1\ 2 =1- 2 = 2 \ y=± ......6 分b a a a
ì c 2 5

= ì a= 5
a 5
依题意得í a2 = b2 +c2 ......9 分 解得 íb=1 ......11 分


b2 2 2 5

c= 2

=
a 5
2
∴ x椭圆 E 2的标准方程为 + y =1......12 分
5
【仅能待定系数写出曲线标准方程的给一分】
2
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19. 2 2解：由已知得圆的方程可化为 x 2 y m m2 2m 3......2 分
(1) m
2 2m 3 0即m2 2m 3 0 实数 m的取值范围为 1,3 ；......4 分
m 1 m 3 0解得 1 m 3
(2) ∵圆 C1的半径 r m2 2m 3 m 1 2 4
当 m=1时，圆 C1的半径取最大值 2，此时圆的面积最大......6 分
圆 C1的标准方程为 x 2 2 y 1 2 4 ......7 分
(3)
2 2
【答案】（1） 1,3 ；（2） x 2 y 1 4；（3） x 2 2 y 3 2 4.
2
【详解】（1）若已知方程表示圆，则16 4m 4 2m2 2m 1 0，
即 4m2 8m 12 0， m2 2m 3 m 3 m 1 0，解得： 1 m 3，
实数m的取值范围为 1,3 ；......3 分
（2）若圆的面积最大，则圆的半径最大，
1 2 2
由方程可知：圆的半径 r 16 4m 4 2m 2m 1 m 2 2m 3 ，2
则当m 1时， rmax 2，
圆C1的一般方程为： x2 y2 4x 2y 1 0，......6 分
则其标准方程为： x 2 2 2 y 1 4；......7 分
（3）由（2）知：圆C1的圆心为C1 2, 1 ，半径 r 2；....8 分
设C1关于直线 l : x y 1 0对称的点为C2 a,b ，
b 1
1 a 2 a 2
则 ，a 2 b 1 ....10 分
解得： ，即所求圆的圆心为C2 2,3 ，b 3 ..11 分 1 0
2 2
又圆C2的半径 r 2，
2
圆C2的方程为： x 2 y 3 2 4.......12 分
3
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20.解(1)设线段 AB中点为C x, y ，点 A x0，y0 ，..................1分
B 4,0 2x x0 4， 2y= y0 +0，
x0 2x 4， y0 2y，..................2分
(2x 4 4) 2 4y 2 16 ..................3分
x2 y2 4，
即点 C的轨迹方程为 x2 y2 4 ...................4分
∴点 C的轨迹是以原点为圆心，半径为 2的圆..................5分
(2)
直线 l的斜率不存在时，直线 l的方程为 x＝1，..................6分
代入 x2 y2 4得 y 3，则弦长 AB 2 3，满足题意；..................7分
直线 l斜率存在时，设直线 l斜率为 k，其方程为 y 1 k x 1 ，..................8分
即 kx y k 1 0，
2
圆 x2 y2

4 AB 的圆心到 l的距离d 4 4 3 1，..................9分
2
1 k
则 1解得k 0，此时直线l的方程为y 1；..................11分
k 2 1
综上，直线 l的方程为 x＝1或 y＝1...................12分
21．解(1)证明：∵底面 ABCD是矩形，∴AD//BC......1 分
∵AD 平面 PBC，......2 分 BC 平面 PBC，∴AD / /平面 PBC......3 分
(2)证明：∵底面 ABCD是矩形，∴AD⊥CD......4 分
∵PD⊥底面 ABCD，CD 底面 ABCD，∴AD⊥PD......5 分
又 CD∩PD=D，CD 平面 PDC ，PD 平面 PDC ∴AD⊥平面 PDC.....6 分
【相交，面内，3 个条件漏一个不得这一分】
∵PC 平面 PDC ，∴AD⊥PC......7 分
（3）∵PD 底面 ABCD，且四边形 ABCD是矩形，∴DA，DC，DP两两垂直，
以点D为坐标原点，DA、DC、DP所在直线分别为 x、y、z轴，建立如图所示的空
4
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间直角坐标系.......8分【没有说明两两垂直或写成DA⊥DC⊥DP不得建系一分】
则D 0,0,0 ，P 0,0,1 ， B 2,1,0 ，M 1,1,0 ， A 2,0,0 ，C 0,1,0 ，

（2）所以 PC 0,1, 1 ， AD 2,0,0 ，

所以 PC AD 0 2 1 0 1 0 0 ， AD PC
所以 AD PC，得证；

（3）设平面 PAM 的法向量为 n x, y, z ， AP 2,0,1 ， AM 1,1,0 ，

PB 2,1, 1 ......9 分

n AP 2x z 0
由 ，取 y 1，可得 n 1,1, 2 ，......10 分
n AM x y 0
设直线 PB与平面 PAM 所成角为q ，则
2 1 2
所以 sin = cos PB,n 1 ，......11 分
6 6 6
所以直线 PB与平面 PAM 所成角的余弦值为 cos = 1 sin 2 35 ......12 分
6
22．解（1）因为椭圆过 P(2,0)，故 a=2，......1 分
c2 1
又 e2 2 ， a
2 b2 c2，联立解得 c2 1,b2 3,a2 4，
a 4
x2 y2
所以椭圆C的方程为 1；......3 分
4 3
x2 y2
1
1 2 2 2（ ）设M x1, y1 ,N x2 , y2 ，联立 4 3 得 4k 3 x 8kmx 4m 12 0 ，
y kx m
......4 分
8km 2 4 k 2 3 4m2 12 48 4k 2 3 m2 0，......5 分
5
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x x 8km 1 2 4k 2 3
2 ，......6 分
4 m 3
x 1
x2 4k 2 3
y1 y2 kx1 m kx2 m k
2x1x2 km x 2k k 1 x2 mOM ON x1 x2 x1 x2 x1x2
4
2 m2 3 k km 8km m2
4k 2 3 4k 2 3 4k
2 m2 3 8k 2m2 m2 4k 2 3

4 m2 3 4 m2 3
4k 2 3
3 m2 4k 2 3
2 ，即
2
4 2m 4k
2 3，......8 分
4 m 3
2 4 m2 3
MN 1 k 2 x 2 2 8km
2 4 3 m
1 x2 4x1x2 1 k 2 4 2 1 k ，....9 分 4k 3 4k 3 2m2
m
原点到直线的距离 d ，
2 ......10 分1 k
S 1 1 2
4 3 m m
所以 △OMN MN d 1 k 32 2 ，2m2 2 ......11 分1 k
所以 OMN 的面积为定值 3 .......12 分
【仅对弦长公式给一分，仅对面积公式给一分】
6
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